1、成都市诊断性考试2007-2010年数学试题集【2007年成都一诊】11若函数f（x）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为A（1，）B（1，8）C（4，8）D4，8）12已知抛物线yax2bxc（a0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c3，2，1，0，1，2，3，在这些抛物线中，记随机变量“|ab|的取值”，则的数学期望E为ABCD16定义在（1，1）上的函数f（x）5xsinx,如果f（1a）f（1a2）0,则实数a的取值范围为：_21已知向量pq,其中p（xc1,1）,q（ax21,y）（a,c,x,yR且a0,x1c）,把其中x,y所满足的关系式记为yf（x）若函数f（x）为奇函
2、数，且当x0时，f（x）有最小值2（1）求函数f（x）的表达式；（2）设数列an,bn满足如下关系：an1，且b1,求数列bn的通项公式，并求数列（3n1）logbn（nN*）前n项的和Sn22已知函数f（x）xlnx（1）求函数f（x）的单调区间和最小值；（2）当b0时，求证：bb（）（其中e2718 28是自然对数的底数）；（3）若a0,b0,证明：f（a）（ab）ln2f（ab）f（b）【2008年成都一诊】12对任意的实数a、b ，记若，其中奇函数y=f(x)在x=l时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数与函数y=g(x)的图象如图所示则下列关于函数的说法中，正确的是A为奇函数
3、 B有极大值F（-1）且有极小值F（0）C的最小值为-2且最大值为2D在（-3，0）上为增函数16有下列命题：函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；函数的图象关于点对称；关于的方程有且仅有一个实数根，则实数；已知命题：对任意的，都有，则：存在，使得。其中所有真命题的序号是 。21已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（）是否存在实数m,使得函数的图像与函数的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。22已知递增数列满足：， ，且、成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足：， 。用数学
4、归纳法证明：；记，证明：。【2009年成都一诊】11.已知点O为ABC内一点,且23,则AOB、AOC、BOC的面积之比等于A、941B、149C、321D、123yx10212yx10212yx102yx10212.已知a0,且a1,若w w w.k s 5 uc o m函数f(x)loga(x)在(,)上是奇函数,又是增函数,则函数g(x)loga|xk|的图象是A、B、C、D、16x|xA且xB,记“从集合A中任取一个元素x,xAB”为事件E,“从集合A中任取一个元素x,xAB”为事件F；P(E)为事件E发生的概率,P(F)为事件F发生的概率,当a、bZ,且a1,b1时,设集合AxZ|a
5、x0,集合BxZ|bxb.给出以下判断：当a4,b2时P(E),P(F)；总有P(E)P(F)1成立；若P(E)1,则a2,b1；P(F)不可能等于1.其中所有正确判断的序号为_.21（本小题满分12分）已知数列an满足a11,a23,且an2(12|cos|)an|sin|,nN*.(1)证明：数列a2n(kN*为等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设bka2k(1)k12(为非零整数),试确定的值,使得对任意kN*都有bk1bk成立.22（本小题满分14分）已知函数f(x)xln(xa)在x1处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)2xx2b在,2上恰有两个不相
6、等的实数根,求实数b的取值范围；(3)证明：(nN,n2).参考数据：ln20.6931.【2008年成都二诊】10、已知函数f(x)cos(x)，R，若1，则函数f(x)的解析式为( )A、f(x)sinxB、f(x)cosxC、f(x)sinxD、f(x)cosx12、已知全集U，集合A、B为U的两个非空子集，若“xA”y与“xB”是一对互斥事件，则称A与B为一组U(A，B)，规定：U(A，B)U(B，A)。当集合U1，2，3，4，5时，所有的U(A，B)的组数是( )A、70B、30C、180D、15016、设定义域为x1，x2的函数yf(x)的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O
