1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年四川省成都市高新区高考数学第四次质检试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|ln（x2）0，Bx|2x29x50，则AB（）A（2，5）B2，5）C3，5）D（3，5）2设复数z满足（1+i）z4i，则|z|（）AB2C2D3已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则an的公比为（）A或B或C3或2D3或24为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所
2、示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别无关C倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数5若向量，满足|2，|1，（+2）6，则cos，（）ABCD6已知焦点为F的抛物线y22px（p0）上有一点A（m，2），以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则m（）ABC2D47已知平面，直线l，m，且有l，m，给出下列命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则其中正确命题有（）ABCD8将偶函数f（x）cos2x的图象向右
3、平移个单位，得到yg（x）的图象，则g（x）的一个单调递增区间为（）ABCD9已知函数f（x）x2x+a，“函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10已知alog52，blog72，c0.5a2，则a，b，c的大小关系为（）AbacBabcCcbaDcab11已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）ABCD12已知lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，则的最小值为（）ABCD二
4、、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若实数x，y满足不等式组则目标函数z3xy的最大值为 14若偶函数f（x）满足f（x+4）f（x），f（1）1，则f（2021） 15已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为 16已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，满足a12，3Sn（n+m）an，mR，且anbnn则a2 ；若存在nN*，使得+TnT2n成立，则实数的最小值为 三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知在ABC中，角A，B，C的对
5、边分别为a，b，c，且（a+b）sinAcsinC+（2ab）sinB（1）求角C的大小；（2）若c2，求ABC面积的最大值18某班进行了6次数学测试，其中甲、乙两人的成绩统计情况如茎叶图所示：（）该班数学老师决定从甲、乙两人中选派一人去参加数学比赛，你认为谁去更合适？并说明理由；（）从甲的成绩中任取两次作进一步的分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100之间的概率19如图，在三棱锥ABCD中，ABADCDBC2，E为BC的中点，BDCD，且AE（1）证明：平面ACD平面ABD（2）求点C到平面ADE的距离20已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）x在1，+
6、）恒成立，求a的取值范围21已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的面积为，坐标原点O到直线A1B1的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的一点，四边形OAPB为平行四边形，探究：平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半
7、轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l1过点P（1，2）且与直线l：平行，直线l1与曲线C1相交于A，B两点，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+2|（1）求不等式f（x）2x+4的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且实数a，b，c，满足a（b+c）k，求证：2a2+b2+c28参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|ln（x2）0，Bx|2x29x50，则AB（）A（2，5）B2，5）C3，5）D
8、（3，5）解：由ln（x2）0，得x21，即x3，Ax|x3，由2x29x50，解得x5，ABx|x3x|x5x|3x53，5）故选：C2设复数z满足（1+i）z4i，则|z|（）AB2C2D解：由（1+i）z4i，得z2+2i，则|z|2 故选：D3已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则an的公比为（）A或B或C3或2D3或2解：设等比数列an的公比为q，则a3a1q2，S3a1（1+q+q2），两式相除可得，即6q2q10，解得q或q，故选：A4为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，
9、女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）A是否倾向选择生育二胎与户籍有关B是否倾向选择生育二胎与性别无关C倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为
