1、第三章 导数及其应用A 基础达标1一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的距离为s43t32t2，那么速度为 0 的时刻是()A1 秒末 B0 秒C2 秒末D0 秒或 1 秒末第三章 导数及其应用解析：选 D.由题意可得 t0，s4t24t，令 s0，解得 t10，t21.第三章 导数及其应用2将 8 分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A2 和 6 B4 和 4C3 和 5 D以上都不对第三章 导数及其应用解析：选 B.设一个数为 x，则另一个数为 8x，其立方和yx3(8x)3512192x24x2 且 0 x8，则 y48x192.令 y0，即 48x1920，解得
2、 x4.当 0 x4时，y0；当 4x8 时，y0，所以当 x4 时，y取得极小值，也是最小值所以这两个数为 4 和 4.第三章 导数及其应用3某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量x(0 x390)的关系是 R(x)x3900400 x，0 x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200C250 D300第三章 导数及其应用解析：选 D.由题意可得总利润 P(x)x3900300 x20 000(0 x390)P(x)x2300300，由 P(x)0，得 x300.当 0 x0；当 300
3、x390 时，P(x)0，所以当 x300 时，P(x)最大故选 D.第三章 导数及其应用4三棱锥 O-ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且 xy3，则三棱锥 O-ABC 体积的最大值为()A4 B8C.43D.83第三章 导数及其应用解析：选 C.V132x22 yx2y3 x2（3x）3 3x2x33(0 x3)，V6x3x232xx2x(2x)令 V0，得 x2 或 x0(舍去)所以 x2 时，V 最大为43.第三章 导数及其应用5某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为 48 m3，高为 3 m，如果箱底每 1 m2 的造价为 15 元，箱壁每1 m
4、2 的造价为 12 元，则箱子的最低总造价为()A900 元B840 元C818 元D816 元第三章 导数及其应用解析：选 D.设箱底一边的长度为 x m，箱子的总造价为 l元，根据题意得箱底面积为483 16(m2)，箱底另一边的长度为16x m，则 l161523x2316x 1224072x16x，l72116x2.令 l0，解得 x4 或 x4(舍去)当 0 x4 时，l4时，l0.故当 x4 时，l 有最小值 816.因此，当箱底是边长为 4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是 816 元第三章 导数及其应用6要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大
5、，则高为_ cm.第三章 导数及其应用解析：设该漏斗的高为 x cm，则其底面半径为 202x2 cm，体积 V13(202x2)x13(400 xx3)(0 x20)，则 V13(4003x2)令 V0，解得 x2033或 x2033(舍去)当 0 x2033时，V0；当2033x20 时，V0，所以当 x2033时，V 取得极大值，也是最大值 答案：20 33第三章 导数及其应用7有矩形铁板，其长为 6，宽为 4，现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则 x_解析：可列出 V(62x)(42x)x，求导求出容积最大时x 的值为5 73
6、.答案：5 73第三章 导数及其应用8某厂生产某种产品 x 件的总成本：C(x)1 200 275x3，产品单价的平方与产品件数 x 成反比，生产 100 件这样的产品的单价为 50 元，当总利润最大时，则产量应定为_件第三章 导数及其应用解析：设产品单价为 a 元，产品单价的平方与产品件数 x成反比，即 a2xk，由题知 k250 000，则 a2x250 000，所以 a500 x.总利润 y500 x 275x31 200(x0)，y250 x 225x2.由 y0，得 x25，当 x(0，25)时，y0；当 x(25，)时，y0，所以 x25 时，y 取最大值 答案：25第三章 导数及
7、其应用9请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为 60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F 两点在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 AEFBx(cm)第三章 导数及其应用(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值第三章 导数及其应用解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)由已知得 a 2x，
8、h602x2 2(30 x)，0 x0；当 x(20，30)时，V0.所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值 此时ha12.所以当 x20 cm 时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.第三章 导数及其应用10某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是 15 元，销售价是 20 元，月平均销售 a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为 x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元)(1)写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)
9、改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大第三章 导数及其应用解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为 20(1x)，月平均销售量为 a(1x2)件，则月平均利润 ya(1x2)20(1x)15(元)，所以 y 关于 x 的函数关系式为 y5a(14xx24x3)(0 x1)第三章 导数及其应用(2)由 y5a(42x12x2)0，得 x112，x223(舍去)，当 0 x0；当12x1 时，y0，所以函数 y5a(14xx24x3)(0 x0)已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为 x，x(0，0.048 6)，若使银行获
10、得最大收益，则 x 的取值为()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6第三章 导数及其应用解析：选 B.依题意，存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，贷款的收益是 0.048 6kx2，其中 x(0，0.048 6)所以银行的收益是 y0.048 6kx2kx3(0 x0.048 6)，则 y0.097 2kx3kx2.令 y0，得 x0.032 4 或 x0(舍去)当 0 x0；当 0.032 4x0.048 6 时，y0.所以当 x0.032 4 时，y 取得最大值，即当存款利率为 0.032 4 时，银行获得最大收益第三章 导数及其应用13已知一家公司
11、生产某种品牌服装的年固定成本为 10万元，每生产 1 千件需另投入 3 万元设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)9.4 130 x2，010.(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)第三章 导数及其应用解：(1)当 010 时，WxR(x)(103x)x110 x 432x2 103x1003x144x.所以 W6.4xx33010，010.第三章 导数及其应用(2)当 00，当 x(8，10时，W10
12、 时，W1003x144x，因为x144x min24(此时 x12)，故 W1003x144x 10032428(当且仅当 x12时取等号)综合，知当 x12 时，W 取得最大值 28，故当年产量为 12 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大第三章 导数及其应用14(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本某药厂有一条价值 a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低 y 万元与技术改造投入 x 万元之间满足：y 与(ax)和 x2 的乘积成正比；当 xa2时，y
13、a3，并且技术改造投入比率x2（ax）(0，t，t 为常数且 t(0，2(1)求 yf(x)的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求 y 的最大值及相应的 x 值第三章 导数及其应用解：(1)设 yf(x)k(ax)x2，当 xa2时，ya3，即 a3ka2a24，解得 k8.所以 f(x)8(ax)x2.因为 0 x2（ax）t，所以函数的定义域是0，2at2t1.第三章 导数及其应用(2)因为 f(x)8(ax)x20 x 2at2t1，所以 f(x)24x216ax，令 f(x)0，则 x0(舍去)或 x2a3.当 0 x2a3 时，f(x)0，所以 f(x)在0，2a3 上是增函数；当 x2a3 时，f(x)0，第三章 导数及其应用所以 f(x)在2a3，上是减函数 所以 x2a3 为函数 y8(ax)x2 的极大值点 当 2at2t12a3，即 1t2 时，ymaxf2a3 3227a3；当 2at2t12a3，即 0t1 时，ymaxf2at2t1 32a3t2（2t1）3.综上可得，当 1t2 时，投入2a3 万元，y 的最大值为3227a3；当 0t1 时，投入 2at2t1万元，y 的最大值为32a3t2（2t1）3.第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
