1、4.2对数【考点梳理】重难点技巧：对数的概念考点一对数的有关概念对数的概念：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e2.718 28)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.考点二对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a0，且a1，则axNlogaNx.对数恒等式：N；logaaxx(a0，且a1)考点三对数的性质11的对数为零2底的对数为1.3零和负数没有对数重难点技巧：对数的运算考点四：对数运算性质如果a
2、0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)考点五换底公式1logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论：(1)logaN(N0，且N1；a0，且a1)；(2)logab(a0，且a1，b0)；(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)【题型归纳】题型一：指数式与对数式的互化1（2022天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：； 若，则；若，则，其中正确的是（）ABCD2（2021全国高一专题练习）下列各式
3、：；若，则；若，则.其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个3（2021江苏高一专题练习）已知loga2m，loga3n，则a2mn等于（）A5B7C10D12题型二：对数运算性质的应用4（2022全国高一课时练习）已知，则（）ABCD5（2023全国高一单元测试）设，则（）ABCD6（2022全国高一阶段练习）已知，则（）A3B4C5D6题型三：对数换底公式的应用7（2021湖北黄石高一期中）若实数a，b满足，则（）ABCD8（2022江苏高一）已知，则的值为（）A1B0CD29（2022全国高一）若非零实数，满足，则（）ABCD题型四：对数换底公式证明等式10（2021全国高一专题练习
4、）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）AlogablogcblogcaBlogablogcalogcbCloga(bc)logablogacDloga(bc)logablogac11（2021江苏高一专题练习）若实数、满足，则下列式子正确的是ABCD12（2021全国高一课前预习）下列计算恒成立的是ABCD题型五：对数的运算13（2022全国高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)14（2022全国高一）(1)；(2)15（2022湖南高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)【双基达标】一、单选题16（2022江苏高一单元测试
5、）已知，均为正实数，若，则（）A或2BCD117（2022全国高一课时练习）已知，则（）AabcBcbaCacbDbac18（2022全国高一课时练习）若，则的最大值是（）A1B2C3D419（2022全国高一课时练习），则（）A64B125C256D62520（2022全国高一课时练习）若，则的最小值是（）ABCD21（2021全国高一课时练习）计算：(1)；(2)；(3).22（2022江苏省阜宁中学高一阶段练习）求值：(1)(2).【高分突破】一：单选题23（2022江苏高一）已知，则（）ABCD24（2021湖北武汉市第十四中学高一阶段练习）中国的技术处于领先地位，技术的数学原理之一便
6、是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到4000，则大约增加了（）ABCD25（2022江苏高一）已知 ，则 （用 ， 表示）等于（）ABCD26（2022江苏高一）化简：（）ABC1D227（2022江苏高一）；若，则；若，则其中正确的是（）ABCD28（2022江苏高一）若实数a，b，c满足，则下列式子正确的是（）ABCD29（2021全国高一课时练习）已知，且，则有（）A；B；C；D二
7、、多选题30（2022全国高一课时练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）A与B与C与D与31（2022全国高一单元测试）若，则（）ABCD32（2021江苏盐城高一期中）若a0，a1，则下列说法不正确的是（）A若logaMlogaN，则MNB若MN，则logaMlogaNC若logaM2logaN2，则MND若MN，则logaM2logaN233（2021江苏高一专题练习）下面给出的四个式子中（式中，）中错误的是（）ABCD34（2021江苏高一专题练习）若，且，则下列等式中不正确的是（）ABCD35（2021黑龙江大庆外国语学校高一期中）（多选）有以下四个结论：；若，则；其中正
8、确的是（）ABCD三、填空题36（2022江苏省如皋中学高一阶段练习）若实数a，b，c满足，则=_37（2022全国高一课时练习）已知，则_38（2022全国高一专题练习）设x，y为正实数，已知，则的值为_39（2022江苏高一）计算_40（2022全国高一专题练习）已知，则的值为_.41（2022江苏高一）某化工集团生产的一种化工产品最初的杂质含量为64%，先进性除杂，每除杂一次杂质含量减少，要使杂质含量不超过1%，则过滤的次数至少为_.（参考数据：）42（2022湖南湘府中学高一开学考试）若实数x，y满足，且，则的最小值为_.四、解答题43（2022全国高一课时练习）计算：(1)；(2)4
9、4（2022全国高一课时练习）化简求值：(1)；(2)；(3)(e为自然对数的底数，e2.71828).45（2021全国高一专题练习）1.计算：(1)；(2)46（2021江苏高一课时练习）计算下列各式的值：（1）lglg；（2）log345log35；（3）(lg5)2lg2lg5lg2；（4）log5352log5log57log51.8；（5）lglglg；（6）lg52lg8lg5lg20(lg2)2.47（2021江苏高一课时练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：（1）；（2）（，）.【答案详解】1A【分析】根据对数的定义即可求得答案.【详解】由对数定义可知，
