1、4.1 指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图像第四章 指数函数、对数函数与幂函数 学习目标 1.理解指数函数的概念与意义.2.会画指数函数的图像，理解指数函数的性质.3.能利用指数函数的单调性比较幂的大小.4.能利用指数函数的图像与性质解决问题.重点：指数函数的图像和性质.难点：底数a1与0a0，且.一、指数函数的概念1 指数函数yax（a0且a1）具有下列性质：（1）定义域是.（2）值域是，因此，对任何实数x，都有ax0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.（3）函数图像一定过点.（4）当a1时，yax是函数；当0a0且1的所有实数【解析】（2 3+3）是指数函数，解得2，故选C.【答
2、案】C下列函数中为指数函数的有（）13；y131；2 3 1；（0且1）；1；132；12.A.2个B.3个C.4个D.5个A 判断一个函数是不是指数函数的方法（1）看形式：判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合yax（a0，且a1）这一结构形式.（2）明特征：指数函数具有以下特征：底数a为大于0且不等于1的实数；指数位置是自变量x，且x的系数是1；ax的系数是1.例2 二 与指数函数有关的定义域和值域问题(1)形如（）的函数的定义域和值域问题【解】（1）由-40，得4，214的定义域为|R，且4.又140，即 214 1，=214的值域为|0，且1.（2）函数12223的定义域为
3、R.x2-2x-3（x-1）2-4-4，12223 12416.又12223 0，y12223的值域为（0，16.求下列函数的定义域和值域.（1）214；（2）12223.形如yaf（x）的函数的定义域和值域的求法（1）函数yaf（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；（2）求函数yaf（x）的值域，需先确定函数f（x）的值域，再根据指数函数yax的单调性确定函数yaf（x）的值域.2019江西新余四中高一检测求下列函数的定义域和值域.（1）23|；（2）222.【解】（1）定义域为R.|0，23|32|320 1.值域为|1.（2）定义域为R.2 2 （1）2+1 1，222 2，即2.故
4、函数的值域为（0，2.(2)形如（）的函数的定义域和值域问题如果函数2+2 1（0，且1）在-1，1上有最大值，且最大值为14，试求的值.【解】设，则原函数可化为（+1）2 2，其图象的对称轴为直线 1.若1，-1，1，在-1，1上单调递增，01.由二次函数的图象知，当1,时，函数（+1）2 2在1,上为增函数，故当时，max2+2 1，2+2 114，解得3或-5（舍去）.例3 若01，-1，1，在-1，1上单调递减，01.由二次函数的图象知，函数（+1）2 2在,1上为增函数，故当t1时，max 2+2 1 114，解得13或a15 舍去）.综上所述，13或3.形如yf（ax）的函数的定义
5、域和值域的求法（1）求函数yf（ax）的定义域，需先确定函数yf（u）的定义域，即u的取值范围，亦即函数uax的值域，由此构造关于x的不等式（组）确定x的取值范围，得到函数yf（ax）的定义域；（2）求函数yf（ax）的值域，需先利用函数uax的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数yf（u）的值域，即为函数yf（ax）的值域.1.2019黑龙江鹤岗一中检测当 （，1时，不等式（2 ）4 2 0，且1）的图象恒过的点坐标是（）A.（-2，-1）B.（-2，1）C.（-1，-1）D.（-1，1）B例4（2）画指数型函数的图象画出下列函数的图象，并说明它们是由函数（）2的图象经过怎样的变换得
6、到的.（1）2 1；（2）2+1；（3）2|；（4）|2 1|；（5）2；（6）2 .【解】如图4-2-1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）2 1的图象是由2的图象向右平移1个单位长度得到的；2+1的图象是由2的图象向上平移1个单位长度得到的；2|的图象是由2的轴右侧的图象和其关于轴对称的图象组成的，包括轴上的（0，1）点；|2 1|的图象是由2的图象向下平移1个单位长度，然后将其轴下方的图象翻折到轴上方得到的；2的图象是由2的图象关于轴对称得到的；2 的图象是由2的图象关于原点对称得到的.函数图象的变换规律（1）平移变换：将函数（）的图象向右平移（0）个单位长度得到函数（）的图象（若 0
7、）个单位长度，得到函数（）+的图象（若0，且1）的图象有两个公共点，则的取值范围是 .（0,12）例5（3）图象的识别问题如图所示的是指数函数yax；ybx；ycx；ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（）A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab1d，且 ）的底数对图象的影响（1）底数与1的大小关系决定了指数函数（0且 1）的图象的“升降”，当 1时，的图象“上升”；当0 0且 1）的图象过第一、三、四象限，则必有（）A.0 0B.0 1，1，1，0D例6 方程2+2的实数根的个数为 .【解析】由2|+2得2|2 .在同一平面直角坐标系中作出函数2|与2 的图象，如图所示，
8、可观察到两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根.【答案】2（4）图象的应用数形结合已知函数（）|2 1|，（）（），则下列结论中，必成立的是（）A.0，0，0 B.0 C.2 2 D.2+2 0，1）在1，2上的最大值比最小值大2，求的值.例7【解】当0a0，a1）在1，2上的最大值f（x）maxf（1）a1a，最小值f（x）minf（2）a2，a-a22，解得a12或a0（舍去）.当a1时，函数f（x）ax（a0，a1）在1，2上的最大值f（x）maxf（2）a2，最小值f（x）minf（1）a1a，a2-a2，解得a32或a0（舍去）.综上所述，a的值为12或32.用mina，b
