1、 3.5 导数与不等式问题一、学习目标：1. 利用导数判断与证明函数不等式；2. 利用导数处理不等式的恒成立的问题.二、典例分析例1.（1）当，证明：. （2）当时，证明：【答案】作差构造函数，转化为函数最值问题，过程略.变式：1. 求证：； 2. 求证：【答案】作差构造函数，转化为函数最值问题，过程略.例2.设，证明：【答案】不妨设，令，原不等号等价于.例3已知函数证明：当时，【答案】当a时，f（x）设g（x）=，则 当0x1时，g（x）1时，g（x）0故g（x）g（1）=0因此，当时，变式：1.已知函数，当m2时，证明：f(x)0.【答案】当m2，x(m，+)时，ln(x+m)ln(x+2
2、)，故只需证明当m=2时， f(x)0当m=2时，函数在(2，+)上递增又f (1)0，故f (x)=0在(2，+)上有唯一实根，且当时， f (x)0，从而当时，f(x)取得最小值由得，故综上，当m2时， f(x)0例4设函数，若当时恒成立，求的取值范围【答案】，由于，故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由得，从而当a时，故当x(0，ln2a)时， f(x)0，而f(0)0，于是当x(0，ln2a)时，f(x)0，综上可得a的取值范围为(，变式：1.已知函数，其中a0.（1）讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)0，求
3、a的取值范围.【答案】（1）函数f(x)的定义域为(，)，且，若a0，则在(，)上递增.若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上递减，在上递增.（2）当a0时，恒成立.若a0时，故，记，则令，则当0x2时，因此在（0,2）内是减函数，又由，得，所以，因此在（0,2）内是减函数，又由，得，当0x2时，.9设函数（1）证明：当时，；（2）设当时，求实数的取值范围【答案】（1）证明：时，于是有，即.令，令，得于是在上递减，在上递增，所以当时，故当时，即，从而（2）由时，恒成立，故.设，则设，则.当，即时，时，故.所以递增，故递增，恒成立，符合题意.当，即时，存在，时，递减
4、，与恒成立矛盾. 综上，实数的取值范围是10已知函数.当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.【答案】 由得，其中，.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；.当时，分离参数a得，记，令，则，故递增，故函数递增，由可得恒成立，故在时递增；在时递减；因此，综上，实数a的取值范围是.11已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，证明：对任意 .【答案】(1)f(x) (1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.又ex0，所以x (0,1)时，f(x)0； x(1，)时，f(x)0.因此f(x)的递增区间为(0
5、,1)，递减区间为(1，) (2)因为g(x)xf(x)，所以g(x) (1xxln x)，x(0，)，由(2)得，h(x)1xxln x，h(x)ln x2(ln xln e2)所以当x(0，e2)时，h(x)0，函数h(x)递增；当x(e2，)时，h(x)0，函数h(x)递减所以当x(0，)时，h(x)h(e2)1e2.又当x(0，)时，01，所以当x(0，)时， h(x)1e2，即g(x)1e2.12设函数，g（x）=，其中aR.（1）证明：当x1时，g（x）0；（2）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在区间（1，+）内恒成立.【答案】（1）令=，则=.由于，从而=0.（2）当时，0. 当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（）有,而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令=（）.当时，=.因此，在区间递增，且=0，所以当时，=0，即恒成立.综上，.13. 已知，且（1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且【答案】（1）； （2）隐零点、设而不求处理，过程略.
