1、5.3.1 单调性一、函数单调性概念及求法1、函数的单调性的概念：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减【注意】（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零2、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间二、已知函数的单调性求参数1、函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；2、函数在区间D上
2、存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；3、已知函数在区间D内单调不存在变号零点4、已知函数在区间D内不单调存在变号零点题型一 求函数的单调区间【例1】函数的单调递减区间为（ ）A B C D【答案】A【解析】， 令 ，即 ，解得 的单调递减区间为，故选：A【变式1-1】已知函数，则函数的单调递增区间为（ ）A B， C D【答案】C【解析】定义域为，解得，当时，所以的单调递增区间为.故选：C【变式1-2】已知函数的导函数为，则函数的单调递增区间为（ ）A B， C D【答案】C【解析】由得，所以，所以，因为，所以由得，故选：C【变式1-3】已知函数（）.（1），求函数在处的切线方程；（2）讨
3、论函数的单调性.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】（1）时，切线的斜率，则切线方程为；（2）函数的定义域为，且，当时，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当，即时，由，得或；由，得.则函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.当，即时，由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.题型二 已知函数的单调性求参数【例2】若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围
4、是（ ）A B C D【答案】A【解析】在区间上是增函数，在上恒成立，因为，所以令，则，即，令，则，在上单调递减，即，故选：A【变式2-1】若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）A或或 B或C D不存在这样的实数【答案】B【解析】，令，解得，或，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，即函数极值点为，若函数在区间上不是单调函数，则或，所以或，解得或，故选：B【变式2-2】设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时
5、取得，所以故选：D【变式2-3】对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】依题意，令，则对任意的，当时，即有函数在上单调递减，因此，而，则，所以实数的取值范围是.故选：C题型三 原函数与导函数的图象关系【例3】设函数f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）A B C D【答案】B【解析】由函数的图象，知当时，是单调递减的，所以；当时，先减少，后增加，最后减少，所以先负后正，最后为负故选：B【变式3-1】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（ ）A B C D【答案】A【解析】设导函数与横轴的交点为，设
6、，由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，由此可以确定选项C符合，故选：A【变式3-2】设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】对于A，如果把 作为的图象，则，原点处取等号，则单调递增，故A正确；对于B，如果把 作为的图象，则，则单调递增，故B正确；对于C，如果把 作为的图象，则，则单调递增，故C正确；对于D，如果把 作为的图象，则，在个别点处取等号，则单调递增，与图中不符；如果把 作为的图象，则在图象所对应的范围内，在个别点处取等号，则单调递减，与图中不符；故D不可能，故选：D【变式3-3】已知函数
7、的图象如图所示，则的图象可能是（ ）A B C D【答案】C【解析】由函数的图象可知：当时，即，此时单调递增；当时，即，此时单调递减；当时，即，此时单调递减；当时，即，此时单调递增故选：C【变式3-4】设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ）A B C D【答案】C【解析】由函数的图像可知，在区间上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，即当时，；当x(0,2)时，.因为可化为或，解得：0x2或x0.题型四 利用单调性解不等式【例4】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，所以，即函数单调递增，由可得，解得故选：D【变式4-1】已知函数 的导函数为，
8、若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】A【解析】令，则，所以在上单调递增，,等价于,即，即，所以不等式的解集为. 故选：A.【变式4-2】是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】构造，则，因为定义域为，且，所以所以函数在上单调递增，不等式可化为：，即，所以有，解得：.即不等式的解集为：.故选：D【变式4-3】已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】令，则，所以为奇函数，所以为增函数，由可得，即，则，则，解得，不等式的解集为【变式4-4】设函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_.【
9、答案】【解析】令,则,因为,所以,所以是上的增函数,不等式等价于,因为,所以,等价于,解得,即不等式的解集为.题型五 利用单调性比较大小【例5】设，则（ ）A B C D【答案】A【解析】设，因为，令，得；令，得所以在上单调递增，在上单调递减，而，因为，所以故选：A【变式5-1】已知，则（ ）A B C D【答案】D【解析】，令，在上单调递减，,所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以,即.故选：D【变式5-2】已知，则，的大小关系为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为，故令，则，因为，所以，故恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，故，又因为在上单调递增，所以，即.故选：B.【变式5-3】已知，其中为自然对数的底数，则（ ）A B C D【答案】A【解析】因为，即，设，且，则，在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以，所以.故选：A.
