1、6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理第六章 平面向量初步 学习目标 1.理解共线向量基本定理及其应用.2.了解平面向量基本定理及其含义.重点：1.共线向量基本定理；2.平面向量基本定理.难点：平面向量基本定理的应用.知识梳理 一、共线向量基本定理如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得.ba 在共线向量基本定理中：（1）ba时，通常称为b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有.由aa可知（-）a0，如果-0，则a0，与已知矛盾，所以-0，即.如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得 .二、平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b
2、不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得.cxa+yb 如果cxa+ybua+vb，那么xu且yv.当a与b不共线时，xa+yb0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果cxa+yb，则称xa+yb为c在基底a，b下的分解式.例1 一 共线向量基本定理判定向量共线常考题型 判断下列各小题中的向量a，b是否共线（其中e1，e2不共线）.（1）a5e1，b-10e1；（2）a12e1-13e2，b3e1-2e2；（3）ae1+e2，b3e1-3e2.【解题提示】关键看向量a，b是否存在倍数
3、关系.【解】（1）因为b-2a，所以a与b共线；（2）因为a16b，所以a与b共线；（3）假设存在实数使ab，则e1+e2（3e1-3e2），所以（1-3）e1+（1+3）e20.因为e1与e2不共线，所以1-30，1+30.这样的不存在，因此a与b不共线.判定向量共线的方法分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数，使ba，若能找到，则a，b共线，若不能找到，则a，b不共线.2019山东日照高一检测下列各组向量：a2e1，b-2e1；ae1-e2，b-2e1+2e2；a4e1-e2，be1-e2；ae1+e2，b2e1-2e2.若e1，e2不共线，则其中a，b共线的有 （填序号）.1.2
4、019江苏宿迁高一检测下列命题中正确的是 （填序号）.-5（6a）-30a；7（a+b）+6b7a+13b；若am-n，b3（m-n），则a，b共线；若（a-5b）+（a+5b）2a，则a，b共线.2.例2 利用基本定理求参数2019湖北省黄梅一中高一检测已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为 .【解题提示】利用共线向量的性质列出方程（组），由此求出m的值.【解析】因为向量ma-3b与a+（2-m）b共线，所以ma-3ba+（2-m）b =,3=2 .解得m-1或m3.【答案】-1或3利用基本定理求参数的方法若向量a，b（a0）共线，则由基本定
5、理可得，存在一个实数，使得向量b能用非零向量a来表示，即若b与a（a0）是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba，再利用对应系数相等这一条件，列出方程组，从而求解.已知e1，e2是两个不共线的向量，且ae1+me2与b-3e1-e2共线，则m .（2）已知e1和e2不共线，ae1+e2，b4e1+2e2，并且a，b共线，则的值是 .21.132019江苏海安高一检测在ABC中，点P是AB上一点，且23+13，又，则t的值为 .（2）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若 +，则m，n的值分别为 .34,122.13利用共线向量基本定理解决几何问题例3（1）已知两个非零
6、向量a与b不共线，如果 a+b，2a+8b，2a-4b，求证：A，B，D三点共线.（2）已知a，b是两个不共线向量，且a与b起点相同，问：实数t为何值时，a，tb，13（a+b）三向量的终点在同一直线上？【解题提示】由A，B，D三点构成的向量中有两个向量共线证明A，B，D三点共线.（1）【证明】因为 +（2a+8b）+（2a-4b）4a+4b4（a+b）4，所以根据共线向量基本定理，与共线.又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.【解题提示】三向量终点在同一直线上，即a-tb与a-13（a+b）共线.（2）【解】由题设易知，若三向量终点在同一直线上，则存在唯一实数，使a-tba-13（a+
7、b），化简，得(23 1)a(3 )b.a与b不共线，23 1=0,3 =0.解得 =32,=12.故当t12时，三向量的终点在同一直线上.三点共线的线性表示1.设A，B，C是平面内三个点，且三点互不重合，点P是平面内任意一点，若存在实数，使得 +，且+1，则A，B，C三点共线，这就是三点共线的线性表示.2.设A，B，C是平面内三个点，且三点互不重合，点P是平面内任意一点，若A，B，C三点共线，且存在实数，使得 +，则未必有+1.如图，点P，A，B，C共线，且A，B为线段PC的两个三等分点.显然有 +，此时1，不满足+1，若要使其成立，必须附加条件“点P不在直线AB上”.3.特别地，如图，点C
8、在直线AB上，若 t，则 11+t +t1+；当C是AB的中点时，t1，此时 12（+）.1.过ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D，E，若 ，且xy0，则1+1的值为 .3 2.2019山东枣庄高三月考（1）已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 +.求证：m+n1.（2）如图所示，在OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD2DB，DC和OA相交于点E.设 a，b.若 ，求实数的值.（1）证明：A，B，P三点共线，可设 ，=+=+=+（）（1-）+.又 m +n ，1 =,=,m+n1.（2）解：由C，D，E三点共线，可设 k ，OD 2DB，=23 =
