1、第2讲立体几何综合问题【自主学习】第2讲立体几何综合问题(本讲对应学生用书第1620页)自主学习回归教材1. (必修2 P49练习1改编)已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3 cm，那么这个正四棱柱的侧面积为cm2.【答案】72【解析】侧面矩形的高为6 cm，所以侧面积为436=72cm2.2. (必修2 P49练习4改编)用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是.【答案】r【解析】圆锥筒底面圆周的半径R=，高h=r.3. (必修2 P57习题2改编)若一个正六棱锥的底面边长为6 cm，高为15 cm，则它的体积为cm3.【答案】270【解析】由题意可得，底面积
2、S=666=54，则体积为V=Sh=5415=270.4. (必修2 P71复习题19改编)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1V2=.(第4题)【答案】124【解析】因为D，E分别是AB，AC的中点，所以SADESABC=14.记F和A1到平面ABC的距离分别为h1，h2.由F为AA1的中点，得h1h2=12.所以=124.5. (必修2 P54练习4改编)已知一个正四棱台油槽可以装煤油190L，它的上、下底面边长分别为40 cm和60 cm，求它的深度.【答案】【解答】
3、由题意有S上=402=1600(cm2)，S下=602=3600(cm2)，V=h(S上+S下)=h(1600+3600)=h，所以h=190000，解得h=75(cm).即油槽的深度为75 cm.【要点导学】要点导学各个击破空间几何体的表面积和体积例1(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.【分析】理解题意是解决本题的关键；条件“总体积与高均保持不变”与“底面半径相同”是解题的入手点.【答案】【解析】由体积相等得452+228=r24+r28
4、r=.【点评】解决圆柱或圆锥的体积及面积时，常把问题转化到基本公式的运用与基本量的运算上，如底面半径，以及母线长等.变式(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是.【分析】圆柱的体积等于底面积乘以高，确定底面半径与高的大小或比例关系是解题关键.【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2r1h1=2r2h2，即=.又=，所以=，所以=.【点评】解决圆柱的面积或体积问题时，常转化到一些基本量的运算上，比如高、底面圆半径等.近三年江苏高考中每年一道相关的填空题，这一点要特别关注.空间图形的
5、翻折问题例2如图(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD=，AB=BC=AD=a，E为AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1) 求证：CD平面A1OC；(2) 当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值. 图(1) 图(2)(例2)【分析】翻折问题要特别关注图形翻折前后数量与位置关系的变或不变.题中主要改变的是点A的位置，随之平面图形变为立体图形.(1) 中问题仍是常见的线面垂直问题；(2) 根据体积公式构造含有a的方程，解之即可.【解答】(1) 在图(1)中，因为AB=BC=AD=a，
6、E是AD的中点，且BAD=，所以BEAC.即在图(2)中，BEA1O，BEOC，又A1OOC=O，所以BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2) 由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDE=BE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由图(1)可知，A1O=AB=a，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2，故四棱锥A1-BCDE的体积V=SA1O=a2a=a3，由a3=36，得a=6.变式如图(1)，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB.(
7、1) 若F是BP的中点，求证：CF平面APE；(2) 求证：平面APE平面ABCE.(变式(1)【分析】本题主要考查线面、面面位置关系的证明.(1) 利用面面平行证明线面平行；(2) 取AE，BC的中点，利用已知的两个等腰三角形得出线线垂直，进而得出线面垂直、面面垂直.【解答】(1) 如图(2)，取AB的中点G，连接GF，GC.因为ECAG，EC=AG=AB，所以四边形AECG为平行四边形，所以GCAE.因为AE平面APE，CG平面APE，所以GC平面APE.(变式(2)在ABP中，GFAP，因为AP平面APE，GF平面APE，所以GF平面APE.又GFGC=G，所以平面CGF平面APE.因为
8、FC平面CGF，所以CF平面APE.(2) 取AE的中点O，连接PO，因为PA=PE，所以POAE.取BC的中点H，连接OH，PH，可知OHAB，所以OHBC.因为PB=PC，所以BCPH.又PHOH=H，PH，OH平面POH，所以BC平面POH，所以BCPO.又BC与AE相交，BC，AE平面ABCE，所以PO平面ABCE.因为PO平面APE，所以平面APE平面ABCE.存在性问题研究例3(2014四川卷)在如图(1)所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都是矩形.(例3(1)(1) 若ACBC，求证：直线BC平面ACC1A1.(2) 设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线
9、段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.【分析】结合条件ACBC，再证得BCAA1，即可证明直线BC平面ACC1A1.先找到点，再证明该点满足条件.若在条件中多次出现“中点”，即可找“中点”并验证.【解答】(1) 因为四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为BC平面ABC，所以AA1BC.又因为ACBC，且AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC平面ACC1A1. (2) 当点M为线段AB的中点时，DE平面A1MC.证明如下：如图(2)，取线段AB的
