1、学案42空间几何体的表面积和体积导学目标： 1.了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆).2.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算自主梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧_V_圆锥S侧_V_r2圆台S侧_V(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧_V_正棱锥S侧_V_正棱台S侧_V(S上S下)h球S球面_V_2几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于_自我检测1一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是，则这个长方体的对角线长为_2(教材改编
2、)表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_3(教材改编)球的体积为，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为_4圆台的一个底面周长为另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面半径为_5(2010南京模拟)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为_探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60角，求此棱柱的侧面积与体积变式迁移1已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为_探
3、究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积变式迁移2直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_探究点三割补法与等积变换法例3 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_变式迁移3 (1)如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是_(2)(2009辽宁改编)正六
4、棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、
5、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010东北育才学校三模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于_2(2009陕西改编)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为_3已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是_4(2010南京联考)矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为_5(2010全国改编)设三棱柱
6、的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_6如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_7(2010苏州模拟)一块正方形薄铁片的边长为4 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm3.8(2010湖北) 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.二、解答题(共42分)9(14分)(2010徐州模拟) 如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的
7、侧面ABB1A1是圆柱的轴截面点C是弧AB的中点，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比10(14分) (2010抚顺模拟)如图，四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形(1)求证：BCAD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由11(14分)(2011南京模拟)如图，已知三棱锥PABC中，ACB90，CB4，AB20，D为AB中点，M为PB中点，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求证：DM平面PAC；(2)求证：平面PAC平面ABC；(3)求三棱锥MBCD的体积学案42空间几何体的表面积和体积答案自主梳理12rh
8、Shr2hrlShr2h(r1r2)lChShChSh(CC)h4R2R32.(1)各面面积之和(2)侧面积与底面面积之和自我检测1.2.231解析设球半径为R，则R3，R，正方体对角线长为，棱长为1，体积为1.47解析设上、下底半径为r、R，则2R32r，即R3r.又(Rr)l84，Rr28，r7.5.a3解析设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BDa时，BEDE，所以DE平面ABC，于是三棱锥DABC的高为DEa，所以三棱锥DABC的体积Va2aa3.课堂活动区例1解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高解决此类斜棱柱侧面积问题的
9、关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高解如图，过点A1作A1O面ABC于点O，连结AO.过点A1作A1EAB于点E，过点A1作A1FAC于点F，连结EO，FO，易得OEAB，OFAC，AA1和AB与AC都成60角，A1AEA1AF，A1EA1F.A1O面ABC，EOFO.点O在BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，ABC是正三角形，BCAD.BCAA1.AA1BB1，侧面BB1C1C是矩形，三棱柱的侧面积为S234sin 60341212.AA13，AA1与AB和AC都成60角，AE.BAO30，AO，A1O.三棱柱的体积为
10、V1612.变式迁移124解析如图所示，设D为BC的中点，连结A1D，AD.ABC为等边三角形，ADBC，BC平面A1AD，BCA1A，又A1AB1B，BCB1B，又侧面与底面边长都等于2，四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连结A1E，则ABA1E，又AD，DE，AE，A1E，S四边形ABB1A1，S三棱柱侧24.例2解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算求全面积时不要忘记“内表面”解如图所示，过C作CO1AB于O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，S圆
11、锥AO1侧RRR2，S圆锥BO1侧RRR2，S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧R2R2R2，旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球R3，V圆锥AO1AO1COR2AO1，V圆锥BO1BO1COR2BO1，V几何体V球(V圆锥AO1V圆锥BO1)R3R3R3.变式迁移220解析在ABC中，ABAC2，BAC120，可得BC2，由正弦定理，可得ABC外接圆的半径r2，设此圆圆心为O，球心为O，在RtOBO中，易得球半径R，故此球的表面积为4R220.例3解题导引求体积常用方法：割补法和等积变换法(1)割补法：对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常运用割补法：将原几何体分割成
12、几个可求体积的几何体，或利用平移、旋转或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体(2)等积变换法：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，任何一个面均可作为底面，且常用“等积性”求点到面的距离答案解析如图所示，过BC作EF的直截面BCG，作面ADM面BCG，FO，FG.GO，SBCG1，V1VBCGADMSBCGAB，V22VFBCG2.VV1V2.变式迁移3 (1)r2(2)21解析(1)补上一个相同形状的几何体，如图所示，可得底面半径为r，高为(ab)的圆柱，故所求的体积为r2(ab)(2)由题意可知VBGACVPGAC，三棱锥VBGACVGBAC，VDGACVGADC，又三棱锥GBAC与
13、三棱锥GADC等高，且SBACSADC12，综上可知VDGACVPGAC21.课后练习区1.解析设圆柱的底面半径为r，则高为2r，S2r2r，r，Vr22r2r32()32.2.解析由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个正四棱锥的高为，所以V21.348解析由R3，R2.正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则a2，a4.V(4)2448.4.解析易知外接球球心O即为AC的中点，故球半径rAC，Vr3()3.5.a2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又AOa，O
14、O2，设球的半径为R，则R2AOa2a2a2.S球4R24a2a2.66解析取底面中心为O，AF中点为M，连结PO、OM、PM、AO，则POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM，PM.S侧626.7.解析围成圆锥筒的母线长为4 cm，设圆锥的底面半径为r，则2r24，r1，圆锥的高h.V圆锥r2h(cm3)84解析设球的半径为r，则V水r28，V球r3，r28r33r26r，r4(cm)9解设圆柱的底面半径为r，母线长为h，当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABCA1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1ABC的体积为r2h，四棱锥A1BCC1B1的体积为r2hr2hr2h
15、，圆柱的体积为r2h，(9分)故四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比为23.(14分)10(1)证明取BC的中点E，连结AE，DE，ABC与DBC都是边长为4的正三角形，AEBC，DEBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD面AED，BCAD.(6分)(2)解由已知得，AED为等腰三角形，且AEED2，设ADx，F为棱AD的中点，则EF，SAEDx ，(10分)VSAED(BECE) (0x4)，当x224，即x2时，Vmax8，该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD2.(14分)11(1)证明D为AB中点，M为PB的中点，DMPA，又DM平面PAC，PA平面PAC，DM平面PAC.(3分)(2)证明M为PB的中点，且PDB是正三角形，DMPB，又DMPA，PAPB.(6分)又PAPC，PCPBP，PA平面PBC，又BC平面PBC，PABC.(8分)又ACB90，ACPAA，BC平面PAC.又BC平面ABC，平面PAC平面ABC.(11分)(3)解由(1)知DMPA，由(2)知PA平面PBC，DM平面PBC.在正三角形PDB中，由题意易求得DM5，SBCMSPBCBCPC42.(12分)V三棱锥MBCDV三棱锥DBCM5210.(14分)
