1、第一章 三角函数 3 弧度制 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解角的另外一种度量方法弧度制2能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算(重点)3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式(难点)1.通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养2通过角度制和弧度制的换算及弧长公式和面积公式的应用，培养数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角它的单位符号是_，读作_以_作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制rad弧度弧度(2)角度制与弧度制的互化弧度数()正角的弧度数是一个_；()负角的弧度数是一个_；()零角的弧度数是_；()弧度数与十
2、进制实数间存在_正数负数0一一对应关系弧度数的计算|_如图：lr角度制与弧度制的换算一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360 弧度01806432233456322思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关2弧长公式与扇形面积公式已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，为圆心角的弧度数角度制弧度制 弧长公式l|n|r180l|r 扇形面积公式S|n|r2360S12lr_
3、12|r2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？提示 设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则S12lr，lr.D 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误1下列说法中，错误的说法是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小是2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度B 时针经过一小时，转过30，又306 rad，故选B.2时针经过一小时，时针转过了()A6 rad B6 radC 12 rad D 12 radD 25与5的终边相同，250，2，25是第一象限角，则5也是第一象限角3若5，则角的终边在()A第四象限B第三
4、象限C第二象限D第一象限C 设扇形半径为r，圆心角弧度数为，则由题意得2rr6，12r22，r1，4或r2，1.4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4C1或4 D2或4合 作 探 究 释 疑 难 角度与弧度的互化【例1】设1510，2750，145，2116.(1)将1，2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将1，2用角度表示出来，并在360360范围内找出与它们终边相同的所有的角解(1)1 180 rad，1510510 180176，2750750 180256.1的终边在第二象限，2的终边在第四象限(2)145 45 1801
5、44.设1k360144(kZ).3601360，360k360144360.k1或k0.在360360范围内与1终边相同的角是216.2116 116 180330.设2k360330(kZ).3602360，360k360330360.k0或k1.在360360范围内与2终边相同的角是30.角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记 180 rad，充分利用 1 180 rad 和 1 rad180进行换算(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为 n，则 rad180；nn 180 rad.(3)注意点：用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；用“弧度
6、”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数；度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度1将下列角度与弧度进行互化：(1)20；(2)15；(3)712；(4)115.解(1)2020 180 rad9 rad.(2)1515 180 rad 12 rad.(3)712 rad 712180105.(4)115 rad115 180396.用弧度制表示终边相同的角【例2】(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0)，且与(1)中终边相同，求.解(1)1 480749 10169，0169 2，1 480169 25169 2(5).(2)与
7、终边相同，2k169，kZ.又4，0)，129，2209.1根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形；(2)写出区间边界对应的角；(3)用不等式表示区域范围内的角2注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错2(1)把1 125化为2k(kZ，02)的形式是()A64 B674C84D874(2)在0720范围内，找出与角225 终边相同的角(1)D 因为1 1254360315，315315 18074，所以1 125874.(2)解：因为225 42572072，所以与角 225终边相同的角构成集合|72k360，kZ当k0时，72；当
8、k1时，432，所以在0720范围内，与角225 终边相同的角为72，432.弧长公式与面积公式的应用探究问题1扇形的半径，弧长及圆心角存在怎样的关系？提示|lr.2扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？提示 S12lr.【例3】一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数思路探究 设扇形的半径为R，弧长为l根据条件列方程组解方程组求R、l 求圆心角解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4，l42R，根据扇形面积公式S12lR，得112(42R)R，R1，l2，lR212，即扇形的圆心角为2 rad.1(变条件)将例3中的条件改为“扇形的面积为4，周长为10，试求圆心角(02)的弧度
9、数解 设弧长为l，扇形半径为r，由题意得：l2r10，12lr4，解得r4，l2或r1，l8.(舍)故2412(rad)，即扇形的圆心角为12 rad.2(变条件，变结论)将例3的条件改为“已知扇形的周长为40 cm”问：当它的半径和圆心角取什么值时，才使扇形的面积最大？解 设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r，S12lr12(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时lr40210102(rad).当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.灵活运用扇形弧
10、长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题课 堂 小 结 提 素 养 1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180rad”这一关系式3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)“度”与“弧度”
11、是度量角的两种不同的度量单位()(2)1度的角是周角的 1360，1弧度的角是周角的 12.()(3)180等于弧度()答案(1)(2)(3)B 7272 18025.272化为弧度是()A3 B25 C56 D57345 23122312180345.32312化为角度为_56，3，6，23 由 k2 3，得 43 k 83.因为kZ，所以k1，0，1，2，所以MN56，3，6，23.4设集合Mk2 3，kZ，N|，则MN_32 48|lr128 32 rad，S12lr1212848.5在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_弧度，扇形面积是_点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