10、中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C与AC1的交点，由题知O为AC1的中点.(例3(2)连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以MD=AC，OE=AC，且MDAC，OEAC，所以MDOE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，所以DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.变式如图(1)，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.(变式(1)(1) 求证：AP
11、BC.(2) 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【分析】可以通过直线BC平面PAD来证明BCAP；二面角A-MC-B为直二面角即平面AMC平面BMC，题目本意上是要找点，使得两平面垂直，因此可先考虑把面面垂直作为条件，然后去找点M需要满足的条件.【解答】(1) 因为AB=AC，D是BC的中点，所以ADBC.因为PO平面ABC，所以POBC.因为POAD=O，PO，AD平面PAD，所以BC平面PAD，所以BCPA. (2) 如图(2)，在平面PAB内，作BMPA于点M，连接CM，由(1)知APBC.因为BMBC=B，BM，BC
12、平面BMC，所以AP平面BMC.(变式(2)又因为AP平面APC，所以平面BMC平面APC.在RtADB中，由AB2=AD2+BD2=41，得AB=.在RtPOD中，PD2=PO2+OD2，在RtPDB中，PB2=PD2+BD2，所以PB2=PO2+OD2+DB2=36，则PB=6.在RtPOA中，由PA2=AO2+OP2=25，得PA=5.又cos BPA=，所以PM=PBcos BPA=2，所以AM=PA-PM=3.综上所述，存在点M符合题意，AM=3.【点评】(1) 证明线面平行、垂直都可以通过转化为线线的平行、垂直来证明.(2) 探求符合要求的点或线的问题时可以先假设存在，即增加条件后
13、再证明；或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线，再通过对其进行平移，来寻找正确的结果，然后再反过来直接证明.1. 如图，已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则四棱锥O-ABCD的体积为.(第1题)【答案】8【解析】连接AC，BD交于点H，连接OH，在矩形ABCD中，由AB=6，BC=2可得BD=4，所以BH=2.在RtOBH中 ，由OB=4，所以OH=2，所以四棱锥O-ABCD的体积V=622=8.2. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为.(第2题)【答案】【解析】=.3. (2015南
14、通、扬州、泰州、淮安三调)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V=cm3.(第3题)【答案】1+【解析】空间几何体为一正方体和一正四棱锥的组合体，正方体的体积为1，正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，则棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，即组合体的体积为1+.4. 如图(1)所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，AB=3，BC=4，作BB1AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P.作CC1AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图(2)所示的三棱柱ABC-
15、A1B1C1.(1) 求证：AB平面BCC1B1；(2) 求四棱锥A-BCQP的体积. 图(1) 图(2)(第4题)【解答】(1) 在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，所以三棱柱ABC-A1B1C1中ABC的边AC=5.因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以ABBC.因为四边形ADD1A1为正方形，AA1BB1，所以ABBB1.又因为BCBB1=B，BC，BB1平面BCC1B1，所以AB平面BCC1B1.(2) 因为AB平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A-BCQP的高.因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，所以梯形BCQP
16、的面积为S梯形BCQP=(BP+CQ)BC=(3+7)4=20，所以四棱锥A-BCQP的体积=S梯形BCQPAB=20.【融会贯通】完善提高融会贯通典例如图(1)所示，在RtABC中，AC=6，BC=3，ABC=90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，且CE=4.如图(2)所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点.图(1) 图(2)(典例)(1) 求证：DE平面BCD；(2) 若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积.【思维引导】【规范解答】(1) 在图(1)中，因为AC=6，BC=3，ABC=90，所以ACB
17、=60.因为CD是ACB的平分线，所以BCD=ACD=30，所以CD=2.2分因为CE=4，DCE=30，所以DE=2.因为CD2+DE2=EC2，所以CDE=90，则DEDC.4分在图(2)中，因为平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACD=CD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.7分(2) 在图(2)中，因为EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDG=BG，所以EFBG.9分因为点E在线段AC上，CE=4，点F是AB的中点，所以AE=EG=CG=2.作BHCD交CD于点H，如图(3)所示.因为平面BCD平面ACD，所以BH平面ACD.11分由已知条件可得BH=， 12分SDEG
18、=SACD=ACCDsin 30=，13分所以三棱锥B-DEG的体积V=SDEGBH=.14分图(3)(典例)【精要点评】 对于翻折问题，通常在折痕同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变，但是在折痕两侧的线的长度、角的大小以及位置关系都发生变化，这一点是处理翻折问题的关键.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第11-12页.【课后检测】第2讲立体几何综合问题一、填空题1. (2015南通期末)底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.2. (2015苏州调查)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则S1S2=.3. 如图，
