1、建文外国语学校高二年级数学学科导学案 主备： 审核： 授课人： 授课时间： 学案编号： 班级： 姓名： 小组：课题：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课型:新授课 教师“复备”栏或学生质疑、总结栏【学习目标】1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；【重难点预测】1.重点：空间向量基本定理及其推论2.难点：空间向量基本定理唯一性理解【学法指导】自主学习,合作探究【学习过程】自主学习案一、课前准备（预习教材P92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来
2、表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，则称有序对为向量的 ，即 .二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知： 空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量
3、.反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .设A，B，则 .向量的直角坐标运算：设a，b，则ab；ab；a；ab.试试：1. 设，则向量的坐标为 .2. 若A，B，则 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，ab知识点一 向量基底的判断例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另
4、一个基底？变式1：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？变式1：以下四个命题中正确的是( )A空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B若a，b，c为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量CABC为直角三角形的充要条件是0D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.知识点二 用基底表示向量例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和. 变式：已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，试用向量表示下列向量: . 知识点
5、三 求空间向量的坐标例3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN2NC，AM2MB，PAAB1，求 的坐标 变式：在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB= ，|AO| = 4，|BO|= 2，|AA1| = 4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标.练1. 已知，求：； .练2. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是 ， ， .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴
6、的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 课后练习案1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A. B. C. D. 2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是 3. 在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示 4. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .5. 已知关于x的方程有两个实根，且，当t 时，的模取得最大值.6. 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，xyz，则xyz_.7. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式中：；)8. 已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.9. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.10. 正方体ABCDA1B1C1D1中，点是上底面的中心，求下列各式的值 （1） （2）
