1、高考导航立体几何初步本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常
2、能收到事半功倍的效果基础过关第1课时 空间直线1空间两条直线的位置关系为 、 、 2相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 5异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离典型例题例1. 如图，在空间四边形ABCD中，ADACBCBDa，ABCDb，E、F分别是AB、C
3、D的中点AEBCFD(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；(2) 求AB和CD间的距离例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点BMANCS求异面直线SM与BN所成的角PC1D1MB1A1DNCBA例3. 如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；例4如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AMEF(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若PA3AB，求直线AC与平面EA
4、M所成角的正弦值小结归纳求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角限时训练1.在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别为AB、CD的中点，EF，求AD、BC所成角的大小2.正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点(1) 求异面直线SC和AB的距离；(2) 求异面直线SA和EF所成角3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，求NM与AN所成的角B1ACBNMA1C14.如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点（）证明；（）
5、求与所成的角。基础过关第2课时 直线和平面平行1直线和平面的位置关系 、 、 直线在平面内，有 公共点直线和平面相交，有 公共点直线和平面平行，有 公共点直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外2直线和平面平行的判定定理如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行(记忆口诀：线线平行 线面平行)3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行(记忆口诀：线面平行 线线平行)典型例题BCAPM例1如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据例2. 如图，在四棱锥PABCD中，底面A
6、BCD是正方形，侧菱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点BADCEP( 1 ) 证明：PA平面EDB；( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值例3已知：ABC中，ACB90，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A的位置，若平面ADE面BCDE，M是AB的中点，求证：ME面ACD例4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点( 1 ) 求证：ACBC1；(2) 求证：AC1平面CDB1；(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值ADBB1C1A1C小结归纳1证明直线和平面平行的方法有：(1)依
7、定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法2辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用限时训练ABCDEF1.如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；2.（09北江中学文期末）如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、的中点，且， ，（）求四棱锥的体积；PBCDAEF（）求证：直线平面 第3课时 直线和平面垂直基础过关1直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线
8、垂直于这个平面3直线和平面垂直性质若a，b则 若a，b则 若a，a则 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离典型例题例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心求证：OG平面ABC例2 如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点PMBCDAN(1) 求证：MNCD；(2) 若PDA45，求证：MN面PCDPDABCFE例3如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E、F分别为CD、PB的中点(
9、1) 求证：EF平面PAB；(2) 设ABBC，求AC与平面AEF所成的角的大小PABCD例4：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PDa，PAPCa(1) 求证：PD面ABCD；(2) 求直线PB与AC所成角；(3) 求二面角APBD大小小结归纳线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义； (2)判定定理；(3) 面面垂直的性质； (4) 面面平行的性质：若，a则a 限时训练1：如图SA面ABC，ABC90，AESB，且SBAEE，AFSC，且AFSCF，求证：(1) BC面SAB；(2) AE面SBC；(3) SCEFSABCFE2：PD垂直于平面ABCD所在平面
10、，PBAC，PAAB 求证： ABCD是正方形； PCBC3：如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BADBDC90，ABAD3，BC2CD求：(1) 求AC的长；(2) 求证：平面ABC平面ACD；(3) 求D点到平面ABC的距离dABDC基础过关第4课时 平面与平面平行基础过关1两个平面的位置关系： 2两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行(记忆口诀：线面平行，则面面平行)3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行(记忆口诀：面面平行，则线线平行)4两个平行平面距离和两个平行平面同时 的直线
11、，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离典型例题例1.设直线l,m,平面,下列条件能得出的是( )A.l,m,且l,m B.l,m,且lmC.l,m,且lm D.l,m,且lmA1ABCB1C1EFMND1D例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点(1) 求证：平面AMN平面EFDB；(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值例3如图：直三棱柱，底面三角形ABC中，棱，M、N分别为A1B1、AB的中点求证：平面A1NC平面BMC1； 求异面直线A1C与
12、C1N所成角的大小； 求直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小。限时训练1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面（ ） A 邻边不等的平行四边形； B 菱形但不是正方形 C 邻边不等的矩形 D 正方形2.设有不同的直线，a、b和不同的平面，给出下列三个命题，其中正确的个数是（ ）（1）a，b则ab （2）若a，a则 （3）若，则A. 0 B. 1 C. 2 D .33. 是两个平面，、是两条直线，那么的一个充分而不必要的条件是 ( ) A. ，m B. m C. ,m且 m D . ，m，且 m4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，
