1、5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 【学习目标】课程标准学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期3.掌握函数ysinx，ycosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性1.直观想象2.逻辑推理【自主学习】一函数的周期性1.函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个_，使得对每一个xD都有xTD，且_，那么函数f(x)就叫做周期函数._叫做这个函数的周期2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期解读：(1)并不是每一个
2、函数都是周期函数.(2)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期内的性质，就可以知道它的整体性质(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysinxycosx周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期_奇偶性_【小试牛刀】思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有的周期函数都有最小正周期.()(2)周期函数yf(x)的周期可能只有一个.()(3)若sinsin，则是函数ysin x的一个周期.()(4)因为sinsin，所以函数ysin的周期为4.()(5)函数y是
3、奇函数.()(6)函数ysin是奇函数.()【经典例题】题型一 正、余弦函数的周期性点拨：求三角函数周期的方法：1.定义法：即利用周期函数的定义求解2.公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的最小正周期T；形如y|Asin(x)|或y|Acos(x)| (A0，0)的最小正周期T.3.图象法：即通过观察函数图象求其周期例1 求下列函数的最小正周期(1)f(x)cos；(2)f(x)|sinx|.【跟踪训练】1 利用周期函数的定义求下列函数的周期(1)ycos 2x，xR； (2)ysin，xR.题型二 正、余弦函数的奇偶性点拨：1.判断函数奇偶性应把握好的两个
4、方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断例2 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sinxcosx；(2)f(x)1-cosx+cosx-1.【跟踪训练】2 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)cosx2sin ; (2)f(x)sin|x|.题型三 正、余弦函数周期性与奇偶性的应用点拨：1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，再利用公式求解2.与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使yAsin(x)(A0)为奇函
5、数，则k(kZ)；(2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)；(3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)；(4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ)例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()Aycos|2x|By|sin 2x|Cysin Dycos(2)若函数f(x)sin是偶函数，则的一个取值为()A2010 BC D【跟踪训练】3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sinx，求f的值【当堂达标】1.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是() 2.设
6、函数f(x)(xR)满足f(x)f(x), f(x2)f(x)，则函数yf(x)的图象是()3函数f(x)3sin是()A周期为3的偶函数 B周期为2的偶函数C周期为3的奇函数 D周期为的偶函数4.函数f(x)sin，xR的最小正周期为 5.函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是_6.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin2；(2)f(x)xcosx；(3)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x) . 【参考答案】【自主学习】一非零常数Tf(xT)f(x)非零常数T 最小的正数二22奇函数偶函数【小试牛刀】 (1) (2)(3) (4) (5) (6)【经典
7、例题】例1 解：(1)解法一：定义法f(x)coscosf(x)，即f(x)f(x)，函数f(x)cos的最小正周期为.解法二：公式法ycos，2.又T.函数f(x)cos的最小正周期为.(2)解法一：定义法f(x)|sinx|，f(x)|sin(x)|sinx|f(x)，f(x)的最小正周期为.解法二：图象法函数y|sinx|的图象如图所示，由图象可知最小正周期为.【跟踪训练】1 解：(1)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(2)因为sinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6. 例2解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称
8、f(x)sin (x)cos (x)sinxcosxf(x)，f(x)sinxcosx为奇函数(2)由1-cosx0，cosx-10，得cosx1，函数的定义域为x|x2k，kZ，定义域关于原点对称当cosx1时，f(x)0，f(x)f(x)f(x)1-cosx+cosx-1既是奇函数又是偶函数【跟踪训练】2 解： (1)f(x)sin 2xx2sin x，又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数(2)因为函数的定义域为R，f(x)sin|x|sin|x|f(x)，所以函数f(x)sin|x|是偶函数例3 (1)D 解析：ycos|
9、2x|是偶函数，y|sin2x|是偶函数，ysin (22x)cos2x是偶函数，ycos (322x)sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T. (2)D 解析：当时，f(x)sincosx为偶函数，故选D.【跟踪训练】3 解：f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin.f.【当堂达标】1.D 解析：观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象2.B 解析：由f(x)f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称由f(x2)f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.3.A 解析：f(x)3sin3sin3sin3cosxT3，而f(x)f(x)，则f(x)为偶函数4.4 解析：由已知得f(x)的最小正周期T4.5. 4 解析：由题意得2，k4.正整数k的最小值为4.6. 解：(1)因为xR，f(x)sin2cos2，所以f(x)cos2cos2f(x)，所以函数f(x)sin2是偶函数(2)因为xR，f(x)xcos(x)xcosxf(x)，所以f(x)xcosx是奇函数(3)由得1sin x1，解得定义域为，f(x)的定义域关于原点对称又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)，f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)，f(x)为奇函数
