1、第十章 概率 10.2 事件的相互独立性 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立 性的含义.2.结合古典概型，利用独立性计算概率，并能 解决一些简单问题.学习目标 重点：相互独立事件的概念及概率的计算.难点：独立性的应用.知识梳理 二.相互独立事件的应用 1.事件A与事件B相互独立，就是事件A是否发生不影响事件B发生的概率；事件B是否发生也不影响事件A发生的概率.2.相互独立的定义，既可用来判断两个事件是否独立，也可在相互独立时求积事件的概率.3.求两个相互独立事件同时发生的概率公式P（AB）P（A）P（B）公式变形：P（A）()()P ABP B.三 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独
2、立事件互斥事件条件事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响符号相互独立事件A，B同时发生，记作AB互斥事件A，B中有一个发生，记作AB（或A+B）计算公式P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）+P（B）题型一 相互独立事件的判断 常考题型 例1.判断下列各对事件是否是相互独立事件.（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；（3）掷一颗
3、骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”【解题提示】（1）利用独立性概念的直观解释进行判断.（2）计算概率判断两事件是否相互独立.（3）利用事件的独立性定义判断.【解】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率是，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.（3）记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则
4、A2，4，6，B3，6，AB6，所以P（A）36 12，P（B）26 13，P（AB）16.所以P（AB）P（A）P（B），所以事件A与B相互独立.反思与感悟：判断事件是否相互独立的方法1.定义法：事件A，B相互独立P（AB）P（A）P（B）.2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响.注意：事件的独立性与互斥性的关系：独立事件是指相互没有影响的事件，而互斥事件是指不能同时发生的事件.变式训练1同时掷两颗质地均匀的骰子，令A第一颗骰子出现奇数点，令B第二颗骰子出现偶数点，判断事件A与B是否相互独立.解：A第一颗骰子出现1，3，5点，B第二颗骰子出现2，4，6点.P（A）12，
5、P（B）12，P（AB）3 33614，P（AB）P（A）P（B），事件A，B相互独立.题型二 相互独立事件的概率计算 例2.2019四川省雅安中学高二检测打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是（）A.1425 B.1225 C.34 D.35【解题提示】判断两个事件是否独立，根据独立事件同时发生的概率公式进行计算.【解析】设甲中靶为事件A，则P（A）810 45，设乙中靶为事件B，则P（B）710.甲、乙两人同时射击，他们相互没有影响，所以A，B为相互独立事件，则他们同时中靶为事件AB.则P（AB）P（A）P（B）45 710 1425
6、.【答案】A 反思感悟：求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求每个事件发生的概率，再求其积.【变式训练2】端午节放假，甲回老家过节的概率为 13，乙、丙回老家过节的概率分别为 14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.12 C.35 D.160题型三事件的独立性与互斥性的关系【例3】2019河北大名一中高二检测已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是 12，事件B发生的概率是 23，事件C发生的概率是 34，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生
7、两个；（2）事件A，B，C至多发生两个.【解】（1）记“事件A，B，C只发生两个”为事件A1，则事件A1包括ABC，A B C，A BC三种彼此互斥的情况.为互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P（A1）P（AB）+P（A B C）+P（A BC）112+18+14 1124，所以事件A，B，C只发生两个的概率为1124.（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为事件A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为事件A3，事件A，B，C只发生一个，记为事件A4，事件A，B，C只发生两个，记为事件A5，P（A3）P（A B C）P（A）P（B）P（C）11221
8、3314124，P（A4）P（A B C+A BC+A B C）12 213314+11223 314+11221334 624，P（A5）P（A1）1124，故P（A2）P（A3）+P（A4）+P（A5）124+624+1124 34.事件A，B，C至多发生两个的概率为 34.反思感悟：两个事件互斥与独立的概率计算 事件概率A，B互斥A，B相互独立A，B中至少有一个发生P（AB）P（A）+P（B）1-P（）P（）A，B都发生P（AB）0P（A）P（B）A，B都不发生P（）1-P（A）+P（B）P（）P（）A，B恰有一个发生P（AB）P（A）+P（B）P（A）P（）+P（）P（B）A，B中至多
9、有一个发生P（AB）11-P（A）P（B）ABABABBABAABBA解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，预报不准确记为A，B，C，则P（A）0.8，P（B）0.7，P（C）0.9，P（A）0.2，P（B）0.3，P（C）0.1，同一时刻至少有两颗预报准确的事件有AB C，A B C，ABC，ABC，这四个事件两两互斥且相互独立.同一时刻至少有两颗预报准确的概率为P（ABC）+P（A B C）+P（ABC）+P（ABC）0.80.70.1+0.80.30.9+0.20.70.9+0.80.70.90.056+0.216+0.126+0.5040.902.【变式训练3】2019福建师范大学附属中学高二检测甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是 .1相互独立事件的定义是用概率公式证明，实际问题中，根据实际问题的背景确定两个事件是相互独立的也是常用的方法。2两个相互独立事件同时发生的概率，满足概率的乘法公式，求解时只需先求出这两个事件的概率，再求出同时发生的概率。3两个事件相互独立与互斥 是两个不同的概念，要注意区别开来，互斥事件至少一个发生的概率用加法，相互独立事件同时发生的概率用乘法。小结
