1、知识系统整合规律方法收藏1待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法,在本章的复数的运算当中,待定系数法用的较多,常设 zabi(a,bR),建立 a,b 的关系式,然后求解问题2解决复数问题时,要注意从整体角度去分析求解,若遇见复数便设为zabi(a,bR)的形式,有时会导致计算量过大运用整体代换及结合几何意义,可以大大地简化计算过程3复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据4复数的模是复数的一个重要概念,也是高考重点考察的对象之一求复数的模的最值时,常用的方法有:(1)设出代数形式,利用求模公式,把模表示成实数范围的函数,然后利用函数来求最值;(2)利用不等式|z1|z2|z1z2|z1
2、|z2|求解;(3)利用几何法求解学科思想培优复数的基本概念复数的分类,要弄清复数类型的充要条件,若复数 abi 是实数,则 b0,若复数 abi 是纯虚数,则 a0 且 b0,若复数 abi 为零,则 a0,且 b0,若复数 abi 是虚数,则 b0.典例 1(1)设 z 是复数,则下列命题中的假命题是()A若 z20,则 z 是实数B若 z20,则 z 是虚数C若 z 是虚数,则 z20D若 z 是纯虚数,则 z20(2)设 i 是虚数单位,若复数 a 103i(aR)是纯虚数,则 a 的值为()A3 B1 C1 D3(3)已知复数 z(52i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为_解析
3、(1)设 zabi(a,bR),则 z2a2b22abi,若 z20,则ab0,a2b20,即 b0,故 z 是实数,A 正确若 z20,则ab0,a2b20,即a0,b0,故 B 正确若 z 是虚数,则 b0,z2a2b22abi 无法与 0 比较大小,故 C 是假命题若 z 是纯虚数,则a0,b0,z2b20,8a20,解得 2a6,所以实数 a 的取值范围是(2,6)答案 典例 4 已知复数 z1i(1i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|1,求|zz1|的最大值解(1)z1i(1i)3i(1i)(2i)22i,|z1|22222 2.(2)解法一:设 z 与 z1 对应的点分别为 Z
4、,Z1,|z|1,点 Z 在以原点为圆心,1 为半径的圆上,z122i,Z1(2,2),|zz1|为点 Z1 到圆上一点的距离,|zz1|max|ZZ1|max 222212 21.答案 解法二:|z|1,可设 zcosisin(R),|zz1|cosisin22i|cos22sin22 94sincos94 2sin4.当 sin4 1 时,|zz1|取得最大值,最大值为 94 22 21.答案 复数方程问题典例 5 设关于 x 的方程是 x2(tani)x(2i)0,(1)若方程有实数根,求锐角 和实数根;(2)证明对任意 k2(kZ),方程无纯虚数根解(1)设实数根是 a,则 a2(tani)a(2i)0,即 a2atan2(a1)i0.a,tanR,a2atan20,a10,a1,且 tan1.又 02,4.答案(2)证明:若方程存在纯虚数根,设为 xbi(bR,b0),则(bi)2(tani)bi(2i)0,即b2b20,btan10,此方程组无实数解所以对任意 k2(kZ),方程无纯虚数根答案