1、学案 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标：1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定自主梳理1逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词“p 且 q”记作 pq，“p 或 q”记作 pq，“非p”记作綈 p.2命题 pq，pq，綈 p 的真假判断pqpqpq綈 p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为xM，p(x)，它的否定xM，綈 p(x)(2)短语“存在一个”“
2、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为xM，p(x)，它的否定xM，綈 p(x)自我检测1命题“xR，x22x10CxR，x22x10DxR，x22x10答案 C解析 因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题对 x22x10BxN*，(x1)20CxR，lg x1DxR，tan x2答案 B解析 对于 B 选项 x1 时，(x1)20.5(2009辽宁)下列 4 个命题：p1：x(0，)，(12)xlog13x；p3：x(0，)，(12)xlog12x；p4：x(0，13)，(12)xlog13x.其中的真命题是()A
3、p1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4答案 D解析 取 x12，则 log12x1，log13xlog321，p2 正确当 x(0，13)时，(12)x1，p4 正确探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例 1 写出由下列各组命题构成的“pq”、“pq”、“綈 p”形式的复合命题，并判断真假(1)p：1 是素数；q：1 是方程 x22x30 的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程 x2x10 的两实根的符号相同；q：方程 x2x10 的两实根的绝对值相等解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个
4、复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为：确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题的真假；根据其真值表判断复合命题的真假解(1)pq：1 是素数或是方程 x22x30 的根真命题pq：1 既是素数又是方程 x22x30 的根假命题綈 p：1 不是素数真命题(2)pq：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题pq：平行四边形的对角相等且互相垂直假命题綈 p：有些平行四边形的对角线不相等真命题(3)pq：方程 x2x10 的两实根的符号相同或绝对值相等假命题pq：方程 x2x10 的两实根的符号相同且绝对值相等假命题綈 p：方程 x2x10 的两实根的符号不相同真命题变式迁
5、移 1(2011厦门月考)已知命题 p：xR，使 tan x1，命题 q：x23x20的解集是x|1x2，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p綈 q”是假命题；命题“綈 pq”是真命题；命题“綈 p綈 q”是假命题，其中正确的是()ABCD答案 D解析 命题 p：xR，使 tan x1 是真命题，命题 q：x23x20 的解集是x|1x12.(2)，使 cos()cos cos.(3)x，yN，都有 xyN.(4)x0，y0Z，使得 2x0y03.解题导引 判定一个全(特)称命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可(2)特称命
6、题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立解(1)真命题，因为 x2x1(x12)2343412.(2)真命题，如 4，2，符合题意(3)假命题，例如 x1，y5，但 xy4N.(4)真命题，例如 x00，y03 符合题意变式迁移 2(2011日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是()AxR，x230BxN，x21CxZ，使 x51DxQ，x23答案 C解析 由于xR 都有 x20，因而有 x233，所以命题“xR，x230”为假命题；由于 0N，当 x0 时，x21 不成立，所以命题“xN，x21”为假命题；由于1Z，当 x1 时，x51，所以命题“xZ，使 x51”为真
7、命题；由于使 x23 成立的数只有 3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于 3，所以命题“xQ，x23”为假命题探究点三 全称命题与特称命题的否定例 3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假(1)p：xR，x2x140；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一个实数 x，使 x310.解题导引(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可(2)要判断“綈 p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断 p
8、 的真假因为 p 与綈 p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假解(1)綈 p：xR，x2x140，是真命题，这是由于xR，x22x2(x1)2110成立(4)綈 s：xR，x310，是假命题，这是由于 x1 时，x310.变式迁移 3(2009天津)命题“存在 x0R,2x00”的否定是()A不存在 x0R,2x00B存在 x0R,2x00C对任意的 xR,2x0D对任意的 xR,2x0答案 D解析 本题考查全称命题与特称命题的否定原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“”的否定是“”，所以其否定为“对任意的 xR,2x0”转化与化归思想的应用例 (12 分)已知命题 p：“x1,2，x2
