1、第7课时数学归纳法1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【梳理自测】1(教材习题改编)用数学归纳法证明1n2(n1)3(n2)n1n(n1)(n2)时，当n1时，等式左边有_()A1项B2项C3项 Dn项2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2C3 D03用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1，nN*)”在验证n1时，左端计算所得的项为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a34记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.5(教材习题改编)用数学归纳法证明1n(nN，且n1)，第一步要证
2、的不等式是_答案：1.A2.C3.C4.1805.12以上题目主要考查了以下内容：数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述方法叫做数学归纳法【指点迷津】1一类问题数学归纳法是用来证明与正整数n有关的命题2二个步骤第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可3三个防范n0不一定是1.nk成立时，下一个后继数可能是nk1或者nk2等证明nk1
3、命题成立时，必须用nk的结论考向一用数学归纳法证明等式是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论【审题视点】由n1，n2，n3代入，求a，b，c，再用数学归纳法证明等式成立【典例精讲】假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc) 令n2，得22(4a2bc) 令n3，得709a3bc 由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)式成立下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立(1)当n1时，由上述
4、知，(*)式成立(2)假设nk(kN*)时，(*)式成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，那么当nk1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(*)式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立【类题通法】用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n02，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式1nN*，求 证：1.证明：(1)当n1时，左边1，右边.左边右边(2)假设nk时等式成立，
5、即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立考向二用数学归纳法证明不等式已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由【审题视点】由an1f(an1)归纳猜想an的不等式，再得出的不等关系，求和比较大小【典例精讲】f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk
6、(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，1n1.【类题通法】在由nk到nk1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等2设数列an满足a12，an1an(n1,2，)证明：an对一切正整数n都成立证明：当n1时，a12，不等式成立假设当nk(kN*)时，ak成立那么当nk1时，aa22k32(k1)1.当nk
7、1时，ak1成立综上，an对一切正整数n都成立考向三归纳、猜想、证明(2014东北三校联考)已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性【审题视点】当n1时，建立关于a1的方程，求a1，再由a1建立a2的方程求a2，a3猜想an.由ak的表达式建立ak1的方程，求ak1.用数学归纳法证明【典例精讲】(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.a11或a11(舍去)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2或a2(舍去)同理可得a3.由a1，a2，a3，猜想an(nN*)(2)证明
8、：由(1)的计算过程知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.那么由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得：ak1或ak1(舍去)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an都成立【类题通法】利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性3(2014绵阳一模)已知数列xn满足x1，xn1，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论解析：由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减
9、数列下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)和(2)知命题成立(2014九江模拟)设数列an的前n项和为Sn，并且满足2Snan，an0(nN*)(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2)设x0，y0，且xy1，证明：.【解题指南】(1)将n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明(2)利用分析法，结合x0，y0，xy1，利用基本不等式可证【思维流程】寻找特例a1，a2，a3等猜想an的
10、公式转换递推公式为an与an1的关系用数学归纳法证明an.验证递推公式中的第一个自然数n2.推证ak1的表达式为k1. 补验n1，说明对于nN*成立分析法证明【规范解答】(1)分别令n1,2,3，得an0，a11，a22，a33. 猜想：ann.2分由2Snan可知，当n2时，2Sn1a(n1)，得2anaa1，即a2ana1.3分()当n2时，a2a2121，a20，a22. 4分()假设当nk(k2)时，akk，那么当nk1时，a2ak1a12ak1k21ak1(k1)ak1(k1)0，ak10，k2，ak1(k1)0，ak1k1.即当nk1时也成立.6分ann(n2)显然n1时，也成立，
11、故对于一切nN*，均有ann.7分(2)要证，只要证nx12ny12(n2).8分即n(xy)222(n2)，将xy1代入，得2n2，即只要证4(n2xyn1)(n2)2，即4xy1.10分x0，y0，且xy1，即xy，故4xy1成立，所以原不等式成立.12分【规范建议】(1)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值(2)证明nk到nk1这一步时，不要忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法如本题：2Sn1an12(SnSn1)aa1推导an与an1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法(3)第二问中不等式证明不是关于n的不等式，由xy1来推证，则不能称为数学归纳法1(20
12、12高考天津卷)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明：Tn122an10bn(nN*)解析：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：(方法一)由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an1
13、0bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*.(方法二)(1)当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；(2)假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，则当nk1时有Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由(1)和(2)，可知对任意nN*，Tn122an10bn成立2(2012高考全国卷)函数f(x)x22x3.定
14、义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解析：(1)证明：当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk2443；xk2xk10，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由知对任意的正整数n,2xnxn13.(2)由(1)及题意得xn1.设bnxn3，则1，5，数列是首项为，公比为5的等比数列因此5n1，即bn，所以数列xn的通项公式为xn3.
