1、莱芜一中1920学年度下学期高二第一次质量检测数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共150分，答题时间120分钟注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的级部、班级、姓名、准考证号、写在答题纸密封线外，并将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案3考试结束后将答题卡交回第I卷（选择题共60分）一、单项选择题本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题得即
2、得的虚部.【详解】由题得，所以的虚部为.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案.【详解】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：A中，所以不正确；B中，所以不正确；C中，所以是正确的；D中，所以不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则是解答的关键，意在考查运算与求解能力.3.已知随机变量，若，则（ ）A. 0.32B.
3、0.68C. 0.18D. 0.34【答案】C【解析】【分析】由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，结合对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量，可得，即正态分布曲线关于对称，根据正态分布曲线的对称性，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布的性质，以及合理应用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的图像判断单调性，从而得到导函数的政府情况，最后可得答案.【详解】解：原函数的单调性是：当时，单调递增，当时，
4、单调性变化依次为增、减、增，故当时，当时，的符号变化依次为“、”.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.5.2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算（A）、的值，从而求得的值【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则（A），
5、 ，故选B【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.6.在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为则令可得，所以设直线与平面所成角为，故选：B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.7.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050
6、总计6050110 由附表：0050001000013841663510828参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A8.定义在上的函数为奇函数，且当时，（其中是的导函数，若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，可知函数为偶函数且在上单调递增，可转
7、化为的三个数的函数值，比较三个数的大小，利用函数的单调性即可得出，的大小关系.【详解】，则，当，单调递减又因为为R上奇函数，所以为偶函数，当，单调递增.其中， 所以故选：A【点睛】本题考查了不等关系与不等式、函数的奇偶性以及函数的单调性等基本知识，考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的9.下列命题正确的是（ ）A. 回归直线一定过样本点中的某个点B. 残差的平方和越小，回归方程的拟合效果越好C. 若，且，则D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BD【解析】【分析】根据回归直线的性质及回归分析判断AB，根据复数的
8、运算及复数的几何意义判断CD；【详解】解：对于，回归直线一定过样本中心但不一定过，故A错误；对于，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B正确；对于C，且，显然当，时，故C错误；对于D，复数在复平面内对应的点为，因为，所以，故点位于第四象限，即D正确；故选：BD【点睛】本题考查回归分析及复数的运算与复数的几何意义，属于基础题.10.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B. 若对空间中任意一点，有，则，四点共面C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D. 若，则是钝角【答案】ABC【解析】【分
9、析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B中，若对空间中任意一点，有，根据空间向量的基本定理，可得四点一定共面，所以是正确的；对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量，也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D中，若，又由，所以，所以不正确故选：ABC.【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，
10、以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）A. 若、两人站在一起有24种方法B. 若、不相邻共有72种方法C. 若在左边有60种排法D. 若不站在最左边，不站最右边，有78种方法【答案】BCD【解析】【分析】对于A利用捆绑法求解；对于B利用插空法求解；对于C利用倍分法求解；对于D利用特殊元素优先法求解【详解】解：对于A，先将A,B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A不正确；对于B，先将A,B之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B两元素插空，所以共有种，所以B正确；对于C，5
11、人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以以C正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，所以D正确，故选：BCD【点睛】此题考查排列、组合的应用，利用了捆绑法、插空法、倍分法，特殊元素优先法等，属于中档题.12.已知函数，则以下结论正确的是（ ）A. 是的极大值点B. 方程有实数解C. 函数有且只有一个零点D. 存在实数，使得方程有4个实数解【答案】BCD【解析】【分
12、析】函数求导,利用单调性，得到函数图象，由图象可得答案.【详解】，令解得 所以在 单减，在单增，且作出函数图象，则在 取得极小值，无极大值，故A错误;因为极小值，方程有实数解，故B正确；因为时，因为时，只有，故C正确；由图象可得正确.(也可由，得或，令，求导，则 ，故在上单减，在和上单增，由图知存在实数，使得有三个实根，故存在实数，使得方程有4个实数解) 故选：BCD【点睛】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.第卷二、填空题把答案写在答题纸上13.甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0
13、.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为_ 【答案】0.58【解析】由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的，因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，所以两人都击中目标的概率为：0.60.7=0.42，所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：10.42=0.58.故答案为0.58.14.设离散型随机变量的概率分布如下，012若随机变量满足，则_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由分布列的性质，列出方程求得，进而得到，再结合，进而求得，得到答案.【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得，所以，又因为， 所以，.故答案为：;.【点睛】本题主要考查了离散型随机