9、a0”，命题 q：“x0R，x202ax02a0”，若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围【答题模板】解 由“p 且 q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题3 分若 p 为真命题，ax2 恒成立，x1,2，a1.6 分若 q 为真命题，即 x22ax2a0 有实根，4a24(2a)0，即 a1 或 a2，10 分综上，所求实数 a 的取值范围为 a2 或 a1.12 分【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题 p 转化为恒成立问题，命题 q 转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件若直接求
10、 p 成立的条件困难，可转化成求綈 p 成立的条件，然后取补集【易错点剖析】“p 且 q”为真是全真则真，要区别“p 或 q”为真是一真则真，命题 q 就是方程 x22ax2a0 有实根，所以 0.不是找一个 x0 使方程成立1逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如 x9.(2)命题“非 p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定2判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出
11、其中简单命题的真假，最后根据真值表判断3全称命题“xM，p(x)”的否定是一个特称命题“xM，綈 p(x)”，特称命题“xM，p(x)”的否定是一个全称命题“xM，綈 p(x)”(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011宣城模拟)已知命题 p：xR，x23x30，则()A綈 p：xR，x23x30，且綈 p 为真命题B綈 p：xR，x23x30，且綈 p 为假命题C綈 p：xR，x23x30，且綈 p 为真命题D綈 p：xR，x23x30，且綈 p 为假命题答案 C解析 命题 p 是一个特称命题，它的否定綈 p：对所有的 xR，都有 x23x30 为真故答案为 C
12、.命题的否定要否定量词，即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论2已知命题 p：xR，ax22x30，如果命题綈 p 是真命题，那么实数 a 的取值范围是()Aa13Ba13C00 对一切 xR 恒成立，这时应有a0，412a13.因此当命题 p 是假命题，即命题綈 p 是真命题时，实数 a 的范围是 a13.3(2011龙岩月考)已知条件 p：|x1|2，条件 q：xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是()Aa1Ba1Ca3Da3答案 A解析 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件的等价命题为 q 是 p 的充分不必要条件，即 qp，而 pq
13、，条件 p 化简为 x1 或 x0，则 a0”，则它的否命题是()Aa，bR，如果 ab0，则 a0Ba，bR，如果 ab0，则 a0Ca，bR，如果 ab0，则 a0，a0 的否定分别为 ab0，a0，故选 B.5(2011宁波调研)下列有关命题的说法正确的是()A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”B“x1”是“x25x60”的必要不充分条件C命题“xR，使得 x2x10”的否定是“xR，均有 x2x13”的否定是_答案 xR，|x2|x4|37已知命题 p：“xR，mR 使 4x2x1m0”，若命题綈 p 是假命题，则实数 m 的取值范围为_答案 m1解析 命题
14、綈 p 是假命题，即命题 p 是真命题，也就是关于 x 的方程 4x2x1m0 有实数解，即 m(4x2x1)，令 f(x)(4x2x1)，由于 f(x)(2x1)21，所以当 x-Ray时 f(x)1，因此实数 m 的取值范围是 m1.8(2010安徽)命题“存在 xR，使得 x22x50”的否定是_答案 对任意 xR，都有 x22x50解析 因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意 xR，都有 x22x50.三、解答题(共 38 分)9(12 分)分别指出由下列命题构成的“pq”“pq”“綈 p”形式的命题的真假(1)p：42,3，q：22,3；(2)p：1 是奇数，q：1 是质数；(3
15、)p：0，q：x|x23x50R；(4)p：55，q：27 不是质数解(1)p 是假命题，q 是真命题，pq 为真命题，pq 为假命题，綈 p 为真命题(3 分)(2)1 是奇数，p 是真命题又1 不是质数，q 是假命题因此 pq 为真命题，pq 为假命题，綈 p 为假命题(6 分)(3)0，p 为假命题又x23x503 292x3 292，x|x23x50 x|3 292x0 对一切 xR 恒成立，q：函数 f(x)(32a)x 是增函数，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围解 设 g(x)x22ax4，由于关于 x 的不等式 x22ax40 对一切 xR 恒成立，所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点，故 4a2160，2a1，a1.(6 分)又由于 p 或 q 为真，p 且 q 为假，可知 p 和 q 一真一假(1)若 p 真 q 假，则2a2，a1，1a2；(8 分)(2)若 p 假 q 真，则a2，或a2，a1，a2.(10 分)综上可知，所求实数 a 的取值范围为1a0m2.(3 分)q：4x24(m2)x10 无实根216(m2)21601m2m1或m3m3；(10 分)当 p 假且 q 真时，有m21m3 1m2.(12 分)综上可知，m 的取值范围为m|1m2 或 m3(14 分)
