1、章末综合测评(三)空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a(2，3，5)与向量b(4，x，y)平行，则x，y的值分别是()A6和10B6和10C6和10D6和10A由ab，得，x6，y102已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下列结论成立的是()A若an，则aB若an，则aC若an，则aD若an，则aC由直线的方向向量与平面的法向量的定义知应选C，对于选项D，直线a在平面内，也满足an3平面的一个法向量n(1，1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A B C
2、DBy轴的方向向量s(0，1，0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角是4平行六面体ABCDA1B1C1D1，向量，两两的夹角均为60，且1，2，3，则等于()A5B6C4D8A设a，b，c，则abc，2a2b2c22ab2bc2ca25，因此55已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()ABCDDa，b不共线，存在x，y，使cxayb解得6如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC则点M在正方形ABCD内的轨迹为()ABC
3、DA如图，以D为原点，DA、DC分别为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，设M(x，y，0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a，0)，则|MC|，|MP|由|MP|MC|得x2y，所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线yx7正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()ABCDB设正方体棱长2，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA11，P是侧面BCC1B1内一动点，HP，则
4、CP的最小值为()A2B3C2D3A法一：作HPBB1于G(图略)，则B1G1，所以GP2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG22法二：分别以CD，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则H，设P，由HP，得，所以(y3) 2(z2) 24，所以CP的最小值为22二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)9点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是()A(0，0，3)B(0，0，3)C(0，0，)
5、D(0，0，)AB设M(0，0，z)，直线的一个单位方向向量s0，故点M到直线l的距离d，解得z310如图，在正三棱锥PABC中，D是侧棱PA的中点，O是底面ABC的中心，则下列四个结论中，对任意正三棱锥PABC，不成立的是()AOD平面PBCBODPACODACDPA2ODAB取BC中点M，连接AM，PM，则OAM，AO2OM，OD与PM不平行，OD平面PBC不成立，即A不成立；连接OP，OAOP，D为PA中点，ODPA不成立，即B不成立；PABC为正三棱锥，BCPMBCAM，BC平面APM，ODBC，即C成立；PO垂直于平面ABC，OA属于平面ABC，PO垂直于OA，三角形AOP为直角三角
6、形D为AP的中点，PA2OD即D成立故选AB11下列结论不正确的是()A两条异面直线所成的角与这两直线的方向向量所成的角相等B直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角C二面角的大小一定等于该二面角两个面的法向量的夹角D若二面角两个面的法向量的夹角为120，则该二面角的大小等于60或120答案ABC12已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)，则下列结论正确的是()AAPABBAPADC是平面ABCD的法向量DABC0，0，ABAP，ADAP，则选项A和B都正确；又与不平行，是平面ABCD的法向量，故C正确；(2，3，4)，(1，2
7、，1)，与不平行，故D错误三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13已知向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，若|ca|2，则x_；若(ca)(2b)，则x_(本题第一空3分，第二空2分)1或3 1c(1，1，1)，a(1，1，x)，ca(0，0，1x)，由|ca|2，得2，x1或3；当(ca)(2b)时，(ca)(2b)(0，0，1x)(2，4，2)2(1x)0，x114若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_30由题设，l与所成的角90(180120)3015平面经过点A(0，0，2)且一个法向量n
8、(1，1，1)，则平面与x轴的交点坐标是_(2，0，0)设平面与x轴的交点为M(x，0，0)，则(x，0，2)，又平面的一个单位法向量是n0，所以点M到平面的距离d|n0|0，得x2，故x轴与平面的交点坐标是(2，0，0)16已知三棱锥PABC各顶点的坐标分别是P(1，0，0)，A(0，1，0)，B(4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h_由已知，(1，1，0)，(4，1，0)，(0，1，2)设平面ABC的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1，4，2)则h三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，在AB
9、C中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值解(1)证明：折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，A(0，0，)，E，所以，(1，0，0)，cos，所以与夹角的余弦值是18(本小题满分
10、12分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点(1)证明：ADD1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明：平面AED平面A1FD1解以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)(1)证明：由(1，0，0)，得0，ADD1F(2)由，得，0，AED1F，AE与D1F所成的角为90(3)证明：由(1)(2)可知D1F平面AED，又D1F在平面A1FD1内，平面AED平面A1FD119(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面AB
11、CD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE证明AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0，0，1)(1)ABC60，ABC为正三角形，C，E，设D(0，y，0)，由ACCD，得0，即y，则D，又， 0，即AECD(2)法一：P(0，0，1)，又 (1)0，即PDAE，(1，0，0)，0，PDAB，又ABAEA，PD平面ABE法二：(1，0，0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则取y2，则z，n(0，2，)，显然nn，平面ABE，即PD平面ABE20(本小题满分12分)如图，A
12、B是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值解(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC因为BC平面PBC所以平面PBC平面PAC(2)过C作CMAP，则CM平面ABC如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在RtABC中，因为AB2，AC1，所以BC又因为PA1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)故(，0，0)，(0，1，1)设
13、平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以取y11，则n1(0，1，1)因为(0，0，1)，(，1，0)，设平面ABP的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以取x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2由题知二面角CPBA为锐角，故二面角CPBA的余弦值为21(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求二面角AA1BC的余弦值解 (1)证明：如图，设A1Dt(t0)，取AB的中点E，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，所以DE
14、，DC，DA1两两垂直以DE，DC，DA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，A1(0，0，t)，C1(0，2，t)，所以(0，3，t)，(2，1，t)，(2，0，0)，由0，知AC1CB，又BA1AC1，BA1CBB，所以AC1平面A1BC(2)由3t20，得t设平面A1AB的法向量为n(x，y，z)，又(0，1，)，(2，2，0)，所以，取z1，则n(，1)再设平面A1BC的法向量为m(u，v，w)，又(0，1，)，(2，0，0)，所以取w1，则m(0，1)故cosm，n因为二面角AA1BC为锐角，所以可知二面角AA1BC的余弦值为
15、22(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点(1)求证：BDFG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG平面PBD，并说明理由；(3)当二面角BPCD的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值解 以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz如图所示，设正方形ABCD的边长为1，PAa，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)(a0)，E，F，G(m，m，0)(0m)(1)证明：(1，1，0)，mm00BDFG(2)要使FG平面PBD，只需FGEP，而，由可得解得，m，G，故当AGAC时，FG平面PBD(3)设平面PBC的一个法向量为u(x，y，z)，则而(1，1，a)，(0，1，0)，取z1，得u(a，0，1)，同理可得平面PDC的一个法向量v(0，a，1)，设u，v所成的角为，则|cos |，即，a1，PA平面ABCD，PCA就是PC与底面ABCD所成的角，tanPCA