19、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1-BCO的体积=.(第3题)4. (2015盐城三模)已知正四棱锥P-ABCD的体积为，底面边长为2，那么侧棱PA的长为.5. (2015无锡期末)在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则=.6. (2014安徽卷改编)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.若EB=2，则四边形GEFH的面积为.(第6
20、题)二、 解答题7. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60.(1) 求三棱锥P-ABC的体积；(2) 求证：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.(第7题)8. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA=2，PDA=45，点E，F分别为棱AB，PD的中点.(1) 求证：AF平面PCE；(2) 求证：平面PCE平面PCD；(3) 求三棱锥C-BEP的体积.(第8题)9. 已知等腰梯形PDCB(如图(1)中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1.将PAD沿AD折起，使平面PAD平面ABCD(如
21、图(2).(1) 求证：平面PAD平面PCD；(2) 试在棱PB上确定一点M，使得截面AMC将几何体分成的两部分VPDCMAVMACB=21；(3) 在M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行平面AMC. 图(1) 图(2)(第9题)10. (2014江西卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1) 求证：A1CCC1；(2) 若AB=2，AC=，BC=，问：AA1为何值时，三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大?并求此最大值.(第10题)【课后检测答案】第2讲立体几何综合问题1. 4【解析】正四棱锥的底面边长为2，高为1，则侧面的高为=，所以该正四棱锥的侧面积为
22、42=4.2. 32【解析】设球的直径为2R，则S1S2=(2R2+2R2R)4R2=32.3. 【解析】=SBCOh=212=.4. 【解析】由题意得V=22h=，解得h=1，所以侧棱长为=.5. 【解析】=.6. 18【解析】因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFH=GH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA=PC，O是AC的中点，所以POAC.同理可得POBD.又BDAC=O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平
23、面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8，EB=2，得EBAB=KBDB=14，从而KB=DB=OB，即K是OB的中点.再由POGK得GK=PO，所以G是PB的中点，且GH=BC=4.由已知可得OB=4，PO=6，所以GK=3，故四边形GEFH的面积S=GK=3=18.7. (1) 在ABC中，AB=1，AC=2，BAC=60，所以SABC=ABACsin BAC=12sin 60=.又因为PA平面ABC.所以PA是三棱锥P-ABC的高.所以=PASABC=1=.(2) 过点B作B
24、N垂直AC于点N，过N作NMPA交PC于M.易知MN平面ABC.又AC平面ABC，所以MNAC.又因为MNBN=N，所以AC平面BMN.又BM平面BMN，所以ACBM.此时M即为所求点.在ABN中，易知AN=，所以=.8. (1) 如图，取PC的中点G，连接FG，EG，所以FG为CDP的中位线，所以FGCD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以AECD，所以FGAE，所以四边形AEGF是平行四边形，所以AFEG.又EG平面PCE，AF平面PCE，所以AF平面PCE.(第8题)(2) 因为PA底面ABCD，所以PAAD，PACD.又ADCD，PAAD=A，所以CD平面ADP.又AF平面
25、ADP，所以CDAF.在RtPAD中，PDA=45，所以PAD为等腰直角三角形，所以PA=AD=2.又F是PD的中点，所以AFPD.又CDPD=D，所以AF平面PCD.又AFEG，所以EG平面PCD.又EG平面PCE，所以平面PCE平面PCD.(3) 求三棱锥C-BEP的体积即为三棱锥P-BCE的体积，所以PA是三棱锥P-BCE的高.在RtBCE中，BE=1，BC=2，所以三棱锥C-BEP的体积为=SBCEPA=BEBCPA=122=.9. (1) 由题意知CDAD.又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，所以DC平面PAD.又DC平面PCD，所以平面P
26、AD平面PCD.(2) 由(1)知PA平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.如图，在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD.设MN=h，则=SABCh=21h=，=(SABC+SADC)PA=11=.要使VPDCMAVMACB=21，即=21，解得h=，即M为PB的中点.(3) 连接BD交AC于O，因为ABCD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD，所以O不是BD的中心.又因为M为PB的中点，所以在PBD中，OM与PD不平行.所以OM所在直线与PD所在直线相交.又OM平面AMC，所以直线PD与平面AMC不平行.(第9题)10. (1) 由AA1BC知BB1BC.又BB1A1B，BCA1B=B，BC，A1B平面BCA1，所以BB1平面BCA1.因为A1C平面BCA1，所以BB1A1C.又BB1CC1，所以A1CCC1.(2) 设AA1=x.在RtA1BB1中，A1B=.同理，A1C=.在A1BC中，cosBA1C=-，sinBA1C=，所以=A1BA1CsinBA1C=.所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AA1=.因为x=，所以当x=，即AA1=时，体积V取得最大值为.