7、为坐标原点，点M是C上任意一点，向量(x1，y1)，(x2，y2)，(x，y)，满足xx1(1)x2(01)，又有向量(1)，现定义“函数yf(x)在x1，x2上可在标准k下线性近似”是指|k恒成立，其中k0，k为常数。根据上面的表述，给出下列结论：A、B、N三点共线；直线MN的方向向量可以为(0，1)；“函数y5x2在0，1上可在标准1下线性近似”；“函数y5x2在0，1上可在标准下线性近似”.其中所有正确结论的番号为_.20、已知数列an和等比数列bn满足a1b14，a2b22，a31，且数列an1an是等差数列，nN*.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)是否存在kN*，使得akbk
8、(，3？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.22、定义在(0，)的函数f(x)，其中e2.71828是自然对数的底数，aR.(1)若函数f(x)在点x1处连续，求a的值；(2)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a 的取值范围，并判断此时函数f(x)在(0，)上是否为单调函数；(3)当x(0，1)时，记g(x)lnf(x)x2ax，试证明：对nN*，当n2时，有n.【2009年成都二诊】（9）为支援地震灾区的灾后重建工作，四川某公司决定分四天每天各运送一批物资到五个受灾点，由于地距离该公司较近，安排在第一天或最后一天送达；两地相邻，安排在同一天上、下午分别送达（在上午、在下午与
9、在下午、在上午为不同运送顺序），且运往这两地的物资算作一批；两地可随意安排在其余两天送达。则安排这四天送达五个受灾地点的不同运送顺序种数共有 A72种 B18种 C36种 D24种（10）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，若函数为奇函数，则符合条件的一个向量可以是 A B C D（16）已知空间向量为坐标原点，给出以下结论：以为邻边的平行四边形中，当且仅当时，取得最小值；当时，到和点等距离的动点的轨迹方程为，其轨迹是一条直线；若则三棱锥体积的最大值为；若=（0，0，1），则三棱锥各个面都为直角三角形的概率为。其中，所有正确结论的番号应是_。（20）已知函数（I）当时，若函数为上的连续函数
10、，求的单调区间；（）当时，若对任意不等式恒成立，求实数的取值范围。（22）已知数列中，且当时，（I）求数列的通项公式；（）记（1）求极限；（2）对一切正整数，若不等式恒成立，求的最小值。【2010年成都二诊】12已知定义在上的函数，对任意的且时，都有记，则在数列中，ABCD15已知定义在R上的减函数的图像经过点、，若函数的反函数为（），则不等式的解集为 。20已知数列的前项和为，且满足（I） 求数列的通项公式；（II） 设T为数列的前项和，求的值。22 已知函数，函数在区间上为增函数。（I） 求实数的取值范围；（II） 设、分别是、的导函数，若方程在区间上有唯一解，令函数，其中且。求函数在区间
11、上的最小值；求证：对任意的正实数，都有【2008年成都三诊】10、设随机变量服从正态分布N(，2)(0)，若P(1)P(0)1，则的值为( )A、B、C、1D、111、设计一个计算机自动运算程序:112，(m1)nmn1，m(n1)mn2(m、nN*)，则20042008的输出结果为( )A、2008B、2017C、2013D、2008220、已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数f (x)，且f(x)在点x1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(m，m2)上是增函数，求实数m所有取值的集合；(3)当x1、x2R时，求f (x1)f (x2)的最大值.22、已知