9、，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）min2x，x+2，10-x（x0），则f（x）的最大值为（）A.4B.5C.6D.71.若函数f（x）ax（a0，a1）在-1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）1 4 在0，+）上是减函数，则a（）A.4B.2C.12D.142.DC（2）利用指数函数的单调性比较大小2019浙江台州书生中学高一月考已知a0.3-2，b 120.3，c 120.2，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.acbC.cbaD.bac例8【解析】b120.3 c120.21，acb.故选B.【答案】B已知a22.5，b2.50，c 122.5，则a，b，
10、c的大小关系是（）A.acbB.cabC.bacD.abc1.2019山东师范大学附属中学高一检测设y140.9，y280.61，y3 121.5，则（）A.y1y2y3B.y2y1y3C.y1y3y2D.y3y2y12.DB（3）利用指数函数的单调性解指数不等式2019内蒙古鄂尔多斯高三检测不等式 13283-2x的解集是（）A.x|-2x4B.x|2x4C.x|x-2例9【解题提示】利用指数函数的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解.【解析】由1328 3-2x，得 3823-2x，8-x2-2x，即x2-2x-80，解得-2x3-2x的解集是x|-2xay的不等式，借助函数yax的单调
11、性求解，如果a的取值不确定，那么需分a1和0ab的不等式，应将b化成以a为底的指数幂的形式，再借助函数yax的单调性求解.（3）形如axbx的不等式，需利用函数图像求解.函数f（x）x2-bx+c满足f（x+1）f（1-x），且f（0）3，则f（bx）与f（cx）的大小关系是（）A.f（bx）f（cx）B.f（bx）f（cx）C.f（bx）f（cx）D.与x的取值有关，不能确定A五 指数型复合函数问题（1）指数型复合函数的单调性问题2019吉林省实验中学高一检测函数f（x）的单调减区间为（）A.（-，2B.1，2C.2，+）D.2，3例10【解析】由题中的复合函数的底数大于0且小于1，知要求g
12、（x）2+4 3 的增区间.画出二次函数h（x）-x2+4x-3的图象如图所示.由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1x2.所以选B.【答案】B判断函数y 14121+2的单调性.1.2019河北辛集高一检测函数f（x）152+在区间1，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.a-4B.a-2C.a-2D.a-42.C【解】令t12，t0，则yt2-2t+2.又t12在R上是减函数，yt2-2t+2在（0，1上是减函数，在1，+）上是增函数，所以函数y14121+2在（-，0上是减函数，在0，+）上是增函数.（2）指数型复合函数的奇偶性问题2019安徽江淮名校高三联考已知函数f（x）1
13、e+1 12，则f（x）是（）A.奇函数，且在R上是增函数B.偶函数，且在（0，+）上是增函数C.奇函数，且在R上是减函数D.偶函数，且在（0，+）上是减函数例11【解题提示】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用f（-x）f（x）与0的关系可得函数的奇偶性，再由复合函数单调性的判断方法可判断函数的单调性.【解析】f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（-x）1e+1 12 exex+1 12 ，有f（-x）+f（x）0，所以f（x）是奇函数，函数f（x）1e+1 12显然是减函数.【答案】C已知函数f（x）1+1（a1）.（1）判断函数f（x）的奇偶性.（2）证明f（x）在（-，+）上是增函
14、数.（3）求f（x）的值域.（1）【解】函数的定义域为R.f（-x）1+1 111+1 11+-f（x），所以函数f（x）是奇函数.（2）【证明】f（x）1+1+12+1 1-2+1，任取x1，x2R，且x11，x1x2，所以1 0，2+1 0，所以f（x1）-f（x2）0，即f（x1）0，所以ax+11，所以01+1 1，所以02+1 2，所以-11-2+1 0，所以-1y0，且a1；（3）自变量x是指数，且xR.2.指数函数的图象与性质 01图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1），即x0时，y1（2）减函数（2）增函数（1）常用结论（1）yf（x）与yf（-x）的图象关于y轴
15、对称.（2）yf（x）与y-f（x）的图象关于x轴对称.（3）yf（x）与y-f（-x）的图象关于原点对称.（2）指数函数性质的记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；底数总是大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过（0，1）点.3.指数函数性质的应用比较幂值大小的方法（1）底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.（2）底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决.在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数取值所对应的函数值即可.（3）底数不同、指数也不同：采用介值法（中间值法）.取中间值1，其中一个大于1，另一个小于1.