13、M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点求证：(1) APMN；(2) 平面MNP平面A1BD5.P是所在平面外一点， 、分别是、的重心（1） 求证：平面 平面ABC （2）求：基础过关第5课时 两个平面垂直1两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直3两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面例1 如图所示，在四面体SABC中，SASBSC，ASBASC60，BSC90求证：平面ABC平面BSCCASDBCBDFPAE例2
14、.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45 求证：AF平面PEC； 求证：平面PEC平面PCD； 设AD2，CD2，求点A到面PEC的距离小结归纳在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键限时训练1.如图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SA
15、B平面SBC 求证：ABBC；ASBC 若设二面角SBCA为45，SABC，求二面角ASCB的大小2.已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，DAB60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点（1） 证明：平面PED平面PAB；（2） 求二面角PABF的平面角的余弦值ACBPGD3.如果在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD 若G为AD边的中点，求证BG平面PAD； 求证ADPB； 求二面角ABCP的大小； 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论基
16、础过关第6课时 空间角1两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a a，b b，把直线a和b所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角规定： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角； 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角其范围是 3二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 典型例题PBEFDCA例1. 如图，已知矩
17、形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点（1）求EF与平面PAD所成角的大小；（2）求EF与CD所成角的大小；（3）若PDA45，求：二面角FABD的大小例2.BB1AECC1A1正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC中点 求证：平面BEC1平面ACC1A1； 求证：AB1平面BEC1； 若，求二面角EBC1C的大小小结归纳1两异面直线所成角的作法： 平移法： 补形法2作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影3平面角的作法： 定义法； 三垂线法； 垂面法4二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 SScos来求;空间角
18、的计算有时也可以利用向量的求角公式完成限时训练1、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） A.B. C. D. 3.如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1BDC的大小为60，求异面直线BC1与AC所成A1B1D1C1DABC的角的大小4. ABC和DBC所在平面互相垂直，且ABBCBD，ABCDBC120求：ABDC AD与平面DBC所成的角； 二面
19、角ABDC的正切值第7课时 空间距离基础过关1点与点的距离：两点间 的长2点与线的距离：点到直线的 的长3平行线间的距离：从两条平行线中一条上 一点向另一条引垂线，这点到 之间的线段长4点与面的距离：点到平面的 的长5平行于平面的直线与平面的距离：直线上 一点到平面的 的长6两个平行平面间的距离：从其中一个平面上 一点向另一个平面引垂线，这点到 之间的线段长7两条异面直线的距离：与两条异面直线都 的直线夹在两 间线段的长典型例题例1.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，、F分别是BB1、CD的中点.BCD1C1D1B1EF 求证：ADD1F； 求证：AE与D1F所成的角； 求点F到平面A
20、1D1E的距离例2.如图，四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4的正三角形（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角ABCD的取值范围；ABDC（2）当二面角ABCD的平面角为时，求点C到平面ABD的距离第8课时 棱柱 棱锥典型例题例1. 如图，正三棱锥PABC中，侧棱PA与底面ABC成60角PACBE（1）求侧PAB与底面ABC成角大小；（2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角；（3）设AB，求P到面ABC的距离例2. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，ABCD，AB2，CD1，DAB45；侧面PAD是等腰直角三角形，APPD，且平面PAD平面ABCDABCPD 求证
21、：PABD； 求PB与底面ABCD所成角的正切值； 求直线PD与BC所成的角例3.（2009湖南卷文）（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。限时训练1正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为A3 B6 C9 D18 2已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ） ABCDACBDP3.如图，在三棱锥中，（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离ABCDPHE4如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求
22、异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小ABCDEF5、如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.6.（2009北京卷文）（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.（）求证：平面； （）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.典型例题第9课时 球例1用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 例2 长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是( )A B C D2例3已知球的半径为2，相互垂
23、直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A1 B C D2小结归纳计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)限时训练1.长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为( )ABCD2设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )（）（）（）（）3已知点在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是 4.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