10、60%，是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为6060%36人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为4060%24人，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数比女性人数多，故C错误；在D中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为50（180%）10人，城镇户籍人数为50（140%）30人，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D正确故选：C5若向量，满足|2，|1，（+2）6，则cos，（）ABCD解：向量，满足|2，|1，（+2）6，可得6，所以1，则cos，故选：B6已知焦点为F的抛物线y22px（p0）上有一
11、点A（m，2），以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为2，则m（）ABC2D4解：A（m，2）在抛物线y22px上，2pm8，p抛物线的焦点F（，0），即F（，0）由抛物线的定义可知|AF|m+m+即圆A的半径rm+A到y轴的距离dm，r2d2（）2，即（m+）2m25，解得m2故选：C7已知平面，直线l，m，且有l，m，给出下列命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则其中正确命题有（）ABCD解：对于，若，又l，可得l，又m，则lm，故正确；对于，若lm，又l，可得m，又m，则，故正确；对于，若，由l，可得lm，或l，m异面，l，m相交，故错误；对于，若lm，又l，m，
12、可得，或、相交，故错误故选：B8将偶函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位，得到yg（x）的图象，则g（x）的一个单调递增区间为（）ABCD解：将偶函数f（x）cos2x的图象向右平移个单位，得到yg（x）cos2（x）cos（2x）的图象，令2k2x2k，kZ，解得kxk+，kZ，当k0时，可得g（x）的一个单调递增区间为（，）故选：A9已知函数f（x）x2x+a，“函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：函数f（x）在（0，2）上有两个不相等的零点，则，0a，（0，）（0，），函数f（x）在（0，
13、2）上有两个不相等的零点是0a的充分不必要条件故选：A10已知alog52，blog72，c0.5a2，则a，b，c的大小关系为（）AbacBabcCcbaDcab解：1log25log27，1log52log72，又0.5a20.512，则cab，故选：A11已知双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）ABCD解：如图，连接PF2，QF2，因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，故F1QF2Q设|PF1|m，则|PQ|2m，|QF1|3m，|QF2|3m2a，|PF2|
14、m+2a，由PQF2为直角三角形，可得（m+2a）2（2m）2+（3m2a）2，解得m，所以|QF1|4a，|QF2|2a，由F1QF2为直角三角形，可得16a2+4a24c2，e故选：D12已知lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，则的最小值为（）ABCD解：的最小值可转化为函数ylnxx+2图象上的点与直线x+2y42ln20上的点的距离的最小值，由ylnxx+2，可得，与直线x+2y42ln20平行的直线的斜率为，令，得x2，所以切点的坐标为（2，ln2），切点到直线x+2y42ln20的距离故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若实数x，y满足不等式
15、组则目标函数z3xy的最大值为12解：作出实数x，y满足不等式组可行域如图，由，解得A（4，0）目标函数y3xz，当y3xz过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12故答案为：1214若偶函数f（x）满足f（x+4）f（x），f（1）1，则f（2021）1解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）f（1+4505）f（1），又由f（x）是偶函数，则f（1）f（1）1，则f（2021）1，故答案为：115已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为1，4，那么这个球的体积为解：画出圆台的
16、轴截面，如图所示：设内切圆的半径为R，由题意可知OEOGOF，且OEAB，OFCD，OGBC，故可得OEBOGB，OFCOGC，则BCBG+CGBE+FC1+45，过点B作BHFC，在RTBHC中，易知HCFCFHFCEB3，可得BH，又因为BHEF2R，所以R2，故球的体积为V，故答案为：16已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，满足a12，3Sn（n+m）an，mR，且anbnn则a26；若存在nN*，使得+TnT2n成立，则实数的最小值为解：a12，3Sn（n+m）an，mR，当n1时，有3S1（1+m）a1，即62（m+1），解得：m2，3Sn（n+2）an，又3Sn
17、+1（n+3）an+1，由整理得：，累乘可得ann（n+1）（n2），经检验a12符合上式，ann（n+1），a26；anbnn，bn，令BnT2nTn+，则Bn+1Bn0，数列Bn为递增数列，BnB1，存在nN*，使得+TnT2n成立，B1，故实数的最小值为故答案为：6；三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）sinAcsinC+（2ab）sinB（1）求角C的大小；（2）若c2，求ABC面积的最大值解：（1）（a+b）sinAcsinC+（2ab）sinB，由正弦定理可得（a+b）a
