1、【学生版】微专题：对向量共线定理的理解与初步应用平面向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁；向量共线定理：设是非零向量（即：），则存在唯一实数，使得；向量共线定理含义的理解：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得；在向量共线的充要条件中要注意，否则可能不存在，也可能有无数个；【三点共线的等价转化】A，P，B三点共线(0)(1t)t(O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy；(O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)；【典例】例1、设两向量与不共线（1）若，28，3()求证：A，B，D三点共线；（2
2、）试确定实数k，使k和k共线【提示】；【解析】；【说明】本题主要考查与应用了平面向量共线定理；思维升华利用共线向量定理解题的策略1、 【注意：细微的变化哦】是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用；2、当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线，共线3、若与不共线且，则0；【变式拓展】1、【变条件】若将本例1（1）中“28”改为“m”，若A，B，D三点共线，则m_【解析】2、【变结论】若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k_【解析】例2、证明：（1）如果，存在不全为的实数，使得，那么向量与向量是共线向量；（2）如果，向量与向量不共线，且，那么；
3、例3、设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：且1，R 【归纳】1、利用共线向量定理解题的策略（1）()是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线即A，B，C三点共线，共线；2、准确理解共线向量定理（1）等价于存在不全为零的实数1，2，使120成立；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数，使(1)成立”；【即时练习】1、已知O为ABC内一点，且()，
4、t，若B，O，D三点共线，则t()A. B C. D2、已知，是不共线的向量， (，R)，若A，B，C三点共线，则，的关系一定成立的是（ ）A1 B1 C1 D23、设与是两个不共线向量，32，k，32k，若A，B，D三点共线，则k的值为_4、（1）A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得t_.（2）ABC中，D是BC的中点，则()，则_.（3）ABC中，G为重心，则()，O为平面内任意一点，则()，则_，_.5、如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设，b.（1）试用，表示，；（2）证明：B
5、，E，F三点共线；【教师版】微专题：对向量共线定理的理解与初步应用平面向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁；向量共线定理：设是非零向量（即：），则存在唯一实数，使得；向量共线定理含义的理解：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得；在向量共线的充要条件中要注意，否则可能不存在，也可能有无数个；【三点共线的等价转化】A，P，B三点共线(0)(1t)t(O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy；(O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)；【典例】例1、设两向量与不共线（1）若，28，3()求证：A，B
6、，D三点共线；（2）试确定实数k，使k和k共线【提示】注意：利用向量共线定理证明向量共线与几何“三点共线”；【解析】（1）证明：因为，28，3()；所以，283()28335()5；所以，共线，又它们有公共点B，所以，A，B，D三点共线；（2）解：因为，k与k共线，所以，存在实数，使k(k)，即kk，所以，(k)(k1)；因为，是不共线的两个向量，所以，kk10，所以，k210，所以，k1；【说明】本题主要考查与应用了平面向量共线定理；思维升华利用共线向量定理解题的策略1、 【注意：细微的变化哦】是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用；2、当两向量共线且有公共点时，才能得出
7、三点共线，即A，B，C三点共线，共线3、若与不共线且，则0；【变式拓展】1、【变条件】若将本例1（1）中“28”改为“m”，若A，B，D三点共线，则m_【解析】(m)3()4(m3) ，即4(m3) ；.若A，B，D三点共线，则存在实数，使，即4(m3) ()，所以解得m7；故当m7时，A，B，D三点共线；答案：7；2、【变结论】若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k_【解析】因为k与k反向共线，所以存在实数，使k(k)(0)，所以所以k1.又0，k，所以k1，故当k1时两向量反向共线；答案：1；例2、证明：（1）如果，存在不全为的实数，使得，那么向量与向量是共线向量；（2）如果，向
8、量与向量不共线，且，那么；【提示】注意：用好向量共线定理判别共线与拓展证明；利用向量共线的定义证明与是共线向量；接着用反证法证明第二个结论；【解析】（1）因为，是不全为0的实数，不妨假设；因为，所以，所以由向量共线的定义可得：向量与向量是共线向量；（2）若向量与向量不共线，且，那么；下面用反证法证明：假设，则由可得：，向量与向量是共线向量，这与向量与向量不共线相矛盾，故假设不成立，所以，同理可证，所以必有；【说明】本题主要考查了应用平面向量共线定理的证明与拓展；例3、设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：且1，R【提示】注意：题设“，不共线”画图理解；【解析】充分性：因为，1，所以，
9、(1)().即，也就是，所以，共线；又，因为，有公共点A，所以，A，P，B三点共线；必要性：若P，A，B三点共线，则()；所以，移项变形，得 (1)，令1，则，其中1；【说明】本题证明的结论在解答填充、选择题时，可以实现：简捷合理；关键：要明确该命题的“前提”或“图形特征”；比如：“爪子”形、直线上“三点”与直线外一点； 【归纳】1、利用共线向量定理解题的策略（1）()是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线即A，B，C三点共线，共线；2、准确理解共线
10、向量定理（1）等价于存在不全为零的实数1，2，使120成立；（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数，使(1)成立”；【即时练习】1、已知O为ABC内一点，且()，t，若B，O，D三点共线，则t()A. B C. D【答案】B；【解析】设E是BC边的中点，则()，由题意得，所以()，又因为B，O，D三点共线，所以1，解得t，故选B；2、已知，是不共线的向量， (，R)，若A，B，C三点共线，则，的关系一定成立的是（ ）A1 B1 C1 D2【答案】A；【解析】因为，与有公共点A，所以，若A，B，C三
11、点共线，则存在一个实数t，使t，即tt，则消去参数t，得1；反之，当1时，此时存在实数使，故和共线因为，与有公共点A，A，B，C三点共线，故选A；.3、设与是两个不共线向量，32，k，32k，若A，B，D三点共线，则k的值为_【答案】【解析】由题意知，A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得.又32，k，32k，所以，32k(k)(3k) (2k1) ，所以，32(3k) (2k1) ，所以，解得k.4、（1）A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得t_.（2）ABC中，D是BC的中点，则()，则_.（3）ABC中，G为重心，则()，O为平面内任意一点，则()，则_，_.【答案】（1）(1t)；（2）；（3），；【解析】（1）根据共线向量定理知，A，B，C三点共线的充要条件是存在实数t使得t，即t()，即t(1t)；（2）由，得2()()因为，0，所以，()；（3）答案：【说明】有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示；5、如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设，b.（1）试用，表示，；（2）证明：B，E，F三点共线；【解析】（1）在ABC中，因为，所以，()，；（2）证明：因为，所以，即与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线；
