1、 3.3.2 抛物线的简单几何性质 基 础 练 巩固新知 夯实基础1.设AB为过抛物线y22px (p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. B.p C.2p D.无法确定2.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|()A.6 B.8 C.9 D.103.（多选）抛物线y28x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|5，则点P的坐标为()A.(3，2)B.(3，2)C. (3，2) D.(3，2)4.过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D25.直线yx1被抛物线y24
2、x截得的线段的中点坐标是_6.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则面积的最小值为_.7.已知抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程8.已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点且倾斜角为60的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.能 力 练 综合应用 核心素养9.(多选)经过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确
3、的是()A当AB与x轴垂直时，|AB|最小 BC以弦AB为直径的圆与直线x相离 Dy1y2p210.抛物线y22px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，8)，那么|AF|BF|()A14 B12 C25 D3811.(多选)已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，O为坐标原点，且，若直线l恒过点，则下列说法正确的是（）A抛物线方程为BC的面积的最小值为32D弦中点的轨迹为一条抛物线12.抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.13.抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_14.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x
4、轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为_.15.已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是_.16.已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设斜率为1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k20.【参考答案】1.C 解析：当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.2.B 解析：因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|x1x2p628.3. AB 解析：设点P的坐标为(x，
5、y)，|PF|5，x(2)5，x3.把x3代入方程y28x得y224，y2.点P的坐标为(3，2).故选AB.4.B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.5.(3,2)解析： 将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3,2)6.1 解析：由，故可设，代入，得，设，不妨令，当且仅当时取等号，此时轴.故面积的最小值为1.7. 解：(1)由抛物线C：y22px(p0)过点A(2，4)，可得164p，解得p4.所以抛物线C的方程为y28x
6、，其准线方程为x2.(2)当直线l的斜率不存在时，x0符合题意当直线l的斜率为0时，y2符合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为ykx2.由得ky28y160.由6464k0，得k1，故直线l的方程为yx2，即xy20.综上直线l的方程为x0或y2或xy20.8.解：（1）由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，所以，则，所以动点M的轨迹方程是（2）由已知可得直线的方程是即，设，由得，所以，则，故.9.ABD解析：过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，A正确；，B正确；y1y2p2，D正确；以AB为直径的圆与准线x相切，C错误
7、，故选ABD.10.C 解析： 将点A(2,4)的坐标代入y22px，得p4，抛物线方程为y28x, 焦点F(2,0)，已知，B(8，8) ，.11.ABD 解析：设直线，联立得，所以，因为，则，利用代入，解得，所以抛物线方程为，且，故A，B正确；（当且仅当时取等号），故C错误；设的中点为M，则，所以即，所以M点的轨迹为一条抛物线，故D正确，综上ABD正确故选：ABD.12.6 解析：因为抛物线x22py的准线y和双曲线1相交交点横坐标为x，由等边三角形得2p，解得p6.13. 解析： 设与直线xy40平行且与抛物线y24x相切的直线方程为xym0.由得x2(2m4)xm20，则(2m4)24
8、m20，解得m1，即直线方程为xy10，直线xy40与直线xy10的距离为d.即抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为.15. 解析：抛物线的准线为，点，设点，因，则点是线段的中点，即，又点在抛物线上，因此，解得，即点，所以直线的斜率.16.解：(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x1，设其方程为y22px(p0)，则1，解得p2，所以动点P的轨迹C的方程是y24x(x0)(2)证明：设直线AB：yxb(b3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得yb，即y24y4b0，1616b0，所以b1，y1y24，因为x1，x2，所以k1k20.因此k1k20.
