1、知识系统整合规律方法收藏1待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设 zabi(a，bR)，建立 a，b 的关系式，然后求解问题2解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为zabi(a，bR)的形式，有时会导致计算量过大运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程3复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据4复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的对象之一求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式|z1|z2|z1z2|z1
2、|z2|求解；(3)利用几何法求解学科思想培优复数的基本概念复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数 abi 是实数，则 b0，若复数 abi 是纯虚数，则 a0 且 b0，若复数 abi 为零，则 a0，且 b0，若复数 abi 是虚数，则 b0.典例 1(1)设 z 是复数，则下列命题中的假命题是()A若 z20，则 z 是实数B若 z20，则 z 是虚数C若 z 是虚数，则 z20D若 z 是纯虚数，则 z20(2)设 i 是虚数单位，若复数 a 103i(aR)是纯虚数，则 a 的值为()A3 B1 C1 D3(3)已知复数 z(52i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为_解析
3、(1)设 zabi(a，bR)，则 z2a2b22abi，若 z20，则ab0，a2b20，即 b0，故 z 是实数，A 正确若 z20，则ab0，a2b20，即a0，b0，故 B 正确若 z 是虚数，则 b0，z2a2b22abi 无法与 0 比较大小，故 C 是假命题若 z 是纯虚数，则a0，b0，z2b20，8a20，解得 2a6，所以实数 a 的取值范围是(2,6)答案 典例 4 已知复数 z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)z1i(1i)3i(1i)(2i)22i，|z1|22222 2.(2)解法一：设 z 与 z1 对应的点分别为 Z
4、，Z1，|z|1，点 Z 在以原点为圆心，1 为半径的圆上，z122i，Z1(2，2)，|zz1|为点 Z1 到圆上一点的距离，|zz1|max|ZZ1|max 222212 21.答案 解法二：|z|1，可设 zcosisin(R)，|zz1|cosisin22i|cos22sin22 94sincos94 2sin4.当 sin4 1 时，|zz1|取得最大值，最大值为 94 22 21.答案 复数方程问题典例 5 设关于 x 的方程是 x2(tani)x(2i)0，(1)若方程有实数根，求锐角 和实数根；(2)证明对任意 k2(kZ)，方程无纯虚数根解(1)设实数根是 a，则 a2(tani)a(2i)0，即 a2atan2(a1)i0.a，tanR，a2atan20，a10，a1，且 tan1.又 02，4.答案(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为 xbi(bR，b0)，则(bi)2(tani)bi(2i)0，即b2b20，btan10，此方程组无实数解所以对任意 k2(kZ)，方程无纯虚数根答案