12、各项均为正数的数列an满足：，nN*.(1)求a1、a2、a3，猜测an的表达式并证明；(2)求证：sin;(3)设数列sin的前n项和为Sn，求证：Sn.【2009年成都三诊】8从0、1、4、5、8这5个数字中任选四个数字组成没有重复数字的四位数，在这些四位数中，不大于5104的四位数的总个数是（ ）A56B55C54D5211设D是由所确定的平面区域，记“平面区域D被夹在直线之间的部分的面积”为S，则函数的大致图象为（ ）16用符号表示超过的最小整数，如，有下列命题：若函数，则值域为；如果数列是等差数列，那么数列也是等差数列；若，则方程有5组解，已知向量不可能为直角。其中，所有正确命题的番
13、号应是 。21 已知函数处的切线恰好为轴。 （I）求的值； （II）若区间恒为函数的一个单调区间，求实数的最小值； （III）记（其中），的导函数，则函数是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由。22 已知数列为方向向量的直线上， （I）求数列的通项公式； （II）求证：（其中e为自然对数的底数）； （III）记求证： 成都市诊断性考试2007-2010年数学试题集参考答案与解析【2007年成都一诊】11D由f （x）在R上是单调递增函数和a1，40，a142同时成立，解不等组得a，选D12A对称轴在y轴的左侧（a与b同号）的抛物线有2C12C13
14、C17126，可取的值有0、1、2，P （0），P（1），P（2），E，选A16f （x）f （x），x（1,1），f （x）为奇函数；又f （x）5cosx0f （1a）f （a21）解得21解：（1）由pq，得y（xc1）ax21，yf（x）（2分）又函数f（x）为奇函数，有f（x）f（x）,可得c1当x0时，f（x） 2a2故f（x） （3分）（2）,（3分）b1bn（1分）数列（3n1）log的通项为（3n1）log（3n1）2n1Sn220521822（3 n 4）2n2（3n1）2n12Sn 221522823（3n4）2n1（3n1）2n，得Sn23（21222n1）（3n1）2
15、nSn4（3n4）2n （nN*）（3分）22解：（1）f（x）lnx1（x0）,（1分）令f（x）0，即lnx1 lne1e2718 281,ylnx在（0）上是单调递增函数xe1x，同理，令f（x）0可得xf（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（2分）由此可知yf（x）minf（1分）（2）由（1）可知当b0时，有f（b）f（x）min，blnd，即ln（bb）ln（）bb（）（3分）（3）将f（a）（ab）ln2f（ab）f（b）变形，得f（a）f（b）f（ab）（ab）ln2,即证f（a）f（aba）f（ab）（ab）ln2设函数g（x）f（x）f（kx）（k0）（3分）f（x）xl
16、nx, g（x）xlnx（kx）ln（kx）,g（x）lnx1ln（kx）1ln,令g（x）0,则有函数g（x）在上单调递增，在上单调递减g（x）的最小值为g（）即总有g（x）g（）而g（）f（）f（k）klnk（lnkln2）f（k）kln2,g（x） f（k）kln2,即f（x）f （kx）f（k）kln2令 xa,kxb,则kabf（a）f（b）f（ab）（ab）ln2f（a）（ab）ln2f（ab）f（b）（4分）【2008年成都一诊】12B在图形中勾画出的图像，易知选B16 函数，相邻两个对称中心的距离为，错误；函数的图像的对称中心应为，错误；正确；正确。21解：（I），由，在上单调
17、递增。 由，在上单调递减。的单调递减区间为，单调递增区间为。4分（II），恒成立当时，取得最大值。，.4分（III）若的图象与的图象恰有四个不同得交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令，则当x变化时，、的变化情况如下表：x的符号+-+-的单调性由表格知：，画出草图和验证可知，当时，与恰有四个不同的交点。当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。4分22解：（I），数列为等差数列，设公差为 。、成等比数列， .4分（II）即证 用数学归纳法证明如下：（1）当时，原不等式成立；（2）假设时原不等式成立，即 那么当时，当时原不等式也成立由（1）（2）可知 .4分证明：由，而， ， 。6分【20
18、09年成都一诊】11.A 12.C 16、21、(1)略(2) (3)122、(1)a0(2)ln2b2(3)略【2008年成都二诊】10.A 12.C 16、20.(1)易知bn4()n1()n3(或23n)2分a2a12，a3a21an1an2(n1)n3anan1(n1)3 an1an2(n2)3 a2a213叠加，得ana1n(n1)3(n1)an(n27n14)3分(2)设cnanbn(n27n14)()n3显然，当n1，2，3时，cn0由cn1cn(n22n17n714)(n27n14)()n2()n3 n3()n24分当n3时，c4c3，c4a4b4当n4时，c5c41，c5a5
