1、第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算栏目导航栏目导航2 学 习 目 标核 心 素 养 1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示(难点)2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算(重点)1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.栏目导航栏目导航3 自 主 预 习 探 新 知 栏目导航栏目导航4 1.向量的数量积的坐标公式设平面向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)数量积公式：abx1x2y1y2.(2)向量垂直公式：ababx1x2y1y2
2、0.0 栏目导航栏目导航5 思考 1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与 x轴、y 轴正方向相同的单位向量 e1，e2，如果对于平面向量 a，有 axe1ye2，则向量 a 的坐标为_，记作_，提示(x，y)a(x，y)栏目导航栏目导航6 2.三个重要公式(1)向量的模：a2x21y21.(2)两点间的距离公式：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.|a|x21y21x1x22y1y22栏目导航栏目导航7 思考 2：(1)若点 A(3,0),B(3,0)，则|AB|_.(2)若点 A(3,3),B(3，5)，则|AB|_.提示(1)6(2)10栏目导航栏目导航8(3
3、)向量的夹角公式：cos a，b .ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22栏目导航栏目导航9 1.已知 a(1，1)，b(2,3)，则 ab()A5 B4 C2 D1D ab(1，1)(2,3)12(1)31.栏目导航栏目导航10 2.(2019全国卷)已知向量 a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A 2 B2 C5 2D50A ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|1212 2.故选 A栏目导航栏目导航11 3.(2019全国卷)已知向量 a(2,2)，b(8,6)，则 cos a，b_.210 a(2,2)，b(8,6)，ab2(8)264，|a|22222
4、2，|b|826210.cos a，b ab|a|b|42 210 210.栏目导航栏目导航12 4已知 a(3，x)，|a|5，则 x_.4|a|32x25，x216.即 x4.栏目导航栏目导航13 合 作 探 究 提 素 养 栏目导航栏目导航14 利用向量数量积的坐标公式计算【例 1】(1)已知向量 a(2,3)，b(2,4)，c(1,2)，则 a(bc)_.(2)已知向量 a(1,3)，b(2,5)，求 ab，|3ab|，(ab)(2ab)思路探究(1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算 栏目导航栏目导航15(1)12 b(2,4)，
5、c(1,2)，bc(2,4)(1,2)(3,6)又a(2,3)，a(bc)(2,3)(3,6)2(3)3661812.栏目导航栏目导航16(2)解 ab123517.因为 3a3(1,3)(3,9)，b(2,5)，所以 3ab(1,4)，所以|3ab|1242 17.因为 ab(3,8)，2a(2,6)，所以 2ab(2,6)(2,5)(0,1)，所以(ab)(2ab)30818.栏目导航栏目导航17 1.数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式 abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa，(ab)(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22ab|b|2.
6、栏目导航栏目导航18(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解 栏目导航栏目导航19 2.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若 a(x，y)，则 aaa2|a|2x2y2，于是有|a|x2y2.栏目导航栏目导航20 1.已知 O 为坐标原点，点 A(1,0)，B(0,2)，若 OCAB 于点 C，则OC(OA OB)_.栏目导航栏目导航21 85 设点 C 的坐标为(x，y)，
7、由 A(1,0)，B(0,2)，得AB(1,2)，AC(x1，y)，因为 OCAB 于点 C，OC AB0ACAB，即x2y02xy20，解得x45y25，OC 45，25，OA OB(1,2)，所以OC(OA OB)85.栏目导航栏目导航22 2.已知向量 a(3，1)和 b(1，3)，若 acbc，试求模为2的向量 c 的坐标解 法一：设 c(x，y)，则 ac(3，1)(x，y)3xy，bc(1，3)(x，y)x 3y，栏目导航栏目导航23 由 acbc 及|c|2，得 3xyx 3y，x2y22，解得x 312，y 312或x 312，y 312，所以 c312，312或 c 312，
8、312.栏目导航栏目导航24 法二：由于 ab 31(1)30，且|a|b|2，从而以a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 acbc，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线此外，由于|c|2，即其长度为正方形对角线长度(2|b|2 2)的一半，故 c12(ab)312，312或 c12(ab)312，312.栏目导航栏目导航25 向量数量积的坐标公式与夹角问题【例 2】(1)已知向量 a(1,2)，b(2，x)，若 a 与 b 垂直，则实数 x 的值是()A4 B4 C1 D1(2)已知平面向量 a(1,3)，b(2，)，设 a 与 b 的夹角为.若 120，求
9、 的值要使 为锐角，求 的取值范围栏目导航栏目导航26 思路探究(1)根据向量垂直的坐标关系求解(2)由 120 求 cos ab|a|b|，建立方程求 的值 要使 为锐角，则 cos 0，且 a 与 b 不能共线，建立不等式求 的取值范围 栏目导航栏目导航27(1)D 因为 a(1,2)，b(2，x)，a 与 b 垂直，所以 ab0，即 122x0，解得 x1.故选 D(2)解 由于 a(1,3)，b(2，)，则 ab23，当 120 时，cos 120 ab|a|b|12，得2310 4212，平方整理得 13224120，解得 1210 313，由于 ab230，所以 0，且 cos 1
