1、6.3 利用递推公式求通项（精讲）一 公式法求通项1.条件特征：前n项和与项或项数的关系2.解题思路当n1时，由a1S1求a1的值当n2时，由anSnSn1，求得an的表达式检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an写出an的完整表达式二 累加法1. 条件特征：a后a前=f(n)2. 解题思路三 累乘法1.条件特征：2.解题思路四构造法1.形如an1panq，p0，其中a1a型(1)若p1，数列an为等差数列；(2)若q0，数列an为等比数列；(3)若p1且q0，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求方法如下：设an1p(an)，得an1pan(p1
2、)，又an1panq，所以(p1)q，即(p1)，所以an1p，即构成以a1为首项，以p为公比的等比数列2.形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)型（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn1，得，引入辅助数列bn，得bn1bn，再用待定系数法解决；（2）也可以在原递推公式两边同除以pn1，得，引入辅助数列bn，得bn1bn，再利用叠加法(逐差相加法)求解3.形如an1panqan1，其中a1a，a2b型可以化为an1x1anx2(anx1an1)，其中x1，x2是方程x2pxq0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列anan1，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取
3、消元的方法求数列an4. 形如an1型两边同时取倒数转化为的形式，化归为bn1pbnq型，求出的表达式，再求an考法一 公式法求通项【例1-1】（2022四川什邡中学）数列的前项和，则它的通项公式是_【答案】【解析】当时，当时，经检验当时不符合，所以，故答案为：，【例1-2】（2023春安徽合肥）已知数列的前项和，则的通项公式 【答案】【解析】令，则，解得，当时，则，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以【例1-3】（2022全国高三阶段练习（理）已知数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】当时，.当时，.，得.因为不满足上式，所以故答案为：【一隅三反】1（2023陕西）已知
4、数列前项和为，且，则求数列的通项公式；.【答案】，.【解析】当时，当且时，而，即也满足，.故答案为：，.2（2023全国高三专题练习）记为数列的前n项和，若，则_【答案】【解析】由题得，当时，解得；当时，得，则，则数列是首项为，公比为的等比数列，则，故故答案为：.3（2023云南）已知正项数列的前项和为，且满足求的通项公式：【答案】【解析】由已知条件可知，对任意的，.当时，解得；当时，由可得，上述两式作差得，即，即，由已知条件可知，所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，4（2023春安徽）在数列中，当时，则其通项公式为_【答案】【解析】当时，当时，两式相减得，即，因此，即，于是，当时
5、也成立，n1时不成立，所以故答案为：考法二 累加法求通项【例2-1】（2023春北京）若数列满足，则通项公式为_.【答案】【解析】因为，所以当时，当时，满足，所以，故答案为：.【例2-2】（2023春安徽马鞍山）在数列中，则 【答案】【解析】由得：，将各式相加得：，则【例2-3】（2023江苏）已知数列满足，求数列的通项公式 ；【答案】【解析】因为，所以.因为，所以，于是.当时，所以.【一隅三反】1（2023春江苏盐城）设等差数列满足，且，则 【答案】【解析】设等差数列的公差为，由可得，解得，所以.则，所以当时，有，当时，满足上式，所以，2（2023北京）设数列满足，则=_.【答案】【解析】因
6、为数列满足，所以当时，.所以，因为，也满足上式，所以数列的通项公式为，故答案为：3（2023广西南宁南宁三中校考一模）已知数列满足，则数列的通项公式为_【答案】【解析】，两边同除得：，所以，即，化简得，故答案为：.考法三 累乘法求通项【例3-1】（2023海南）已知在数列中，求数列的通项公式 【答案】【解析】，即，【例3-2】（2023春广东佛山）已知，则数列的通项公式是 【答案】2n【解析】由，得，即，则，由累乘法可得，因为，所以，【一隅三反】1（2023全国高二专题练习）已知数列满足，则的通项公式为_【答案】【解析】因为数列满足，则，所以，当时，也满足，所以，对任意的，故答案为：2（202
7、3黑龙江）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式_.【答案】【解析】由，则又数列为正项数列，即，所以，即 所以故答案为：3（2023广东深圳）数列满足：，则数列的通项公式 【答案】【解析】因为；当时，；减得，即，所以，所以，所以所以，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：考法四 构造等比数列【例4-1】（2023吉林）已知数列中，且（，且），则数列的通项公式为_【答案】【解析】由，得，即由所以，于是数列是以首项为，公比为的等比数列，因此，即，当时，,此式满足，所以数列的通项公式为.故答案为：.【例4-2】（2023北京）已知数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】解法
8、一：设，整理得，可得，即，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，整理得，且，则数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即；解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，当时，则，故，显然当时，符合上式，故.故答案为：.【例4-3】（2023辽宁抚顺市）已知是数列的前项和，求数列的通项公式 ；【答案】【解析】证明：因为，所以，即因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以【一隅三反】1（2023广西）若数列满足，且，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】由，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故答案为：2.（2023黑
9、龙江）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式 ；【答案】【解析】当时，当时，两式相减得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以.故答案为：3（2023湖北）设为数列的前项和，且，数列的通项公式 ；【答案】【解析】，又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，当时，故.考法五 构造等差数列【例5-1】（2023春云南临沧）已知数列中，数列的通项公式 【答案】【解析】因为，可得，因为，则，即，可得，对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1，所以，故【例5-2】（2023河北）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为 ABCD【答案】【解
10、析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，以此类推，对任意的，由可得，所以，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，因此，【例5-3】（2022江西）已知数列满足：，（，），则_.【答案】【解析】由题设，即，而，是首项、公差均为的等差数列，即，.故答案为：【一隅三反】1（2023安徽）已知数列满足，求数列的通项公式 【答案】【解析】为等差数列，首项，公差为，.2（2022全国高三专题练习）已知数列中，求数列的通项公式 ；【答案】【解析】因为，所以令，则，解得，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；3（2023广东湛江）已知数列中，求数列的通项公式 .【答案】【解析】，数列是等差数列，公差为，又，.
