1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.理解空间向量的概念(难点)2.掌握空间向量的线性运算(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用(重点、难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1空间向量(1)定义：在空间，具有和的量叫做空间向量(2)长度或模：向量的(3)表示方法：几何表示法：空间向量用表示；字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记
2、为或.大小方向大小有向线段|AB|AB|a|课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2几类常见的空间向量名称方向模记法零向量单位向量任意 相反向量相等a的相反向量：AB的相反向量：相等向量相同ab任意01相反相等0 BAa课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3.向量的加法、减法加法OB ab空间向量的运算减法CA ab加法运算律(1)交换律：ab(2)结合律：(ab)c a(bc)OA OCOA OCba课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积仍然是一个，称为向量的数乘运算当
3、0时，a与向量a方向；当0时，a与向量a方向；当0时，a；a的长度是a的长度的倍(2)运算律：(ab)；(a).向量相同相反|a0()aab课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5共线向量和共面向量(1)共线向量定义：表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做或平行向量共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使.点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使OP .互相平行或重合共线向量abOA tAB课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)共面向量定义：平行于的向量叫做共面向量共面向量定理：若两个向量a，b不
4、共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使AP或对空间任意一点O，有OP .同一个平面px ay bOA xAByACxAByAC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足OP 13OA 13OB 13OC，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？提示(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量(2)由OP 13OA 13O
5、B 13OC 得OP OA 13(OB OA)13(OC OA)即AP13AB13AC，因此点 P 与点 A，B，C 共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(3)如果OP OA tAB，则 P，A，B 共线()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量()答案(1)(2)(3)(4)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知空间四边形 ABCD 中，ABa，CBb，AD c，则CD()Aabc
6、BabcCabcDabcC CD CBBAAD CBABAD abC课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在三棱锥 A-BCD 中，若BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB12BC32DE AD 化简的结果为_0 延长DE交边BC于点F，则有AB12BCAF，32DE AD AD DF AF，故AB12BC32DE AD 0.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难空间向量的有关概念(1)给出下列命题：若|a|b|，则 ab 或 ab若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A
7、CA1C1若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp.其中正确命题的序号是_课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)如图 3-1-1 所示，在平行六面体 ABCD-ABCD中，顶点连接的向量中，与向量AA 相等的向量有_；与向量AB 相反的向量有_(要求写出所有适合条件的向量)图 3-1-1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)对于，向量 a 与 b 的方向不一定相同或相反，故错；对于，根据相反向量的定义知|a|b|，故正确；对于，根据相等向量的定义知，ACA1C1，故正确；对于，根据相等向量的定义知正确答案(2)根据相等向量的
8、定义知，与向量AA 相等的向量有BB，CC，DD.与向量AB 相反的向量有BA，BA，CD，CD.答案 BB，CC，DD BA，BA，CD，CD课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向(2)注意点：注意一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则
9、它们为相反向量课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1如图 3-1-2 所示，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，图 3-1-2(1)试写出与AB相等的所有向量；(2)试写出AA1 的相反向量；(3)若 ABAD2，AA11，求向量AC1 的模.【导学号：46342130】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)与向量AB相等的向量有A1B1，DC，D1C1，共 3 个；(2)向量AA1 的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D，共 4 个；(3)|AC1|22222129，所以|AC1|3.课
10、时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页空间向量的线性运算(1)如图 3-1-3 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量AC1 的有()图 3-1-3(ABBC)CC1；(AA1 A1D1)D1C1；(ABBB1)B1C1；(AA1 A1B1)B1C1.A1 个B2 个 C3 个 D4 个课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)如图 3-1-4 所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：图
11、3-1-4AP；A1N；MP NC1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解(2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解解析(1)对于，(ABBC)CC1 ACCC1 AC1，对于，(AA1 A1D1)D1C1 AD1 D1C1 AC1，对于，(ABBB1)B1C1 AB1 B1C1 AC1，对于，(AA1 A1B1)B1C1 AB1 B1C1 AC1.答案 D课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)APAA1 A1D1 D1P AA1 AD 12ABac12b，A1N A1A ABBN
12、AA1 AB12AD ab12c，MP NC1 MA1 A1D1 D1P NC CC112ac12b12ca32a12b32c课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解
13、题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2.如图 3-1-5，已知空间四边形 OABC，M，N 分别是边 OA，BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG2GN，设OA a，OB b，OC c，试用 a，b，c 表示向量OG.图 3-1-5解 OG OM MG12OA 23MN12OA 23(MA ABBN)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页12OA 2312OA OB OA 12BC12OA 23OB
14、12OA 12OC OB 16OA 13OB 13OC 16a13b13C课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页共线问题 (1)设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知ABe1ke2，BC5e14e2，DC e12e2，且 A，B，D 三点共线，实数 k_.(2)如图 3-1-6 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为A1C 上一点，且 A1O23A1C，BD 与 AC 交于点 M.求证：C1，O，M 三点共线图 3-1-6课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究(1)根据向量共线的充要条件求解(2)用向量AB，AD，AA1 分别表