9、23b.又 2，=+=+2=+2（）2a-b，=23b-（2a-b）53b-2a.k =53 kb-2ka，而 a，=a-（2a-b）b+（-2）a，53=1,2=2,解得45.【名师点拨】对于平面上的任一点O，不共线，满足 x+y（x，yR），且x+y1P，A，B三点共线.二 平面向量基本定理基底的判断例4 如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是.e1+e2（，R）可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1+e2的实数对（，）有无穷多个；若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线，则有且只有一个实数，使得1e1+1e2（2e1+2e2）；若存在实数，使得
10、e1+e20，则0.【解析】由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当12120时，这样的有无数个.【答案】【注意】1.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量a，b组成的集合a，b都可以作为基底.2.基底给定时，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一确定的数值.3.平面内的任意向量c都可在给出的基底下进行分解，同一非零向量在不同基底下的分解式不同.4.若a，b是同一平面内所有向量的一组基底，则当c与a共线时，y0；当c与b共线时，x0；当c0时，xy0.2019河北衡水高一检测若e1，e2
11、是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 .e1-e2，e2-e1；2e1-e2，e1-12e2；2e2-3e1，6e1-4e2；e1+e2，e1-e2.用基底表示向量例5 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若 a，b，试以a，b为基底表示,.【解】四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC的中点，2，2，12 12b，12 12-12a，+-+-b+a+12ba-12b，+b-12a.用基底表示向量的方法平面内任何一个向量都可以用一组基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合数乘向
12、量的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.具体表示方法有两种：1.利用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；2.列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.1.2019安徽滁州高一期末已知向量a，b不共线，设向量m2a-3b，n4a-2b，p3a+2b，若用基底m，n表示p，则p .-74m+138 n 13+43 2.（1）设D为ABC所在平面内一点，3，则 （用基底，表示）.（2）2019四川省资阳中学高一月考如图，在正方形ABCD中，设 a，b，c，则在以a，b为基底时，可表示为 ，在以a，c为基底时，可表示为 .a+b2a+c利用平面向
13、量基本定理求参数例6 2019四川成都高一期末如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近点D的三等分点，连接BF交AC于点E，若 m+n（m，nR），则m+n的值是 .【解题提示】由题意知，B，E，F三点共线，设 ，用和表示出，根据E，C，A三点共线，可得的值，整理化简即可得到m和n值.【解析】由题意知，B，E，F三点共线，F是边CD上靠近点D的三等分点，设 +23 +23.又E，C，A三点共线则+23531，即35，则35+25 35（-）-25-+35，所以m-1，n35，故m+n 25.【答案】252019江西九江高一检测设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD12AB，BE23B
14、C，若 1+2（1，2为实数），则1+2的值为 .12 小结 共线向量基本定理 如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba.在共线向量基本定理中：（1）ba时，通常称为b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有.这是因为：由aa可知（-）a0，如果-0，则a0，与已知矛盾，所以-0，即.由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知，如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数，使得.如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得cxa+yb.平面向量基本定理中，当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa+ybua+vb，那么xu且yv.平面向量基本定理 特别地，当a与b不共线时，因为00a+0b，所以对于xa+yb来说，当x0或y0时，必定有xa+yb0.也就是说，当a与b不共线时，xa+yb0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果cxa+yb，则称xa+yb为c在基底a，b下的分解式.平面向量基本定理
