1、-1-2 复数的四则运算-2-2.1 复数的加法与减法目标导航 1.理解并掌握复数代数形式的加、减运算.2.能熟练进行复数的加、减运算.知识梳理 1.复数的加法(1)复数的加法法则 设a+bi和c+di是任意两个复数,数学表达式:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.语言叙述:两个复数的和仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的和,它的虚部是原来两个复数的虚部的和.(2)复数加法的运算律 设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).交换律:z1+z2=z2+z1.结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).知识梳理【做一做1】已知复数z1=3+4i,
2、z2=3-4i,则z1+z2=()A.6B.8i C.6+8i D.6-8i 解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6.答案:A【做一做2】设a,bR,(5+bi)+(b-3i)+(-2+ai)=0,则复数a+bi的模为()A.0B.6 C.3 5 D.2 3解析:a,bR,(5+bi)+(b-3i)+(-2+ai)=(5+b-2)+(b-3+a)i=0,答案:C 5+-2=0,-3+=0,=6,=-3.|a+bi|=62+(-3)2=3 5.知识梳理 2.复数的减法法则 设a+bi和c+di是任意两个复数,(1)数学表达式:(a+bi)-(c+di)=(a-
3、c)+(b-d)i.(2)语言叙述:两个复数的差仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的差,它的虚部是原来两个复数的虚部的差.知识梳理【做一做3】若复数z满足z+i-3=3-i,则z=()A.0B.2iC.6D.6-2i 解析:z+i-3=3-i,z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-1-1)i=6-2i.故选D.答案:D【做一做4】已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析:z=z1-z2=(3+2i)-(1-3i)=(3-1)+2-(-3)i=2+5i,点Z(2,5)
4、位于复平面内的第一象限.答案:A 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 复数的加法运算【例1】计算:(1)(3+5i)+(3-4i);(3)(1+2i)+(1-2i)+(-2+i).分析:利用复数的加法法则和运算律计算.解:(1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i.(3)(1+2i)+(1-2i)+(-2+i)=(1+1-2)+(2-2+1)i=i.反思复数加法相当于多项式中的合并同类项,按法则进行计算即可.(2)(-1+2i)+(1 2i);(2)(-1+2i)+(1 2i)=(1+1)+(2 2)i=0.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练1】计
5、算:(1)(-3-2i)+(4-5i);(2)(5-6i)+(-2-2i)+(2+2i).解:(1)(-3-2i)+(4-5i)=(-3+4)+(-2)+(-5)i=1-7i.(2)原式=5+(-2)+2+(-6)+(-2)+2i=5-6i.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 复数的减法运算【例2】计算:(1)(-3+2i)-(4-5i);(2)5-(3+2i);(3)5i-(3+4i)-(-1+3i);(4)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).分析:利用复数的减法法则计算.解:(1)原式=(-3)-4+2-(-5)i=-7+7i.(2)原式=(5-3)+(0-2)i=2-
6、2i.(3)原式=5i-(4+i)=-4+4i.(4)原式=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i.反思两个复数相减,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减,可类比多项式中的合并同类项.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练2】已知复数z1=2+ai,z2=b-3i,a,bR,当z1-z2=(1-i)+(1+2i)时,求a,b的值.解:z1=2+ai,z2=b-3i,a,bR,z1-z2=(2+ai)-(b-3i)=(2-b)+(a+3)i.又z1-z2=(1-i)+(1+2i)=2+i,2-=2,+3=1,=-2,=0.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 复
7、数的加、减运算分析:先求得z1+z2,再根据复数为虚数求出m的取值范围.【例 3】设 mR,复数 z1=(3m+2)+(m-2)i,z2=-2+3+2+(2 4 2)i,若1+2为虚数,求的取值范围.解:z1+z2=(3m+2)+(m-2)i+-2+3+2+(2 4 2)i=3+2+-2+3+2 +(2 3 4)i=32+6+7+2+(2 3 4)i.因为 z1+z2 为虚数,则 2-3-4 0,+2 0,所以m的取值范围是m|mR,m4,且m-2,且m-1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思复数的加法、减法运算,就是把实部与实部相加减作实部,虚部与虚部相加减作虚部.同时,还要弄清
8、复数的有关概念.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 3】计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);(2)13+12 i+(2 i)43-32 i.解:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)13+12 i+(2 i)43-32 i=13+12 i 43-32 i+(2 i)=13-43+12+32 i+(2 i)=(-1+2i)+(2-i)=(-1+2)+(2-1)i=1+i.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 对复数减法的几何意义理解不到位【例4】复数z满足|z-1-i|=1,求|z+1
9、+i|的最小值.错解:复数z对应的点的轨迹是以点(1,-1)为圆心,以1为半径的圆,|z+1+i|表示圆上的点到复数1+i对应的点(1,1)的距离.所以|z+1+i|的最小值为(1-1)2+(1+1)2 1=1.错因分析:上述解法中错用了复数减法的几何意义,其实|z-1-i|表示复数z对应的点到复数1+i对应的点的距离,而|z+1+i|表示复数z与-1-i对应点间的距离.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:|z-1-i|=1,由复数减法的几何意义得z对应点的轨迹是以点(1,1)为圆心,1为半径的圆,而|z+1+i|则是圆上的点到点(-1,-1)的距离,|z+1+i|min=(1+1
10、)2+(1+1)2 1=2 2 1.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练4】复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解:由题设可知|z|=1,其表示以原点为圆心,1 为半径的圆,|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到点 A(1,1)的距离.由于点 A 到原点的距离是 2,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是 2+1,最小距离是 2 1.因此|z-1-i|的最大值为 2+1,最小值为 2 1.12341.(1+2i)+12-32 i -12+52 i 等于()A.-2iB.2-2i C.2+2iD.2 答案:B 12342.若z1=2+i,z2=3+ai(a
11、R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析:z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.z1+z2所对应的点在实轴上,1+a=0.a=-1.答案:D12343.已知复数z=z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,其中z1=a+b+2 3i,2=+3i,且|=2,则复数等于_.解析:由题意,得 z=z1-z2=a+3i.=+3i 在复平面内对应的点位于第二象限,a0,由|z|=2,得 3+2=2,解得a=-1 或 1(舍去).z=-1+3i.答案:-1+3i12344.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.分析:利用复数的模的几何意义进行求解.解:|z+i|+|z-i|=2可看作是复数z对应的点到-i与i对应的点的距离的和为2,所以z对应的点的轨迹为以-i与i对应的两点A,B为端点的线段AB,如图所示.|z+i+1|是复数z对应的点到-1-i的对应点C(-1,-1)的距离,线段AB上的点到-1-i的对应点C(-1,-1)的距离的最小值为1.所以|z+i+1|的最小值为1.
