1、3.7 正多边形各边相等、各个内角也相等的多边形叫做正多边形，任何正多边形都有一个外接圆1.正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则O的半径是(B).A. B.2 C. D.2（第1题）(第3题)(第4题)2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的是(A).A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形3.如图所示，边长为a的正六边形内有两个斜边长为a,有一个角是60的直角三角形，则的值为(C).A.3 B.4 C.5 D.64.如图所示，在正六边形ABCDEF中，BCD的面积为4，则BCF的面积为(C).A.16 B.12 C.8 D.65.如图所示，AD是正五
2、边形ABCDE的一条对角线，则BAD= 72 (第5题)(第6题)(第7题)6.如图所示，若干全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 7 个五边形7.如图所示，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则该正八边形的面积为 40 cm28.如图所示，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC.求BCM的大小(第8题)【答案】六边形ABCDEF为正六边形，ABC=120，AB=BC.四边形ABMN为正方形，ABM=90，AB=BM.MBC=120-90=30，BM=BC.BCM=BMC=75.9.如图所示，M，N
3、分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB，BC上的点，且BM=CN，连结OM，ON(1)求图1中MON的度数(2)图2中MON的度数为 90 ，图3中MON的度数为 72 (3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案) (第9题)【答案】(1)连结OB，OC.AB=AC，ABC=ACB.OC=OB，点O是外接圆的圆心，BO平分ABC,CO平分ACB.OBM=OCN=30.BM=CN，OC=OB，OMBONC.BOM=NOC.MON=BOC.BAC=60，BOC=120.MON=120.(2)90 72(3)MON=.10.蜂巢
4、的构造非常美丽、科学.如图所示为由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示，若ABC是直角三角形，则这样的三角形有(D).A.4个 B.6个 C.8个 D.10个(第10题) (第12题) (第13题)11.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A).A. B. C. D. 【解析】如答图1所示，OC=2，OD=1. 图1图2图3 （第11题答图）如答图2所示，OB=2，OE=.如答图3所示，OA=2，OD=.该三角形的三边分别为1，.(1)2+()2=()2，该三角形是直
5、角三角形.该三角形的面积是1=.故选A.12.如图所示，平面上有两个全等的正十边形，其中点A与点A重合，点C与点C重合.则BAJ的度数为 108 13.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为23，延长BA，EF交于点O.以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是 (2，4) 14.如图所示，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线(1)在剩余的顶点B，C，D，E，F，H中，连结两个顶点，使连结的线段与AG平行，并说明理由(2)两边延长AB，CD，EF，GH，使延长线分别交于点P，Q，M，N，若AB=2，求四边形PQMN的面积 (第14题) （第1
6、4题答图）【答案】(1)如答图所示，连结BF，BFAG.理由如下：八边形ABCDEFGH是正八边形，它的内角都为135.HA=HG，1=22.5.2=135-1=112.5.正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，3=135=67.5.2+3=180.BFAG.(2)由题意可知PHA=PAH=45，P=90，同理可得Q=M=90.四边形PQMN是矩形.PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45，AH=BC=DE，PAHQCBMED.PA=QB=QC=MD.PQ=QM.四边形PQMN是正方形.在RtPAH中，PA=PH,AH=AB=2，PA=.PQ=PA+AB+BQ=+2+=2+2.
7、S四边形PQMN=(2+2)2=12+8.15.如图1所示，已知在正五边形ABCDE中.(1)AC与BE相交于点P，求证：四边形PEDC为菱形.(2)延长CD，AE交于点M，连结BM交CE于点N，如图2所示，求证：CN=EP.图1图2（第15题） （第15题答图）【答案】(1)五边形ABCDE是正五边形，BCD=BAE=108，CDDEBCAB=AE.ABE=AEB=36.CBE=72.DCB+CBE=180.CDBE.同理可证ACDE，四边形PEDC是平行四边形.又CD=DE，四边形PEDC是菱形.(2)如答图所示，连结AN.由(1)知四边形PEDC是平行四边形.ACEPECACD36.MC
8、A=MAC=72，MC=MA.BC=BA，BM垂直平分线段AC.NC=NA.NCA=NAC=36.易知PAE=NEA=72，PEA=NAE=36.AE=EA，PAENEA.PEAN.CN=PE.16.【河北】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是(C).A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5【解析】如答图所示，在这样连
9、续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的粗实线，观察图象可知点B，M间的距离d的取值范围是2-d1.故选C.（第16题） （第16题答图） （第17题）17.【威海】如图所示，正方形ABCD内接于O，其边长为4，则O的内接正三角形EFG的边长为 2 .18.(1)如图1所示，ABC是O的内接等边三角形，点P为上一动点，求证：PA=PB+PC(2)如图2所示，四边形ABCD是O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA=PC+PB(3)如图3所示，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明（第18题） 图1图2图3 （第18题答图
10、）【答案】(1)如答图1所示,延长BP至点E，使PE=PC，连结CE.A，B，P，C四点共圆，BAC+BPC=180.BPC+EPC=180，BAC=EPC=60.PE=PC,PCE是等边三角形.CE=PC，ECP=60.BCE=60+BCP，ACP=60+BCP，BCE=ACP.ABC，ECP为等边三角形，CE=PC，BC=AC.BECAPC.PA=BE=PB+PC.(2)如答图2所示，过点B作BEPB交PA于点E.1+2=2+3=90，1=3.APB=45,BP=BE，PE=PB.AB=BC，ABECBP.PC=AE.PA=AE+PE=PC+PB.(3)PA=PC+PB.证明：如答图3所示，过点B作BMAP于点M，在AP上截取AQ=PC，连结BQ.BAP=BCP，AB=BC，ABQCBP.BQ=BP.MP=QM.APB=30，PM=PB.PQ=PB.PA=AQ+PQ=PC+PB.