19、b5当n5时，c6c52()3，c6a6b63当n6时，cn1cnn3()n23此时cn1an1bn13cn3存在k5，使得akbk(，33分22.(1)f(1)1，f(x)ea11a13分(2)x(0，1)时，f(x)xef(x)exe(2xa)(2x2ax1)ee0，(2x2ax1)10f(x)不可能在(0，1)上恒小于0故f(x)在(0，1)上必为单调递增函数2x2ax10在(0，1)恒成立 a2x在(0，1)恒成立设u(x)2x，x(0，1)显然u(x)在(0，1)上是单调递增的，u(x)1当a1时，f(x)在(0，1)上是增函数3分又当a1时，f(x)在(0，)也是单调递增的当a1时
20、，f(x)ea11f(1)此时，f(x)在(0，)不一定是增函数2分(3)当x(0，1)时，g(x)lnf(x)x2axlnx当n2时，欲证：n.即证123(n1)nln1n即需证n123(n1)nln1lnlnln1n猜想1lntt1(其中0t1)2分构造函数h(t)lnt1(0t1)h(t)0h(t)在(0，1)上时单调递减的，而h(t)1h(t)0，即有lnt1设s(t)lntt1(0t1)同理可证s(t)01lntt1(0t1)成立2分分别取t，(n2)所得n1个不等式相加即得：n123(n1)nln1lnlnln1nn.2分【2009年成都二诊】（9）D； （10）B；（16）（20
21、）解：（I）当时，函数 为上的连续函数，令当时，函数在上单调递减，在（0，2）上单调递增。又当时，恒成立，当时，函数在上单调递减。综上可知，函数的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（。（）对任意恒成立此时即。当时，函数在上单调递减，在上单调递增。而当时，函数的最大值为。结合（I）中函数的单调性可知：当时，即实数的取值范围为（22）解：（I）由叠加，得故所求的通项公式为（） 恒成立下面证明（i）当时，不等式成立；当时，左边右边左边右边，不等式成立。（ii）假设当时，成立。则当时，又当时，不等式也成立。综上（i）、(ii)可知，（ 成立。对一切正整数，不等式恒成立恒成立故只需而的最小值为2。
22、【2010年成都二诊】12.C 15. 【2008年成都三诊】10.A 11.C20、(1)f(x)是奇函数，易得b02又f (x)且f(x)在x1处取得极值f (1)0 a1，故f(x)4(2)f (x)由f (x).0 1x1若f(x)在区间(m，m2)上是增函数，则有m1即m的取值集合为1.8(3)f (x)4令t，则f (x)g(t)4(2t2t)8(t)2，t(0，1f (x)，4f (x1)f (x2)4()f (x1)f (x2)的最大值为.1222、(1)a12，a23，a34猜测：ann12(数学归纳法证明)略.4(2)设f(x)sinxx(0x)由f (x)cosx0得xa
23、rccos由ycosx的单调性，知f(x)在(0，内有且只有一个极大值点，且f(0)f()0因此在(0，内，f(x)0，即sinxx令x， (0，sin又当n1时，sinsin8(3)anan16， (0，)由(2)可知，sinSnsinsinsin 2() 2()即对一切nN*，Sn11同理可证sinxx(0x)Snsinsinsin () ()即对一切nN*，SnSn.14【2009年成都三诊】8.B 11.B 1621解：（I） 3分 （） 1分上单调递增；又当上单调递减。 1分只能为的单调递减区间，的最小值为0。 （III）于是函数是否存在极值点转化为对方程内根的讨论。而 1分当此时有且只有一个实根存在极小值点 1分当当单调递减；当单调递增。 1分当此时有两个不等实根单调递增，单调递减，当单调递增，存在极小值点 1分综上所述，对时，存在极小值点当当存在极小值点存在极大值点 1分 （注：本小题可用二次方程根的分布求解。）22（I）解：由题意， 1分 1为首项，为公比的等比数列。 1分 1分 （）证明：构造辅助函数单调递增，令则 4分 （III）证明：时，（当且仅当n=1时取等号）。 3分另一方面，当时，（当且仅当时取等号）。（当且仅当时取等号）。综上所述，有 3分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
