1、5.4.3 正切函数的性质与图象【学习目标】课程标准学科素养1.会求正切函数ytan(x)的周期2.掌握正切函数ytanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性3.掌握正切函数的单调性，并可以利用单调性比较大小和解不等式1.直观想象2.数学运算【自主学习】正切函数ytanx的图象与性质解析式ytanx图象定义域值域R周期 奇偶性 单调性在开区间 (kZ)内都是增函数解读：1.正切函数在每一个开区间(kZ)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数2.正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(k，0)，kZ，两线为直线xk和直线xk，其中kZ，这样可以快速地作出正切函数的
2、图象思考1：正切函数ytanx的图象与xk，kZ有公共点吗？思考2：直线ya与ytanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？【小试牛刀】思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数的图象是连续不断的()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值()(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心()(5)函数ytanx在其定义域上是增函数()(6)函数ytanx为奇函数，故对任意xR都有tan (x)tanx()【经典例题】题型一 正切函数的定义域和值域点拨：求正切函数定义域的方法1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切
3、函数ytanx有意义即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解2.求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kZ，解得x.例1 求下列函数的定义域：(1)ytan；(2)y.【跟踪训练】1 求下列函数的值域：(1)ytan(x)，x；(2) y=tanx-6,x-12,2.题型二 正切函数的奇偶性、周期性与对称性点拨： 1.一般地，函数yAtan(x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期2.若函数yAtan(x)为奇函数，则k或k(kZ)，否则为非奇非偶函数3.正切函数是奇函数，所以原点是ytanx的对称中心，同样，结合yta
4、nx的图象，可以得到kZ都是正切函数的对称中心例2(1)函数y3tan (2x3)的最小正周期是()A2B3CD3(2)函数f(x)tanx1+cosx()A是奇函数 B是偶函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数【跟踪训练】2 (1)若f(x)tan (x)(0)的周期为1，则f(13)的值为()A3 B33 C33 D3(2)已知函数f(x)tan(x)的图象的一个对称中心为且|0，由于ytanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，求得x的范围即可2.若0)的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，则f的值是()A0 B1 C1 D.5.与函数yta
5、n的图象不相交的一条直线是()Ax Bx Cx Dx6.（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A是奇函数B的定义域是C在上单调递增D的图象的对称中心是，7.函数ytanx的值域是_8.已知函数是上的严格增函数，则正实数的取值范围是_.9.已知函数，求的最小正周期、定义域与单调区间.【课堂小结】1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2.正切函数的性质(1)正切函数ytanx的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytanx的最小正周期是，函数yAtan(x)(A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上递增，不能写成闭
6、区间正切函数无单调减区间.【参考答案】【自主学习】 奇 思考1：没有正切曲线是由被互相平行的直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的.思考2：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为.【小试牛刀】(1)(2) (3)(4) (5)(6)【经典例题】例1 解：(1)由xk(kZ)得，xk，kZ，所以函数ytan的定义域为.(2)由tanx0且tanx有意义得xk且xk，kZ，即x，kZ，所以函数y的定义域为.【跟踪训练】1 解：(1)ytan(x)tanx，在上为减函数，所以值域为(，1) (2)x，函数的值域为.例2 (1)A 解析：由解析式及正切函数的性质，最小正周期T2.(2)A
7、 解析：要使f(x)有意义，必须满足xk+2kZ，1+cosx0，即xk2，且x(2k1)(kZ)，函数f(x)的定义域关于原点对称又f(x)tan-x1+cos-xtanx1+cosxf(x)，故f(x)tanx1+cosx是奇函数【跟踪训练】2 (1)D 解析：f(x)tan (x)(0)的周期为1，即f(x)tanx，则f(13)tan33.(2) 或 解析：由题意得(kZ)，即(kZ)，又|，所以或.例3-1 解：由kxk(kZ)得，2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)例3-2 解析：由题意可知，求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，由得，所以函数的单调递减区
8、间为.例4 解析： (1)tan107tan37，且027372，又ytanx在(0，2)上单调递增，所以tan27tan37，即tan27tan107.(2)由于tantantantan，tantantan，又0，而ytanx在上单调递增，所以tantan，即tantan.例5 解：(1)不等式1tan x0即tan x1，由正切函数图象可知在上，使不等式1tan x0成立的x的取值范围是x.故使不等式成立的x的集合为. (2)由函数ytanx的图象可知在上满足tanx的解应满足x，再结合ytanx的周期，将x看成一个整体，得kxk，kZ，即k0，即tanx1.结合正切曲线，可得kxk(kZ
9、)所以函数y的定义域是(kZ)2.C 解析：由题意知tanx0,-cosx0,0x2,函数的定义域为,32,故选C.3.C 解析：令kxk，解得kxk，kZ，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故B错误；令x，解得x，kZ，令k1得到x，是函数的对称中心，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数ytan的图象也没有对称轴，故D错误故选C.4.A 解析：由题意，T，4，f(x)tan4x, ftan0，故选A.5.D 解析：当x时，2x，而的正切值不存在，所以直线x与函数的图象不相交故选D.6.ACD 解析：对于A，定义域关于原点对称，且，故是奇函数，故A正确；对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误；对于C，令，解得，当时，在上单调递增，故C正确；对于D，得，即的图象的对称中心是，故D正确；故选：ACD7. (，11，) 解析：因为ytanx在，上都是增函数，所以ytan1或ytan1.8. 解析：函数在内是单调增函数，解得，经检验，满足题意.的取值范围是9. 解：因为，所以的最小正周期为：；由正切函数的性质可知，解得，故的定义域为；又因为的单调递增区间为，且无单调递减区间，故由，解得，从而的单调增区间为，无单调递减区间.
