1、第一章 立体几何初步5 平行关系5.2 平行关系的性质自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|掌握直线和平面平行的性质定理及平面和平面平行的性质定理.1直线与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的_与_平行(2)符号语言：若 l，l，b，则 bl.(3)图形语言：交线该直线练一练(1)已知 a，b，则直线 a 与直线 b 的位置关系是()A平行B相交或异面C异面D平行或异面答案：D2平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的_(2)符号语言：若，a，b，则_.(3)图形语言：交线
2、平行ab练一练(2)已知平面 平面，过平面 内的一条直线 a的平面，与平面 相交，交线为直线 b，则 a 与 b()A相交 B平行 C异面 D以上都有可能答案：B1如何确定平面内一条直线与平面外一条直线平行？答：经过已知直线作一个平面和已知平面相交，交线和已知直线平行，此交线就是要找的直线2在进行空间平行的判断与证明时，如何进行线线、线面、面面平行关系的转化？答：典例精析 规律总结课堂互动探究 如图，已知 AB 与 CD 是异面直线，且 AB平面，CD平面，AC E，ADF，BDG，BCH.求证：四边形 EFGH 是平行四边形【证明】因为 AB平面，AB平面 ABC，平面 ABC平面 EH，所
3、以 ABEH，因为 AB平面，AB平面 ABD，平面 ABD平面 FG，所以 ABFG，所以 EHFG，同理由 CD平面 可证 EFGH，所以四边形 EFGH 是平行四边形【规律总结】(1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行(2)线面平行的判定与性质定理经常交替使用：通过线线平行得到线面平行，通过线面平行推出另一组线线平行 如图，E，H 分别是三棱锥 ABCD 的棱 AB，AD 的中点，平面 过EH 分别交 BC，CD 于点 F，G.求证：EHFG.证明：E，H 分别是 AB，AD 的中点，EHBD.又EH平面 BCD，BD平面 BCD，EH平面 BCD.又EH平
4、面，平面 平面 BCDFG，EHFG.如图，设 AB、CD 为夹在两个平行平面、之间的线段，且直线 AB、CD 为异面直线，M，P 分别为 AB，CD 的中点求证：直线 MP平面.【证明】过点 A 作 AECD 交平面 于 E，连接 DE，BE，取 AE 的中点 N，连接 MN，PN.设 AE 与 CD 确定的平面为，AC，DE，ACDE.又N，P 分别为 AE，CD 的中点，PNDE.又PN平面，DE平面，PN平面.ABE 中，M，N 分别为 AB，AE 中点，MNBE.MN平面 且 BE，MN.PNMNN，平面 PMN平面.MP平面 PMN，MP平面.【规律总结】要证线面平行问题，一种思路
5、是用定义证明线面无公共点，第二种思路是利用线面平行的判定定理此类问题往往转化为面面平行的判断，进一步转化为线面平行，再到线线平行 如图，在四棱台 ABCDABCD中，上底面是边长为 2 的正方形，点 Q 是 CD的中点，平面 BDQ平面ABCDPQ，求 PQ 的长度解：连接 BD.因为平面 ABCD平面 ABCD，平面 BDQ平面 ABCDPQ，平面 BDQ平面 ABCDBD，所以 PQBD.因为 ABCDABCD是四棱台，所以 BB与 DD相交，记 BB与 DD确定的平面为，则 平面 ABCDBD，平面 ABCDBD，又平面 ABCD平面 ABCD，所以 BDBD，所以 PQBD，又 Q 为
6、 CD的中点，所以 P 为 BC的中点，所以 PQ12BD122 2 2.如图所示，正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE，BD 上各有一点 P，Q，且 APDQ.求证：PQ平面 BCE.【证明】证法一：如图所示，连接 AQ 并延长与 BC(或延长线)交于点 G，连接 EG.AEBD，APDQ，PEBQ，APPEDQBQ.又ADBC，DQBQAQGQ，则APPEAQGQ，PQEG.PQ平面 BCE，EG平面 BCE，PQ平面 BCE.证法二：作 PMAB 交 BE 于 M，作 QNAB 交 BC 于 N，连接 MN.AEBD，APDQ，PEBQ.又PMABQN，P