10、，ab|a|b|cos 0，ab0，即 1230，解得 23.若 ab，则 1230，即 6.但若 ab，则 0 或，这与 为锐角相矛盾，所以 6.综上所述，23且 6.栏目导航栏目导航29 利用向量法求夹角的方法技巧(1)若求向量 a 与 b 的夹角，利用公式 cos a，b ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角 栏目导航栏目导航30(2)非零向量 a 与 b 的夹角 与向量的数量积的关系：(1)若 为直角，则充要条件为向量 ab，则转化为 ab0 x1x2y1y20.(2)若 为锐角，则充要条件为 ab0，且 a 与 b 的夹角不能
11、为 0(即a 与 b 的方向不能相同)(3)若 为钝角，则充要条件为 ab0，且 a 与 b 的夹角不能为(即a 与 b 的方向不能相反)栏目导航栏目导航31 3.已知 a(sin，cos)，|b|2.(1)若向量 b 在 a 方向上的投影为1，求 ab 及 a 与 b 的夹角.(2)若 ab 与 b 垂直，求|2ab|.栏目导航栏目导航32 解(1)由向量数量积的几何意义知，ab 等于|a|与 b 在 a 方向上的投影的乘积，ab1(1)1.设 a 与 b 的夹角，0，则 cos ab|a|b|11212，23.栏目导航栏目导航33(2)若 ab 与 b 垂直，(ab)babb20，ab4，
12、|2ab|2ab2 4a24abb2 444222 6.栏目导航栏目导航34 向量数量积的坐标公式的综合问题【例 3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为 BC 的中点，点E 在线段 AB 上运动(1)求证：ECAD 为定值；(2)求ECEM 的最大值栏目导航栏目导航35 思路探究(1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值 栏目导航栏目导航36 解 法一：(几何法)(1)在边长为 1 的正方形 ABCD 中，ECAD ECBC|EC|BC|c
13、os BCE|BC|21(定值)栏目导航栏目导航37(2)如图，作 CNEM，垂足为 N，则 EBMCNM，得EMCMMBMN，所以 EMMNCMMB14，所以ECEM|EC|EM|cos CEN|EM|(|EC|cos CEN)|EM|EN|EM|(|EM|MN|)|EM|2|EM|MN|EM|214|AM|2141141432，所以当点 E 在点 A 时，ECEM 取得最大值32.栏目导航栏目导航38 法二：(坐标法)以点 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(x,0)，x0,1,栏目导航栏目导航3
14、9(1)ECAD(1x,1)(0,1)1(定值)(2)由上述可知，C(1,1)，M1，12，设 E(x,0)，x0,1，则ECEM(1x,1)1x，12(1x)212，当 x0,1时，(1x)212单调递减，栏目导航栏目导航40 当 x0 时，ECEM 取得最大值32.栏目导航栏目导航41 解决向量数量积的最值的方法技巧1“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.2“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.栏目导航栏目导航
15、42 4(2017全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32C43 D1栏目导航栏目导航43 B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)，所以PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2x22y 32232，当 x0，y 32 时，PA(PBPC)取得最小值为32，选 B栏目导航栏目导航44 5在矩形 ABCD 中，AB3，A
16、D1，若 M，N 分别在边 BC，CD 上运动(包括端点)，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AM AN 的取值范围是_栏目导航栏目导航45 1,9 分别以 AB，AD 为 x，y 轴建立直角坐标系，则 A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，设 M(3，b)，N(x,1)，因为|BM|BC|CN|CD|，所以 b3x3，则AN(x,1)，AM 3，3x3，栏目导航栏目导航46 故AM AN83x1(0 x3)，所以 183x19，所以AM AN的取值范围是1,9 栏目导航栏目导航47 1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出
17、这两个向量的数量积(2)求模利用|a|x2y2 计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式 cos x1x2y1y2x21y21 x22y22求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及 cos 求 的值栏目导航栏目导航48 2.知识导图栏目导航栏目导航49 当 堂 达 标 固 双 基 栏目导航栏目导航50 1.已知 a(1,2)，b(3,2)，则 ab()A1 B2 C3 D4A 因为 a(1,2)，b(3,2)，所以 ab1(3)221.栏目导航栏目导航51 2.已知 a(1,2)，b(6，3)，则必有()Aab Bb3a Cab Db3aC 由 a(1,2)，b(6，3)，得 162(3)0ab
18、.栏目导航栏目导航52 3.已知向量 a(2,2)，b(0，3)，则 a 与 b 的夹角为()A45 B60 C120 D135D 因为向量 a(2,2)，b(0，3)，则 ab6，|a|2 2，|b|3，则 cos a，b ab|a|b|22，又 0a，b180，所以 a 与 b 的夹角为 135.栏目导航栏目导航53 4(2019扬州高一检测)已知向量 a(1，1)，向量 b(1,2)，则(2ab)a_.1 由向量 a(1，1)，b(1,2)，得 2ab(1,0)，所以(2ab)a(1,0)(1，1)110(1)1.栏目导航栏目导航54 课 时 分 层 作 业 点击右图进入 Thank you for watching!