15、示MO 和MC1.解析(1)AD ABBC CD(e1ke2)(5e14e2)(e12e2)7e1(k6)e2设AD AB，则 7e1(k6)e2(e1ke2)所以7kk6，解得 k1答案 1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设ABa，AD b，AA1 c，则MO MC CO 12AC13CA1 12(ABAD)13(CAAA1)12AB12AD 13(CBCD AA1)12AB12AD 13AD 13AB13AA1 16AB16AD 13AA116a16b13c，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页MC1 MC CC1 12ACAA1
16、12(ABAD)AA1，12a12bc，MC1 3MO，又直线 MC1 与直线 MO 有公共点 M，C1，O，M 三点共线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：若 ab，b0，则存在惟一实数 使 ab；若存在惟一实数，使 ab，b0，则 ab.(2)判断向量共线的关键：找到实数.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2证明空间三点共线的三种思路对于空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论来证明三点共线(1)存在实数，使PAPB成立(2)对空间任一点 O，有OP OA tAB(tR)(3)对
17、空间任一点 O，有OP xOA yOB(xy1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练3(1)已知向量 a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()【导学号：46342131】AA，B，D BA，B，CCB，C，DDA，C，DA AD ABBCCD(a2b)(5a6b)(7a2b)3a6b所以AD 3AB.又直线 AB，AD 有公共点 A，故 A、B、D 三点共线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)如图 3-1-7，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A1E 2ED1，F 在
18、对角线 A1C 上，且A1F 23FC.图 3-1-7求证：E，F，B 三点共线课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页证明 设ABa，AD b，AA1 c，因为A1E 2ED1，A1F 23FC，所以A1E 23A1D1，A1F 25A1C，所以A1E 23AD 23b，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页A1F 25(ACAA1)25(ABAD AA1)25a25b25c，所以EFA1F A1E25a 415b25c25a23bc.又EBEA1 A1A AB23bcaa23bc，所以EF25EB，所以 E，F，B 三点共线课时分层作业当堂达标固双
19、基自主预习探新知合作探究攻重难返首页向量共面问题探究问题1能说明 P，A，B，C 四点共面的结论有哪些？提示：(1)存在有序实数对(x，y)，使得APxAByAC.(2)空间一点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得OP xOA yOB zOC(其中 xyz1)(3)PABC.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2已知向量 a，b，c 不共面，且 p3a2bc，mabc，nabc，试判断 p，m，n 是否共面提示：设 pxmyn，即 3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)C因为 a，b，c 不共面，所以xy3，xy2
20、，xy1，而此方程组无解，所以 p 不能用 m，n 表示，即 p，m，n 不共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 如图 3-1-8 所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM13BD，AN13AE.图 3-1-8求证：向量MN，CD，DE 共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思路探究 可通过证明MN xCD yDE 求证证明 因为 M 在 BD 上，且 BM13BD，所以MB 13DB 13DA 13AB.同理AN13AD 13DE.所以MN MB BAAN13DA
21、13AB BA13AD 13DE23BA13DE 23CD 13DE.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE 共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1.利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 pxayb，则向量 p，a，b 共面(2)若存在有序实
22、数组(x，y，z)使得对于空间任一点 O，有OP xOA yOBzOC，且 xyz1 成立，则 P，A，B，C 四点共面(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练4已知 A，B，C 三点不共线，点 O 是平面 ABC 外的任意一点，若点 P分别满足下列关系：(1)OA 2OB 6OP 3OC；(2)OP OC 4OA OB.试判断点 P 是否与点 A，B，C 共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 法一(1)3OP 3OC OA 2OB 3OP(OA OP)(2OB 2OP)，3CPP
23、A2PB，即PA2PB3PC.根据共面向量定理的推论知：P 与点 A，B，C 共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)设OP OA xAByAC(x，yR)，则OA xAByACOC 4OA OB，OA x(OB OA)y(OC OA)OC 4OA OB，(1xy4)OA(1x)OB(1y)OC 0，由题意知OA，OB，OC 均为非零向量，所以x，y满足：1xy40，1x0，1y0，显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页法二(1)由题意，OP 16OA 13OB 12OC，1613121，点 P 与
24、点 A，B，C 共面(2)OP 4OA OB OC，而 41121，点 P 与点 A，B，C 不共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1空间四边形 ABCD 中，M，G 分别是 BC，CD 的中点，则MG ABAD()A2DB B3MGC3GMD2MGB MG ABAD MG BD MG 2MG 3MG.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2在下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是()【导学号：46342132】AOM 2OA OB OCBOM 15OA 13OB 12OCCMA MB MC 0DOM OA O
25、B OC 0C 由 MAMBMC0 得MA MB MC，故 M，A，B，C 四点共面课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如图 3-1-9，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 是上底面 A1C1 的中点，若AExAByAD zAA1，xyz_.图 3-1-9课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2 AEAA1 A1E AA1 12A1C1 AA1 12AC AA1 12(AB AD)12AB12AD AA1，x12，y12，z1，xyz2.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知 O 是空间任意一点，A，B
26、，C，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA 2xBO 3yCO 4zDO，则 2x3y4z_.1 由OA 2xBO 3yCO 4zDO 得OA 2xOB 3yOC 4zOD所以2x3y4z1，即 2x3y4z1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5.如图 3-1-10，在空间四边形 ABCD 中，G 为BCD 的重心，E，F 分别为边 CD 和 AD 的中点，试化简AG 13BE12AC，并在图中标出化简结果的向量.【导学号：46342133】图 3-1-10课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 G 是BCD 的重心，BE 是 CD 边上的中线，GE 13BE.又12AC12(DC DA)12DC 12DA DE DF FE，AG 13BE12ACAG GE FEAF(如图所示)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十四）点击上面图标进入 谢谢观看
