1、22.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1会求样本的众数、中位数、平均数2能从频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数3能用样本的数字特征估计总体的数字特征，作出合理解释和决策1众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数(3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做这n个数的平均数2三种数字特征与频率分布直方图的关系3.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，即样本数据x1，x2，xn的标准差为s 4方差s2(x1)2(x2)2(
2、xn)21一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？提示一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)改变一组数据中的一个数，则这些数据的平均数一定会改变()(2)改变一组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变()(3)在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标()提示(1)(2)(3)题型一 众数、中位数、平均数的简单应用【典例1】(1)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则下面结论中错误的是_(填序号)甲的极差是29；乙的众数是21；甲罚球命中率比乙高；甲的中位数
3、是24.(2)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？解析(1)由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故正确；乙的数据中出现次数最多的是21，所以正确，甲的命中个数集中在20，而乙的命中个数集中在10和20，所以甲罚球命中率大，故正确；甲中间
4、的两个数为22,24，所以甲的中位数为(2224)23，故不正确故结论中错误的只有.(2)甲群市民年龄的平均数为15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征乙群市民年龄的平均数为15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差答案(1)(2)见解析众数、中位数、平均数的意义(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但
5、受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势针对训练1某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩解甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的
6、62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率来看成绩较好的是乙班可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适题型二 标准差、方差的应用【典例2】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定思路导引根据平均数及方差
7、的计算公式及意义解题解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定标准差、方差的意义(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差(2)标准
8、差、方差的取值范围：0，)(3)标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性针对训练2如图所示茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分99分)，若甲、乙两组的平均成绩一样，则a_；甲、乙两组成绩中相对整齐的是_解析由茎叶图知75888998(90a)7685899897，解得a5，平均成绩均为89，甲的方差为s62.8，乙的方差s66，由于ss，因此甲相对整齐答案5甲题型三 频率分布与数字特征的综合应用【典例3】某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，180,200)，200, 220)，220,240)，240,260)，260
9、,280)，280,300分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？思路导引(1)由频率之和等于1可得x的值；(2)由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于0.5可得中位数；(3)先计算出月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在220,240)的用户中应抽取的
10、户数. 解(1)由(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201得：x0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是230.因为(0.0020.00950.011)200.450.5，所以月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为a，由(0.0020.00950.011)200.0125(a220)0.5得：a224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为220,240)的用户有0.01252010025户，月平均用电量为240,260)的用户有0.00752010015户，月平均用电量为260,280)的用
11、户有0.0052010010户，月平均用电量为280,300的用户有0.0025201005户，抽取比例，所以月平均用电量在220,240)的用户中应抽取255户用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和针对训练3为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：(1)
12、这20名工人中一天生产该产品的数量在55,75)的人数是_；(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为_；(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为_解析(1)(0.04100.02510)2013.(2)设中位数为x，则0.2(x55)0.040.5，x62.5.(3)0.2500.4600.25700.1800.059064.答案(1)13(2)62.5(3)64课堂归纳小结1一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序2利用直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点(2)中位数左右两边直方图的面积应相等(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小
13、矩形底边中点的横坐标之和3标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差116位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A平均数 B极差 C中位数 D方差解析判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这1
14、5位同学成绩的中位数答案C2某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则xy()A12 B13 C14 D15解析因为中位数为85，所以4x25，解得x6.又平均数为85.5，所以73793848687889390y855，所以y7.故xy13.答案B3甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均
15、数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为(46)2(56)2(66)2(76)2(86)22，(56)2(56)2(56)2(66)2(96)2，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错答案C4一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是()A40.61.1 B48.84.4C81.244.4 D78.875.6解析解法一：设原来的数据为x1，x2，x3，xn，则新数据为2x180,2x280,2x380，2xn80，所以1.2，所以1.2，即40.6.(2x1801.2)
16、2(2x2801.2)2(2xn801.2)24.4，即(2x181.2)2(2x281.2)2(2xn81.2)24.4，则(x140.6)2(x240.6)2(xn40.6)2(2x181.2)2(2x281.2)2(2xn81.2)24.41.1.解法二：设原数据的平均数为，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为280，方差为22s2，由题意得2801.2,22s24.4，解得40.6，s21.1答案A5某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的
17、平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是()A各月的平均最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个解析由图形可得各月的平均最低气温都在0以上，A正确；七月的平均温差约为10，而一月的平均温差约为5，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20时月份只有3个，D错误答案D总体数字特征的实际应用在解决某些实际问题时，我们可以选用科学的抽样方法，从总体中抽取样本，得到样本数据，再根据研究实际问题的需要(是关注平均数的大小，还是注意数据稳定的程序)，求出样本的有关数字特征，利用它估
18、计总体数字特征，从而作出科学决策. 【典例】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可); (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满
19、意度等级为不满意的概率大？说明理由. 思路导引由频率分布表，先计算每段的频率值，再画图，然后从直方图的高度及分散程度下结论. 解(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散. (2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”由直方图得P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以A地区的用
20、户的满意度等级为不满意的概率大. 明确样本数字特征所反映样本的特征，一般地，平均数反映的是样本个体的平均水平，众数和中位数则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题针对训练某校收集该校学生从家到学校的时间后，制作成如图的频率分布直方图：(1)求a的值及该校学生从家到学校的平均时间；(2)若该校因学生寝室不足，只能容纳全校50%的学生住校，出于安全角度考虑，从家到学校时间较长的学生才住校，请问从家到学校时间多少分钟以上才能住校. 解(1)由题有(0.0090.0200.011a0.
