1、河南省郑州外国语中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.2.设为任意正数则这三个数（ ）A. 都大于2B. 都小于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】假设三个数均小于2，利用均值不等式得到，得出矛盾，得到答案.【详解】假设三个数均小于2，即，故，而，当时等号成立，这与矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C正确；取，计算排
2、除BD；取，计算排除A.故选：C.【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生推断能力和计算能力，均值不等式的灵活运用是解题的关键.3.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，则，若，若，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.4.在平面几何里，有勾股定理：“设两边，互相垂直，则有“，扩展到空间，类比平面几何的勾股定理，”设三棱锥的三个侧面，两两互相垂直，则可得（ ）A. B. C. D. 【答案
3、】C【解析】分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面.【详解】由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：，故选：C.【点睛】本题考查从平面类比到空间，属于基本类比推理，考查空间几何等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题.5.已知中，若，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】根据利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及，即可求得 的值，得到答案【详解】由题意，二项式，又由，所以，其中，由，可得：，即，即，解得，故选A【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二
4、项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题6.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列 定义如下：，若，则事件的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：事件S8=2表示反复抛掷8次硬币，其中出现正面的次数是5次，利用n次独立重复试验恰好出现k次的概率公式能够求出事件S8=2的概率，以及S20，S8=2的概率详解：事件“S20，S8=2”表示前两次全正或全负，则概率为，故选A点睛：本题考查概率的性质和应用，解题时要合理地运用n次独立重复试验恰好出现k次的概率公式，这一公式
5、要求每件事之间互相独立，互不影响.7.已知是离散型随机变量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由随机变量的分布列的性质可得则只有两个变量，进而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性质计算可得答案.【详解】根据题意，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选：B【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、数学期望以及方差与方差性质，属于基础题.8.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
6、析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.9.若在x=1处取得极大值10，则的值为（）A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于，依题意知，于是有，代入f（1）=10即可求得，从而可得答案【详解】，又在x=1处取得极大值10，或当时，当x1时，当x1时，f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当时，当x1时，当x3时，f（x）在x=1处取得极大值，符
7、合题意；则，故选C【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得，利用，f（1）=10求得是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题10.若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算，计算，根据系数的大小关系得到，解得答案.【详解】，第6项的系数最大，则.故选：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.设函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据题意计算，构造，将转化为，利用导数求出函数的单调区间，根据单调区间解不等式即可.【
8、详解】因为，所以，.令，则，.所以等价于.当，所以，为减函数.又因为，所以为偶函数，在为增函数.所以，即，解得：或.故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间来解不等式，同时考查了函数的奇偶性，构造函数为解决本题的关键，属于中档题.12.已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分类参数，构造新的函数，求出零点，判断的单调性，求出的最小值，即可求出【详解】解：时，不等式可化为，所以，设，其中，则，设，其中，则恒成立，则在上单调递增，令，得，所以在单调递减，单调递增，对任意正数恒成立，即，故选：B【点睛】考查导数在求参数问题中
9、的应用，判断函数的单调性，恒成立问题，参数分离法的应用等二、填空题（请将答案填在答题卷的相应位置）13.定积分等于_【答案】【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，所以，所以点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】1080【解析】 【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计
10、数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.15.已知函数，若的解集包含，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据的取值范围可将题意转化为对恒成立，分为和两种情形，解出的范围即可.【详解】当时，的解集包含，即对恒成立，当时，不等式化为，即；当时，为任意实数；当时，不等式化为，解得；综上知的取值范围是，故答案：.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化思想，属于中档题.16.已知实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】分析：分别设，则表曲线上点到直线的
11、距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解详解：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，因为，所以，令，解得，所以，所以曲线过点的切线方程为，即，所以直线与直线间的距离为，即最小值点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题三、解答题：（解答必须写出必要的文字说明或解答过程）17.已知i为虚数单位，关于x的方程有实数根b.（1）求
12、实数a，b的值；（2）若复数z满足，求z为何值时，有最小值，并求出的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）方程有实数根b，可得，根据复数相等列出式子解出a，b的值即可；（2）设（x，），由，得，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z，再求出，进而求出最小值即可.【详解】（1）是方程的实数根，解得.（2）设（x，），由，得，即，它表示复数z对应的点Z到点的距离为，构成的图形是以为圆心，为半径的圆，如图所示.当点Z在所在的直线上时，有最大值或最小值，半径，当时，有最小值，且.【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何
13、意义，考查数形结合思想，属于中档题.18.已知数列的前项和为，且满足，.（1）写出，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.【答案】（1），.（2）见解析【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可详解：（1）将，分别代入，可得，.猜想.（2）由（1），得时，命题成立；假设时，命题成立，即，那么当时， ，且，所以，所以，即当时，命题也成立.根据，得对一切，都成立.点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证
14、成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力19.设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）运用柯西不等式变形为求最值；（2）运用柯西不等式求的最小值，由题意可知，最小值大于等于，求的取值范围.【详解】（1），且，由柯西不等式可得：，可得，即的最小值为；（2）由柯西不等式可得；可得，即的最小值是，若成立，则，即或，解得:或.【点睛】本题考查柯西不等式的运用，求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题型.20.已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间
15、上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（）设，则.当时，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求
16、，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.21.某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平【答案】（1）；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】【分析】（1）解法一：分类讨论，事件“甲选手能晋级”包含“甲选手答对道题”和“甲选手答对道题”，然后利用概率加法公式求出所求事件的概率；解法二：计算出事件“甲
17、选手能晋级”的对立事件“甲选手答对道题”的概率，然后利用对立事件的概率公式可计算出答案；（2）乙选手答对的题目数量为，甲选手答对的数量为，根据题意知，随机变量服从超几何分布，利用二项分布期望公式求出，再利用超几何分布概率公式列出随机变量的分布列，并计算出，比较和的大小，然后可以下结论【详解】解法一：（1）记“甲选手答对道题”为事件，“甲选手能晋级”为事件，则；（2）设乙选手答对的题目数量为，则，故，设甲选手答对的数量为，则的可能取值为，故随机变量的分布列为所以，则，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件，则；（2）同解法二【点睛】本题考查概率的加法公式、对立事
18、件的概率、古典概型的概率计算以及随机变量及其分布列，在求随机分布列的问题，关键要弄清楚随机变量所服从的分布类型，然后根据相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题22.已知函数f（x）=-x2+ef（）x（）求f（x）的单调区间；（）若存在x1，x2（x1x2），使得f（x1）+f（x2）=1，求证：x1+x22【答案】（）在R上单调递增；（）见解析【解析】【分析】（I）f（x）=e2（x-1）-2x+ef（）令x=，则f（）=-1+ef（），解得f（），进而得出函数f（x）的单调性（II）由（I）可得：函数f（x）=-x2+x在R上单调递增要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x
19、2），又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2），即f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）=-1+1=，则x11x2令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=+-2x2+4x-2，x1，g（1）=0利用导数研究其单调性即可证明结论【详解】（I）f（x）=e2（x-1）-2x+ef（）令x=，则f（）=-1+ef（），解得f（）=f（x）=e2（x-1）-2x+1f（x）=2e2（x-1）-2=2（ex-1+1）（ex-1-1），时单调递增；时单调递减，x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（1）=0，函数f（x）在R上单调递增（II）
20、由（I）可得：函数f（x）=-x2+x在R上单调递增要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x2），又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2），即f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）=，则x11x2令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=-（2-x）2+2-x+-x2+x=+-2x2+4x-2，x1，g（1）=0g（x）=-e2（1-x）+e2（x-1）-4x+4，g（x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-40，g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）=0，函数g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）=0，因此结论x1+x22成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
