1、4.1 指数一、n次方根，根式1a的n次方根的定义一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.2a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数0，)3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数思考根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？二、根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)负数没有偶次方根(2)0的任何次方根都是0，记作0.(3)()na(nN*，且n1)(4)a(n为大于1的奇数)(5)|a|(n为大于1的偶数)思考根式化简开偶次方根时应注意什么问题？三、分数指数幂1规定正数的
2、正分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)2规定正数的负分数指数幂的意义是：(a0，m，nN*，且n1)30的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义思考分数指数幂可以理解为个a相乘吗？四、有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)sars(a0，r，sQ)(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(4)拓展：ars(a0，r，sQ)五、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂考点一 根式的运算【例1】(2020全国高一课时练习
3、)若，则化简_.【练1】(2020全国高一课时练习)化简：_.考点二 分数指数幂的运算【例2】(2020全国高一课时练习)化简下列各式；(1)；(2).【练2】(2020浙江高一课时练习)化简的结果为( )ABCD考点三 条件等式求值【例3】(2020浙江高一课时练习)已知，那么等于( )ABCD【练3】(2020全国高一课时练习)已知，求下列各式的值：(1)；(2).考点四 综合运算【例4】(2020浙江高一课时练习)计算下列各式：(1).(2).(3).【练4】(2020浙江高一课时练习)化简：_.课后练习1. 已知 xy0 且 4x2y2=-2xy ，则有（ ） A.xy0C.x0,y0
4、D.x02. （2018高一上铜仁期中）若a1，b0，abab2 2 ，则abab等于( ) A.B.2或2C.2D.23. （2020高一上奈曼旗期中）已知 x12+x-12=5 ，则 x+1x 的值为（ ） A.5B.23C.25D.274. （2019高一上石门月考）化简 (a-b)2+5(b-a)5 的结果是（ ） A.0B.2(b-a)C.0 或 2(b-a)D.不确定5. （2020高一上河北期中）(0.064)-13-(-78)0+(25)-25= _. 6. 7. （2018高一上台州期末）823= 1 ， log22= 2. 8. （2020高一上开鲁月考）2232-(2-5
5、)2+15+2= . 9. （2019高一上长春期中）计算下列各式的值： （1）0.064-13-(-78)0+160.75+0.2512 ; （2）log2482+lg52+lg4-5log534 . 10. （2018高一上东台月考）计算： （1）2log32-log3329+log38-5log53 （2）2-12+10.06413-(-4)02+2-2(49)12 11. （2019高一上兴庆期中）计算 （1）4x14(-3x14y-13)(-6x-12y-23) ； （2）2log32-log3329+log38-5log56 12. （2019高一上射洪月考）计算下列各式的值： （
6、1）(94)- 12+(-13)2+(2-1)0-823 ； （2）log327+lg25+2lg2-7log72 . 精讲答案思考答案当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a0时，a没有n次方根；当a0时，a才有n次方根，可表示为.思考答案开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论思考答案不可以分数指数幂不可以理解为个a相乘事实上，它是根式的一种新写法【例1】【答案】【解析】因为所以，当时，原式；当时，原式.故答案为：【练1】【答案】【解析】原式.故答案为：【例2】【答案】(1)(2)【解析】(1)原式.(
7、2)原式【练2】【答案】A【解析】原式.故选：A【例3】【答案】C【解析】当时，此时；当时，此时.，因此，.故选：C.【练3】【答案】(1)；(2).【解析】(1)平方得，；(2)由(1)，平方得，.【例4】【答案】(1)；(2)100；(3).【解析】(1)原式.(2)原式.(3)原式.【练4】【答案】【解析】练习答案1.【答案】 A 【考点】方根与根式及根式的化简运算 【解析】【解答】解：因为 4x2y2=|2xy| ，又因为 4x2y2=-2xy ，所以 |2xy|=-2xy ， 又因为 xy0 ，所以 xy1，b0， abab ， (abab)2(abab)24(2 2 )244，ab
8、ab2.故答案为：D.【分析】由题意可得(abab)2的值，开平方可得结果.3.【答案】 B 【考点】有理数指数幂的运算性质 【解析】x+1x=(x12+x-12)2-2=25-2=23 故答案为：B【分析】由 x+1x=(x12+x-12)2-2 ，即可得出答案.4.【答案】 C 【考点】方根与根式及根式的化简运算 【解析】解： (a-b)2+5(b-a)5 =|a-b|+(b-a) ， 当 ab 时，原式 =a-b+(b-a)=0 ，当 ab 时，原式 =b-a+(b-a)=2(b-a) ，故答案为：C【分析】当 n 为偶数时， nan=|a| ，当 n 为奇数时， nan=a ，从而得出
9、结论5.【答案】 74 【考点】有理数指数幂的运算性质 【解析】(0.064)-13-(-78)0+(25)-25 ， =(0.4)3-13-(-78)0+(25)-25 ，=52-1+14=74 ，故答案为： 74【分析】由分数指数幂的运算性质计算出结果即可。6.【答案】 a-1 【考点】方根与根式及根式的化简运算 【解析】【分析】根据根式的性质求解，注意开方数的正负。7.【答案】 4；12 【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质 【解析】823=2323=22=4 ， log22=log2212=12 .故答案为：4， 12 .【分析】由指数,对数运算直接求解.8.【答案】 433
10、 【考点】方根与根式及根式的化简运算 【解析】解： 2232-(2-5)2+15+2 化简得： 2233-(5-2)+5-25-4 ，整理得： 433-5+2+5-2=433 .故答案为： 433 .【分析】利用无理根式的运算法则可得2232-(2-5)2+15+2=2233-(5-2)+5-25-4= 433-5+2+5-2=433 .9.【答案】 （1）解： 0.064-13-(-78)0+160.75+0.2512 =(25)3-13-1+(24)34+(14)12 =52-1+8+12 =10 （2）解： log2482+lg52+lg4-5log534 =log2234-log22+
11、lg5-lg2+2lg2-34 =34-1+(lg5+lg2)-34 =34-1+1-34 =0 【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质 【解析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；（2）利用对数的运算性质求解即可.10.【答案】 （1）解： 2log32-log3329+log38-5(log53) =log34+log38-log3329-3 =log332-log3329-3 =log39-3 =2-3=-1（2）解： 2-12+10.06413-(-4)02+2-2(49)12 =22+1(25)313-22+14(23)212 =52+1423 =52+16 =83【考点】有
12、理数指数幂的化简求值，对数的运算性质 【解析】 (1)结合对数的运算性质，即可得出答案。（2）运用有理数指数幂化简，求值，即可得出答案。11.【答案】 （1）解：原式 =4(-3)(-6)x14+14-(-12)y-13-(-23) =2xy13 .（2）解：原式 =log34-log3329+log38-6 =log3(43298)-6 =log39-6 =2-6 =-4 【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质 【解析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算；（2）根据对数运算法则计算.12.【答案】 （1）解：原式 =(32)- 1+13+1-22 =23+43-4 =-2（2）解：原式 =3+2lg5+2lg2-2 =3 【考点】有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质 【解析】利用指数及对数的运算性质直接计算即可.