14、变量的分布列的性质，以及数学期望与方差的计算，其中解答中熟记分布列的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.疫情期间，某医院科室要从6名男医生、5名女医生中选派三人去支援武汉，要求至少有男女医生各一名，则不同的选法有_种【答案】135【解析】【分析】根据题意分两类进行分析：1男2女和2男1女，然后由分类计数原可得.【详解】解：根据题意分两类进行分析：（1）1男2女，有种选法；（2）2男1女，有种选法，则不同的选取方法有种，故答案为：135【点睛】此题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题.16.已知函数f(x)=-2lnx(aR)，g(x)=，若至少存在一个，使得f
15、(x0)g(x0)成立，则实数a的范围为_.【答案】【解析】【详解】由题意得不等式 在1，e上有解,即 令.故答案为：【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.三解答题要求写出主要的证明、解答过程17.（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，求（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中的有理项【答案】（1）7；（2）.【解析】【分
16、析】（1）根据二项式的通项公式，结合组合数的性质进行求解即可；（2）根据二项式展开式奇数项的二项式系数之和公式，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】（1）二项式的通项公式为：，因为第3项与第6项系数相等，所以；（2）因为的展开式奇数项的二项式系数之和为128，所以有，即，解得，而二项式的通项公式为： ，当是6的倍数时，即时，二项式展开式中第一项和第7项时，是有理项，分别为：，所以展开式中的有理项为：.【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用，考查了二项式展开式的有理项问题，考查了二项式展开式二项式系数和的性质，考查了数学运算能力.18.已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为3，且时有极值
17、，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）a=2,b=-4（2）最大值13，最小值-11【解析】【详解】【分析】试题分析：(1)由题意求解关于实数a,b的方程组可得函数的解析式为；(2)由题意对函数求导，结合导函数研究原函数的单调性 ，据此可得函数在上的最大值是13，最小值是-11.试题解析：(1) 由f(1)=3, f()=0 得a=2,b=-4 ，经检验，符合题意，所以函数的解析式为.(2)由f(x)=x3+2x2-4x+5 得f(x)=(x+2)(3x-2) ，f(x)=0得 x1=-2 ,x2=变化情况如表：x-4(-4,-2)-2(-2,)(
18、,1)1f(x)+0-0+f(x)递增极大值递减极小值递增函数值-11134所以f(x)在-4，1上的最大值13，最小值-11点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，平面平面，且（1）求证：平面；（2）求二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理，可以建立以，的方向为轴，轴，轴的正向空间直角坐标系. （1）根据线面平行的判定定
19、理，结合空间向量的数量积运算进行证明即可；（2）根据空间向量夹角公式，结合二面角的性质进行求解即可.详解】平面平面，平面平面，平面，直线平面由题意，以点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：，（1）因为四边形是正方形，所以，又因为，所以，而平面，所以平面，因此是平面的一个法向量，又，即，又直线平面，平面；（2）设为平面的法向量，则，即不妨设，可得设为平面法向量，又，则，即不妨设，可得，又二面角为钝二面角，二面角的大小为【点睛】本题考查了用空间向量证明线面平行、面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解二面角大小问题，考查了
20、推理论证能力和数学运算能力.20.2018年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过800元（含800元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了800元，且均选择抽奖方案一，试求两
21、位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】【分析】（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择【详解】解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为.（2）若选择方案一，设付款
22、金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000.，故的分布列为，06007001000所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以 （元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.【点睛】本题考查了古典概率计算，并运用期望来选择合理方案，解题关键是能够熟练运用公式进行求解，并能计算正确，本题较为基础.21.2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺，简称“新冠肺炎”右图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图为了预测在未采取强力
23、措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数与时间变量的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量1的值依次1，2，10）建立模型和（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及附表中数据，建立关于的回归方程；（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：时间1月25日1月26日l月27日1月28日l月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据
24、的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，参考数据：其中， 5.539019385764031525154700100150225338507【答案】（1）适宜；（2）；（3）回归方程可靠.【解析】【分析】（1）直接由散点图得结论；（2）设，则，求出与的值，则可得回归方程；（3）在（2）中求得的回归方程中，分别取求得，再比较误差与0.1的大小得结论.详解】（1）根据散点图可知：适宜作为累计确诊人数与时间变量的回归方程类型；（2）设，则，；（3）时，当时，当时，所以（2）的回归方程可靠.【点睛】此题考查回归
25、方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）【解析】【分析】（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）可知且，后者可得实数的取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.【详解】（1）解：因为，当时，总有，所以在上单调递减.当时，令，解得.故时，所以在上单调递增.同理时，有，所以在上单调递减.（2）由（1）知当时，单调递减，所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，由（1）知当时，所以当时，解得，从而.又时，有，因为，令，则，所以在为增函数，故，所以，根据零点存在定理可知：在内有一个零点，在内有一个零点，故当函数有个零点时，的取值范围为.【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.