18、c2+（2ab）b，a2+b2c2ab，又C（0，），（2）由（1）知，a2+b2c2ab又c2，a2+b24+aba2+b22ab，ab4，当且仅当ab时等号成立，即ABC面积的最大值为18某班进行了6次数学测试，其中甲、乙两人的成绩统计情况如茎叶图所示：（）该班数学老师决定从甲、乙两人中选派一人去参加数学比赛，你认为谁去更合适？并说明理由；（）从甲的成绩中任取两次作进一步的分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100之间的概率解：（）由茎叶图得，甲的平均分为90，乙的平均分为（84+87+89+90+94+96）90，又（8690）2+（8890）2+（8990）2+（909
19、0）2+（9190）2+（9690）2，（8490）2+（8790）2+（8990）2+（9090）2+（9490）2+（9690）2，故甲去更合适（）由题得，两次成绩一共有15种情况，即：（86，88），（86，89），（86，90），（86，91），（86，96），（88，89），（88，90），（88，91），（88，96），（89，90），（89，91），（89，96），（90，91），（90，96），（91，96），其中至少有一次成绩在（90，100之间有9种情况，即：（86，91），（86，96），（88，91），（88，96），（89，91），（89，96），（90，91），（9
20、0，96），（91，96），故至少有一次成绩在（90，100之间的概率为19如图，在三棱锥ABCD中，ABADCDBC2，E为BC的中点，BDCD，且AE（1）证明：平面ACD平面ABD（2）求点C到平面ADE的距离【解答】（1）证明：取BD的中点为O，连接OA，OEBDCD，BC4，CD2，又ABAD2，BDAO，且AO1在AOE中，AO2+OE2AE2，即OEAO，从而CDAO又CDBD，BDAOO，CD平面ABDCD平面ACD，平面ACD平面ABD；（2）解：DE是RtBCD斜边上的中线，在ADE中，ADDE2，则AE边上的高为，又，设点C到平面ADE的距离是h，由VACDEVCADE，
21、得，解得，即点C到平面ADE的距离为20已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）x在1，+）恒成立，求a的取值范围解：（1），函数的定义域是（0，+），f（x）（x0），a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，a0时，令f（x）0，解得xa，令f（x）0，解得0xa，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增，综上，a0时，f（x）在（0，+）递增；a0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增（2）若f（x）x在1，+）恒成立，即lnx+x恒成立，即a（xlnx）x在1，+）上恒成立，令g（x）x2xlnx，则g（x）2x1lnx，g（x）20，故g（x）在1，
22、+）单调递增，g（x）ming（1）21010，则g（x）1，故g（x）在1，+）单调递增，则g（x）ming（1）1，则a1，即a的取值范围是（，121已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的面积为，坐标原点O到直线A1B1的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的一点，四边形OAPB为平行四边形，探究：平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：（1）直线A1B1的方程为，由题意可得，解得，椭圆C的方程为（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x1
23、，此时S平行四边形OAPB3当直线AB的斜率存在时，设AB：ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2120，则48（4k2m2+3）0，四边形OAPB为平行四边形，点P在椭圆上，整理得，原点O到直线AB的距离，3，综上，四边形OAPB的面积为定值3请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1
24、）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l1过点P（1，2）且与直线l：平行，直线l1与曲线C1相交于A，B两点，求的值解：（1）已知曲线C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y2）24；曲线C2的极坐标方程为4cos，根据，转换为直角坐标方程为x2+y24x所以两圆相减得：xy0，转换为极坐标方程为（R）（2）直线l：，根据转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为（t为参数），代入x2+（y2）24，得到：，所以，t1t23，故选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+2|（1）求不等式f（x）2x+4的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且实数a，b，c，满足a（b+c）k，求证：2a2+b2+c28解：（1）解：当x2时，不等式即为2x2x+4，解得x1，x2；当2x2时，不等式即为42x+4，x02x0；当x2时，不等式即为2x2x+4，x，综上，不等式f（x）2x+4的解集为（，0（2）证明：由绝对值不等式的性质可得：|x2|+|x+2|（x2）（x+2）|4，当2x2时，f（x）取最小值4，即k4，a（b+c）4，即ab+ac4，2a2+b2+c2（a2+b2）+（a2+c2）2ab+2ac8，当且仅当时等号成立- 18 - 版权所有高考资源网
