1、1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在学 习 目 标核 心 素 养1了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系(易混点)2.掌握函数零点存在的判定方法(重点)3.能结合图像求解零点问题(难点)1.学习函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系,提升直观想象素养.2.通过结合图像与解函数零点问题,培养数学抽象、数学运算素养.函数零点及判定定理阅读教材P115P116整节的内容,完成下列问题(1)函数的零点:定义:函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系(2)函数零点的判定定理:若函数yf(x)在闭区间a,b上的
2、图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则yf(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?提示(1)不是点,是数(2)不一定,如yx21,在区间(2,2)上有两个零点1下列各图像表示的函数中没有零点的是()D选项A,B和C中,函数的图像与x轴有交点,而选项D中,函数图像与x轴没有交点,故该函数没有零点2函数f(x)x32x1的零点所在的大致区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)Af(0)10,且f(x)在区间0,1上连续,f(x)在(0,1)上至少有一个零点又f(x)在R上是增函数,则f(x)有唯一零点故选A.3若4是函数f(x)ax22log2x
3、的零点,则a的值是_依题意,f(4)0,即16a2log240,解得a.4函数yx的零点是_1由y0,得x0,解得x1.求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出(1)f(x);(2)f(x)x22x4;(3)f(x)2x3;(4)f(x)1log3x.解(1)令0,解得x3,所以函数f(x)的零点是3.(2)令x22x40,由于2244120,所以方程x22x40无解,所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30,解得xlog23,所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0,解得x3,所以函数f(x)1log3x的零点是3.函数零点的求法,求
4、函数yf(x)的零点通常有两种方法:其一是令f(x)0,根据解方程f(x)0的根求得函数的零点;其二是画出函数yf(x)的图像,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.1若函数f(x)x2xa的一个零点是3,求实数a的值,并求函数f(x)其余的零点解由题意知f(3)0,即(3)23a0,a6.所以f(x)x2x6.解方程x2x60,得x3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.判断零点所在的区间【例2】(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:x123456f(x)15107645则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个C4个D5个(2)函数f(x)
5、ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C.和(3,4)D(e,)(1)B(2)B(1)由已知数表可知f(2)f(3)10(7)0,f(3)f(4)(7)60,f(4)f(5)6(4)0,故函数f(x)在(2,3),(3,4),(4,5)上分别存在零点,故至少有3个零点(2)f(1)20,f(2)ln 210,在(1,2)内f(x)无零点,A错;又f(3)ln 30,f(2)f(3)0,f(x)在(2,3)内有零点1(变条件)已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点,则此零点所在区间是()A(3,4)B(2,3)C(1,2)D(0,1)C因为f(1)10,所以f(1)f(2)0
6、,所以f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点,又f(x)仅有一个正零点,故选C.2(变结论)探究1中,函数yf(x)有负零点吗?解当x1时,f(x)x3x1x(x21)11,当1x0时,f(x)x3x1x3(x1)(x1)0,综上知,当x0时,f(x)0时,令2ln x0,解得xe2,所以已知函数有两个零点,故选B.(2)因为f(1)2,f(2)ln 210;所以f(1)f(2)0.又f(x)ln xx23的图像在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点又f(x)在(0,)上是递增的,所以零点只有1个判断函数零点个数的三种方法(1)方程法:若方程f(x)0的解可求或能判断解
7、的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数(2)图像法:由f(x)g(x)h(x)0,得g(x)h(x),在同一平面直角坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像,根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法:函数yf(x)的图像在区间a,b上是一条连续不断的曲线,由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a,b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a,b)上是单调函数,则函数f(x)在区间(a,b)内只有一个零点2(1)函数f(x)x3的零点个数是()A0个B1个C2个D无数个(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x23x,则函数
8、g(x)f(x)x3的零点的集合为_(1)B(2)2,1,3(1)如图所示,作出yx3与y的图像,两个函数的图像,只有一个交点,所以函数只有一个零点,所以B项正确(2)f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x23x,令x0,f(x)x23xf(x),f(x)x23x,则f(x)g(x)f(x)x3,g(x),令g(x)0,当x0时,x24x30,解得x1或x3,当x0时,画出函数f(x)ax2bxc在区间(m,n)内有两个零点图像,并根据图像的特征,写出参数a,b,c满足的条件提示:2对于探究1中的问题,将“a0”改为“a0,a0时,设f(x)ax22x1,方程的根分别在区间(0,1
9、),(1,2)上,即解得a1.(3)当a0时,设方程的两根为x1,x2,则x1x20,x1,x2一正一负不符合题意综上,a的取值范围为.(变条件)若本例中的方程至少有一个正根,求实数a的取值范围解(1)当a0时,方程变为2x10,解得x,符合题意(2)当a0时,解得a1,故0a1.(3)当a0时,因为f(0)1,故函数f(x)ax22x1与x轴一定有两个交点,故方程ax22x10必有一个正根综上,实数a的取值范围是(,1解决二次方程根的分布问题应注意以下几点:(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.(2)结合草图考虑三个方面:开口方向;与0的大小;对称轴与所给端点值的关系;端点的函数值与
10、零的关系.1在函数零点存在定理中,要注意三点:(1)函数图像在区间a,b上是连续的;(2)定理不可逆;(3)在区间(a,b)内,函数至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标,也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数问题有时可以转化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础1思考辨析(1)零点即函数yf(x)的图像与x轴的交点()(2)若方程f(x)0有两个不等实根x1,x2,则函数yf(x)有两个零点()(3)若函数yf(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)f(
11、b)0.()答案(1)(2)(3)2yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A1,(1,0)B(1,0),0C(1,0),1D1,1C由yx10,得x1,故交点坐标为(1,0),零点是1.3若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内,则函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内;函数f(x)在(3,5)内无零点;函数f(x)在(2,5)内有零点;函数f(x)在(2,4)内不一定有零点;函数f(x)的零点必在(1,5)内以上说法错误的是_(将序号填在横线上)由于三个区间是包含关系,而(1,5)范围最大,零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子区间内,错误4判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出(1)y;(2)yx22x4;(3)y1log5x.解(1)令y0,得0,无解故函数不存在零点(2)令y0,得x22x40,444120.故函数不存在零点(3)令y0,得1log5x0,log5x1,解得x5.故函数的零点为5.