1、核心概念掌握 知识点一 复数的加法与减法(1)复数的加减法运算法则(abi)(cdi).(2)复数加法的运算律复数的加法满足、，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2；(z1z2)z301(ac)(bd)i02 交换律03 结合律04 z2z105 z1(z2z3)知识点二 复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义设OZ1，OZ2 分别与复数 abi，cdi 对应，则OZ1(a，b)，OZ2(c，d)由平面向量的坐标运算法则，得OZ1 OZ2(ac，bd)这说明两个向量OZ1 与OZ2 的和就是与复数(ac)(bd)i 对应的向量因此复数的加法可以按照向量加法来进行(2)复数减法的几
2、何意义复数 z1z2 是连接向量OZ1，OZ2 的，并指向被减向量的向量Z2Z1 所对应的复数设 z1x1y1i，z2x2y2i，则 d|Z1Z2|Z2Z1|z1z2|(x1y1i)(x2y2i)|(x1x2)(y1y2)i|x1x22y1y22.(3)复平面内的两点间距离公式：d.其中 z1，z2 是复平面内的两点 Z1 和 Z2 所对应的复数，d 为 Z1 和 Z2间的距离01 终点02|z1z2|如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1z2 对应的向量是，与 z1z2 对应的向量是.03 OZ04 Z2Z1复数模的两个重要性质
3、(1)|z1|z2|z1z2|z1|z2|；(2)|z1z2|2|z1z2|22|z1|22|z2|2.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数与向量一一对应()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()(4)两个共轭虚数的差为纯虚数()2做一做(1)计算：(35i)(34i)_.(2)(56i)(22i)(33i)_.(3)已知向量OZ1 对应的复数为 23i，向量OZ2 对应的复数为 34i，则向量Z1Z2 对应的复数为_答案(1)6i(2)11i(3)1i答案 核心素养形成 题型一复数的加、减运算例 1 计算：(1)(35
4、i)(4i)(34i)；(2)(7i5)(98i)(32i)解(1)原式(343)(514)i410i.(2)原式(593)(782)i1i.答案 复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部这种运算类似于初中的合并同类项计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)(i2i)|i|(1i)解(1)原式(13i)(2i)(12i)(32i)(12i)2.(2)原式(1i)012(1i)1i1(1i)12i.答案 题型二复数加、减运算的几何意义例 2 已知四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A，B，C
5、 三点对应的复数分别是 13i，i,2i，求点 D 对应的复数解 解法一：设点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)，则 D(x，y)又由已知得 A(1,3)，B(0，1)，C(2,1)，AC 中点为32，2，BD 中点为x2，y12.平行四边形对角线互相平分，32x2，2y12，x3，y5.即点 D 对应的复数为 35i.答案 解法二：设点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)则AD 对应的复数为(xyi)(13i)(x1)(y3)i，又BC对应的复数为(2i)(i)22i.由已知得AD BC，(x1)(y3)i22i，x12，y32，x3，y5，即点 D 对应的复数为 35i.答案 条件探
6、究 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为 13i，i,2i，求第四个顶点对应的复数解 设 13i，i,2i 对应 A，B，C 三点，D 为第四个顶点，则当四边形 ABCD 是平行四边形时，点 D 对应的复数是 35i.当四边形 ABDC 是平行四边形时，点 D 对应的复数为 13i.当四边形ADBC 是平行四边形时，点 D 对应的复数为1i.答案(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能已知复平面内平行四边形 A
7、BCD，A 点对应的复数为 2i，向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，求：(1)点 C，D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积解(1)因为向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，所以向量AC对应的复数为(3i)(12i)23i.又OC OA AC，所以点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i.因为AD BC，所以向量AD 对应的复数为 3i，即AD(3，1)，设 D(x，y)，则AD(x2，y1)(3，1)，所以x23，y11，解得x5，y0.所以点 D 对应的复数为 5.答案 (2)因为BABC|BA|BC|cosB，所以 cosB B
8、ABC|BA|BC|325 10 15 2 210.所以 sinB 75 27 210，所以 S|BA|BC|sinB 5 107 210 7.所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.答案 题型三复数加、减运算的几何意义的应用例 3 已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解 解法一：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得 2ac2bd1.|z1z2|ac2bd2 a2c2b2d22ac2bd 3.答案 解法二：设 O 为坐标原点，z1，z2，z1z2 对应的点分别为 A，B，C.|z1|z2|z1z
9、2|1，OAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 OACB 是一个内角为 60，边长为 1 的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，|z1z2|OC|OA|2|AC|22|OA|AC|cos120 3.答案 掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1z2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形 OACB：为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z1|z2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 为正方形若复数 z 满足|zi|zi|2，求|zi1|的最小值解 解法一：设
10、复数i，i，(1i)在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，Z3.如图，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以复数 z 对应的点 Z 的集合为线段 Z1Z2.问题转化为：动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为 1.答案 解法二：设 zxyi(x，yR)因为|zi|zi|2，所以 x2y12 x2y122，又 x2y122 x2y120，所以 0 x2y122，因为 x2y122 x2y12，所以两边平方可得 1y x2y12，即(1y)2x2(y1)2，且 01y2.答案 所以 x0 且1y1，则 zyi(1y1)所以|zi1|1(y
11、1)i|12y121，等号在 y1 即 zi 时成立所以|zi1|的最小值为 1.答案 随堂水平达标 1复数 z13i，z21i，则 z1z2 在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 z1z2(3i)(1i)22i，z1z2 在复平面内对应的点位于第一象限解析 答案 A答案 2已知|z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z等于()A3i B3iC3i D4i解析 设 zxyi(x，yR)，由 z3ix(y3)i 为纯虚数，得 x0，且 y3，又|z|x2y2|y|3，y3，z3i，z3i.故选 A.解析 答案 A答案 3非零复数 z1，z2 分别对应复平面内的向
12、量 O A，O B，若|z1z2|z1z2|，则()AO AO BB|O A|O B|CO AO BDO A，O B共线答案 C答案 解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O CO AO B，B AO AO B.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1z2|对应 OC的模，|z1z2|对应 B A的模又|z1z2|z1z2|，所以四边形 OACB 是矩形，则 O AO B.解析 4复数 z 满足 z(1i)2i，则 z 等于()A1i B1iC1i D1i解析 z2i(1i)1i.故选 A.解析 答案 A答案 5如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别对应复数 0,32i，24i.求：(1)向量AO 对应的复数(2)向量CA对应的复数(3)向量OB 对应的复数解(1)因为AO OA，所以向量AO 对应的复数为32i.(2)因为CAOA OC，所以向量CA 对应的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为OB OA OC，所以向量OB 对应的复数为(32i)(24i)16i.解析 课后课时精练 点击进入PPT课件
