1、学案76不等式选讲(三)算术几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值自主梳理1算术几何平均不等式(1)如果a，b0，那么_，当且仅当ab时，等号成立(2)如果a，b，c0，那么_，当且仅当abc时，等号成立(3)对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当_时等号成立2柯西不等式(1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)_，当且仅当_时，等号成立(2)向量形式：设、是平面上
2、的两个向量，则_|，|，当且仅当，共线时等号成立3三角形不等式设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，那么.自我检测1若x，y(0，)，且xys，xyp，则下列命题中正确的序号是_当且仅当xy时，s有最小值2；当且仅当xy时，p有最大值；当且仅当p为定值时，s有最小值2；若s为定值，则当且仅当xy时，p有最大值.2若x，yR，且满足x3y2，则3x27y1的最小值是_3(2011湖南)设x，yR，且xy0，则(x2)(4y2)的最小值为_4函数y33x(x0)的最大值为_5若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围为_探究点一利用柯西不等式求最值例1 已知x，y，a，bR，且1，求xy的最小
3、值变式迁移1 若2x3y1，求4x29y2的最小值探究点二利用算术几何平均不等式求最值例2 如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2)当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)探究点三不等式的证明例3 (1)已知a、b、c为正数，且满足acos2bsin2c.求证
4、：cos2sin21，则函数yx的最小值为_2函数y(xbc，nN*，且恒成立，则n的最大值是_5若3x4y2，则x2y2的最小值为_6函数y的最大值为_7函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n0，则的最小值为_8设实数x，y满足3x22y26，则p2xy的最大值是_二、解答题(共42分)9(12分)设a，b，c为正数，求证：(abc)(a2b2c2)9abc.10(14分)设x、y均大于0，且xy1，求证：(x)2(y)2.11(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其
5、他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小学案76不等式选讲(三)算术几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1(1)(2)(3)a1a2an2(1)(acbd)2adbc(2)|自我检测1解析x，y(0，)，xy2，又xys，xyp，当s一定，即xy时，p有最大值；当p一定，即xy时，s有最小值2.27解析3x27y121217，当且仅当“3x27y”即x3y且x3y2时，上式取“”，此时x1，y.39解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立432解析x0，y33x3(3x)()32.当
6、且仅当3x，即x时取等号当x时，函数y33x有最大值32.52，2解析由柯西不等式得，12(1)2(a2b2)(ab)2，(ab)220，2ab2，当且仅当“ba”时上式“”成立由得，或.课堂活动区例1 解题导引由于1，则可以构造xy()2()2()2()2()2的形式，从而利用柯西不等式求出最值利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意解x，y，a，bR，1，xy()2()2()2()2()2.当且仅当，即时取等号(xy)min()2.变式迁移1 解由柯西不等式得：(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2.当且仅当2x1
7、3y1，即2x3y时取等号由得.4x29y2的最小值为.例2 解题导引运用算术几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案解如图，设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0x1)，则OB1B1B2x.由A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，所以A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于C1.在RtA1B1C1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin 60(
8、1x)于是容器的容积为Vf(x)Sh(6x2)(1x)x2(1x)(0x0)(2)由Va2h(h0)，得：V，而h22.所以0V，当且仅当h，即h1时取等号故当h1米时，V有最大值，V的最大值为立方米例3 证明(1)由柯西不等式可得cos2sin2(cos )2(bsin )2(cos2sin2)(acos2bsin2)0，从而(abc)290，又30，()(abc)23927.当且仅当abc时，等号成立变式迁移3 证明a，b，cR，(ab)(bc)(ca)30，30，(abc)().当且仅当abc时，等号成立课后练习区18解析yx28.当且仅当，即x2时等号成立23,0)解析y.x(x)()
9、2.x11.03，即3yc，ac0，4n，即n4.5.解析柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，解方程组得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.6.解析函数的定义域为1,6y2()2(1)2()212()2()23515.y215.y.当且仅当1，即x时等号成立原函数的最大值为.78解析函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A(2，1)则(2)m(1)n10,2mn1，m，n0.()(2mn)4428，(m，n时取等号)即的最小值为8.8.解析(3x22y2)()2()2(2x
10、y)2，(2xy)2611.2xy，当且仅当时，上式取“”即或.x，y时，Pmax.9证明由算术几何平均不等式可得：abc3，a2b2c23，相乘得(abc)(a2b2c2)9abc即为所证结论(12分)10证明方法一要证(x)2(y)2，只需证x2y24.(3分)xy1，即要证(12xy)，即要证4x3y315x2y24xy20，(5分)即要证(4xy1)(x2y24xy2)0，(8分)即要证4xy(xy)2(x2y24xy2)0，(10分)即要证(xy)2(x2y24xy2)0.(12分)x、y均大于0，xy1，故上式成立故所证不等式(x)2(y)2成立(14分)方法二xy1，xy()2，4.(4分)又(1212)(x)2(y)2(xy)2(8分)(xy)2(1)2(14)225.(12分)即2(x)2(y)225.(x)2(y)2.(14分)11解设该厂应隔x(xN*)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y.饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，(2分)x天饲料的保管与其他费用共是：6(x1)6(x2)63x23x(元)(8分)从而有y(3x23x300)2001.83x357417.(14分)当且仅当3x，即x10时，y有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小(16分)