7、MABPEAE，QNDCBQBD，PMABQNDC.ABDC，PMQN，则四边形 PMNQ 为平行四边形PQMN.又PQ平面 BCE，MN平面 BCE，PQ平面 BCE.证法三：在平面 ABEF 内，过 P 作 PMBE，交 AB 于点 M，连接 MQ.PMBE，即 PM平面 BCE，APPEAMMB.又APDQ，PEBQ，DQBQAMMB，MQAD.ADBC，MQBC，则 MQ平面 BCE.又PMMQM，平面 MPQ平面 BCE.又PQ平面 PMQ，PQ平面 BCE.【规律总结】证明线面平行的三种方法：(1)利用定义，证明线面无公共点，一般利用反证法来证明；(2)利用直线与平面平行的判定定理
8、；(3)利用平面与平面平行的性质 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1 分别是棱 AD，AA1 的中点设 F 是棱 AB的中点，证明：直线 EE1平面 FCC1.证明：F 为 AB 的中点，CD2，AB4，ABCD，CDAF，四边形 AFCD 为平行四边形，ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面 FCC1，CC1平面 FCC1，ADDD1D，AD平面 ADD1A1，DD1平面 ADD1A1，平面 ADD1A1平面 FCC1.又EE1平面 ADD1A，EE1平面 FCC1，EE1平面 FCC1.如图所
9、示，三棱锥 ABCD 被一平面所截，截面为EFGH，求证：CD平面EFGH.【错解】四边形 EFGH 是平行四边形，EFGH，EF平面 BCD，GH平面 BCD，EF平面 BCD，又 CD平面 BCD，EFCD，又EF平面 EFGH，CD平面 EFGH，CD平面 EFGH.【错因分析】应用线面平行的性质时，应满足所有条件错解中，由 EF平面 BCD 不能直接得到 EFCD，应补充条件 EF平面 ACD，平面 ACD平面 BCDCD.【正解】四边形 EFGH 为平行四边形，EFGH.EF平面 BCD，GH平面 BCD，EF平面 BCD.又EF平面 ACD，平面 ACD平面 BCDCD，EFCD.
10、又EF平面 EFGH，CD平面 EFGH，CD平面 EFGH.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 线面平行的性质1如果直线 a平面，则()A平面 内有且只有一条直线与 a 平行B平面 内有无数条直线与 a 平行C平面 内不存在与 a 垂直的直线D平面 内所有直线与 a 平行答案：B2已知，a，B.则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与 a 平行的直线B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与 a 平行的直线D存在唯一一条与 a 平行的直线解析：直线 a 与点 B 确定一平面，与 的交线为 a，与 的交线为 c，且 Bc，ca.答案：D3两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面，给出下列
11、命题：nm mn；mnm，n 不共面；nmmn，其中，错误的个数是()A1 B2 C3 D0解析：中的 m 与 n 可能平行，也可能异面；中可能 mn，即 m 与 n 共面；中不知平面 与平面 的位置关系，因而不能判定 m 与 n 的关系，故均是错误的答案：C知识点二 面面平行的性质4如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，过 BD1的平面分别与 AA1，CC1 交于 M，N，则四边形 BND1M的形状为_解析：平面 ADD1A1平面 BCC1B1，平面 MBND1平面 ADD1A1MD1，平面 MBND1平面 BCC1B1BN，MD1BN，同理 MBD1N.四边形 BND1M 为平行四边形答案：平行四边形5在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 A1B1，B1C1 的中点，P 是棱 AD 上一点，APa3，过 P，M，N的平面与棱 CD 交于 Q，则 PQ_.解析：由题意知平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 MNQP平面 ABCDPQ，平面 MNQP平面 A1B1C1D1MN，MNPQ，又MNA1C1AC，PQAC.PQACDPDA2a3a 23，AC a2a2 2a，PQ23AC2 23 a.答案：2 23 aword部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块