10、正确；，正确；对，错误；对，错误.故选：A.2B【分析】根据对数的概念和性质，逐项判断，即可得到结果.【详解】对于，因为，故正确；对于，因为，故正确；对于，因为，所以，故错误；对于，因为，故错误.所以只有正确故选：B.3D【分析】对数式改写为指数式，再由幂的运算法则计算【详解】解：am2，an3，a2mna2man(am)2an12故选：D4D【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案【详解】因为，所以故选：D.5C【分析】根据对数的运算性质计算即可.【详解】解：.故选：C.6B【分析】根据指对互化，以及对数运算性质，即可求解.【详解】解：，故选：B.7C【分析】根据对数的运算性质，结合
11、基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.【详解】因为，所以,即 ，故，即，故 ，令 ，则，故 ，即有，所以，即，即，故 ，故，故选：C.8C【分析】利用指数与对数互化的公式表示出，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.故选：C9A【分析】将指数式换成对数式，由换底公式化简可判断.【详解】由已知，得，得，所以，而，所以.故选：A10B【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误【详解】由logablogcblogca，故A错；由logablogcalo
12、gcb，故B正确；对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：B.11A【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，利用对数的运算性质和可得出成立.【详解】由已知，得 ，得 ， ，所以，而，则，所以，即 .故选A.【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.12D【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案.【详解】因为，所以A不对；因为，所以B不对；因为，所以C不对；因为，D正确.故选D.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.13(1)0(2)3(3)1【
13、分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；（2）提公因式，逐步化简即可求解；（3）逐步将原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接运算）原式方法二：（拆项后运算）原式（2）原式（3）原式14(1)2；(2)4.【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；(2)根据对数的运算求解即可.【详解】解:(1)原式(2)原式15(1)(2)1(3)4(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根据指数幂的运算性质及换底公式逐一计算即可.(1)解：；(2)解：；(3)解：；(4)解：；(5)解：；(6)解：；(7)解：；(8)解：.16A【分析】由换元法解出，再与方程联立求解【详解】令，则，所以，即，解得或，
14、即或，所以或，因为，代入得或，所以，或，所以或.故选：A17C【分析】与先通过进行比较，能得到，接着发现，所以，即可得到结果【详解】因为，所以，又，所以，所以，故选：C.18D【分析】化简，求得关于与的等式，结合二次函数的性质求得的最大值.【详解】对等号两边同时取对数，得，即，令，则，所以，即的最大值是4（此时，对应）.故选：D19D【分析】根据对数的运算及性质化简求解即可.【详解】，故选：D20A【分析】先由得到，利用基本不等式“1的妙用”即可求出最小值.【详解】因为，所以且，所以且，即，所以当且仅当时，即时等号成立.故选：A21(1)0(2)2(3)【分析】直接利用对数的运算性质进行运算即
15、可.(1)原式.(2)原式.(3)原式.22(1)(2)【分析】（1）根据指数运算法则及根式运算法则求解；（2）根据对数运算法则进行计算.（1）原式=；（2）原式.23C【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.【详解】由换底公式得：，其中，故故选：C24B【分析】根据题中的香农公式分别计算等于1000和4000时对应的，进而比较可得出结果.【详解】信噪比提升到4000时对应的值记为，根据题意，时，时，大约增加了20%，选项B正确.故选：B.25D【分析】利用换底公式和对数运算法则得到，进而再用换底公式和对数运算法则表示出【详解】，则故选 ：D26B【分析】利用换底公式可化简运算.【详解】
16、原式.故选：B.27C【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项.【详解】解：对于，故正确；对于，故正确；对于，若，则，故不正确；对于，若，则，故不正确故选：C.28A【分析】由指数与对数互化的性质分别表示出，结合对数运算性质即可得解.【详解】由已知，得，得，所以，而，所以，即，故选：A.29C【分析】根据题意求出，比较即可.【详解】，,.故选：C30ACD【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.【详解】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确；对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误；对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确；对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确.故选：ACD.