21、0030.002)201，解得a0.005.平均到校时间(100.009300.020500.011700.005900.0031100.002)2041.6(分钟)(2)原问题等价于求到校时间的中位数，列式计算：x0402036(分钟)，所以，从家到学校时间36分钟以上才能住校课后作业(十四)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()Ax1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，
22、xn的中位数解析标准差衡量样本的稳定程度，故选B.答案B2如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为()A2,6 B2,7 C3,6 D3,7解析由题可知17，所以x3，由乙组数据的中位数为17可得y7，选D.答案D3.为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A中位数为83B众数为85C平均数为85D方差为19解析由茎叶图可知，该同学的6次数学测试成绩分别是78,83,83,85,91,90，由这些数据可求
23、得该同学数学成绩的众数为83，中位数为84，平均数为85，方差为s2(7885)2(8385)2(8385)2(8585)2(9185)2(9085)219.7，故选C.答案C4从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A. B. C3 D.解析因为3.所以s2(x1)2(x2)2(xn)2(2022101230121022)，所以s.故选B.答案B5某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示
24、，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数是()A31.6岁 B32.6岁C33.6岁 D36.6岁解析根据所给的信息可知，在区间25,30)上的数据的频率为1(0.010.070.060.02)50.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30(3530)33.6(岁)答案C6甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是_(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)解析分析表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差
25、比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙答案丙7若a1，a2，a20，这20个数据的平均数为，方差为0.20，则数据a1，a2，a20，这21个数据的方差约为_解析这21个数的平均数仍为，从而方差为200.2()20.19.答案0.198已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy_.解析由平均数是10，得xy20，由标准差是，得，所以(x10)2(y10)28，所以xy96.答案969甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村
26、要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议解由题意得甲乙10.s(9.810)2(9.910)2(10.110)2(1010)2(10.210)20.02，s(9.410)2(10.310)2(10.810)2(9.710)2(9.810)20.244，甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，且ss，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，推荐引进甲种冬小麦大量种植10为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，
27、并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计12的值解(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知0.05，解得n600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为1，2.根据样本茎叶图可知30(12)301302(75)(55814)(241265)(262479)(2220)92249537729215.因此120.5.故12的估计值为0.5分应试能力等级练(时间20分钟)11若某同学连续三次考试的名次(第一
28、名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况)均不超过3，则称该同学为班级尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是()A甲同学：平均数为2，中位数为2B乙同学：平均数为2，方差小于1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于1解析甲同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又中位数为2，得出三次考试名次均不超过3，断定甲是尖子生；乙同学名次数据的平均数为2，说明名次之和为6，又方差小于1，得出三次考试名次均不超过3，断定乙是尖子生；丙同学名次数据的中位数为2，众数为2，说明三次考试中至少有两次名次为2，故丙可能是尖子生；丁同学名
29、次数据的众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x1,2,3时，方差均小于1，故x3，断定丁一定不是尖子生答案D12为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78 D2.7,83解析由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09,4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d，则60.2715d10.01
30、0.030.09，所以d0.05.所以b(0.2746d)10078，a0.27.故选A.答案A13样本(x1，x2，xn)的平均数为，样本(y1，y2，ym)的平均数为()，若样本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均数为a(1a)，其中0a，则n，m的大小关系为_解析x1x2xnn，y1y2ymm，x1x2xny1y2ym(mn)(mn)a(1a)(mn)a(mn)(1a)，所以nm(mn)a(mn)(1a)，所以故nm(mn)a(1a)(mn)(2a1)因为0a，所以2a10.所以nm0，即nm.答案nm14在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位
31、考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为_解析根据频率分布直方图，得该组数据的平均数是550.01010650.02010750.03510850.03010950.0051075；方差是s2(5575)20.1(6575)20.2(7575)20.35(8575)20.3(9575)20.05110.答案11015从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125频数62638228(1)作出这些数据的频率
32、分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)频率分布直方图如图所示(2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100.质量指标值的样本方差为s2(80100)20.06(90100)20.26(100100)20.38(110100)20.22(120100)20.08104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定