17、31BCD【分析】利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，所以，所以，A选项错误.，B选项正确.，C选项正确.，D选项正确.故选：BCD32BCD【分析】根据对数的定义和运算性质，即可判断各选项的正误【详解】A：由对数函数的单调性知：若logaMlogaN，则MN，正确；B：若MN0，则logaMlogaN不成立，不正确；C：若logaM2logaN2，则M2N2，则MN，不正确；D：若MN0，则等式不成立，不正确；故选：BCD33BCD【解析】由对数的运算性质：当，时，成立，判断A选项正确；当，时，判断BCD选项错误.【详解】A选项：由对数的运算性质：
18、当，时，成立，故A选项正确；B选项：当，时，成立，故B选项错误；C选项：当，时，成立，故C选项错误；D选项：当，时，成立，无意义，故D选项错误；故选：BCD.【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.34AB【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假【详解】对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；对于C，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D，由换底公式得，该等式正确故选AB【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用35AB【分析】利用对数的恒等式与对数式与指数式的互化可判断出各等式的正误.【详解】因为 ，所以均
19、正确；中若，则 ，故错误；中，而没有意义，故错误.故选AB.【点睛】本题考查对数式正误的判断，解题时要熟悉对数恒等式的应用，同时也要掌握对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.36【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算.【详解】因为，所以，故，由换底公式可得：.故答案为：23710【分析】由同底数对数加法公式以及，可得答案.【详解】因为，所以故答案为：.387【分析】根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得.【详解】解：由，可得，则，则，则，两边同时除以得故答案为：39#0.5【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】.故答案为：40#【分析】由题意，设，
20、从而表示出，可得，化简计算得，从而得，化简，代入计算即可.【详解】由题意，设，则，所以，得，即，解得或（舍），因为，所以.故答案为：【点睛】解答本题的关键在于先利用整体代入法得，化简以后得关于的一元二次方程，求解出，即求解出，从而整体代入所求式子.415【分析】结合题意，根据对数的运算性质即可求解.【详解】设过滤的次数至少为n次，则，即从而即所以所以过滤的次数至少为5次.故答案为：5.428【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.【详解】由得：，又实数x，y满足，则，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值8.故答案为：8【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特
21、别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.43(1)7(2)【分析】（1）利用对数的运算性质进行运算可得答案；（2）利用对数的运算性质进行运算可得答案.（1）原式；（2）原式44(1)；(2)8；(3).【分析】(1)根据指数幂的运算性质运算即可；(2)(3)根据对数的运算性质运算即可（1）；（2）；（3）45(1)3(2)1【分析】（1）先对提取公因式，结合进行化简求值；（2）化简为，结合，利用完全平方公式求出答案.(1)(2)46（1）；（2）2；（3）1；（4）2；（5）；（6）3.【分析】由对数的运算求解即可.【详解】（1）原式lg
22、()lglg10.（2）原式log392log332.（3）原式lg5(lg5lg2)lg2lg5lg2lg101.（4）原式log55log572(log57log53)log57(log59log55)12log532log5312.（5）原式(lg32lg49)lg(549)(5lg22lg7)2lg2lg5lg7lg2lg72lg2lg5lg7(lg2lg5).（6）原式2lg52lg2lg5(lg21)(lg2)22lg5lg2lg5(lg2)22lg2(lg5lg2)lg53.47证明见解析【分析】直接利用换底公式化简证明即可【详解】证明：（1）因为a，b均为不等于1的正数，所以左边右边，所以，（2）因为a，b均为不等于1的正数，所以左边右边，所以（，）
