1、3.1.2 椭圆的几何性质一、椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围，对称性关于轴、原点对称轴长长轴长：；短轴长：长轴长：；短轴长：顶点离心率离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆通径通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长通径的大小：二、点与椭圆的位置关系焦点在x轴上焦点在y轴上点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外三、直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解=0相离无解1，因此点P在椭圆外故选:D.【变式5-2】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解
2、析】，所以故选：B.【变式5-3】已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_.【答案】【解析】因为点P(k，1)在椭圆=1外，所以1，解得k，故实数k取值范围为.故答案为：题型六 直线与椭圆的位置关系判断【例6】设直线，椭圆（1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是_（2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是_（3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是_【答案】；或【解析】由消去并化简得，.（1）当，即时，直线与椭圆有一个公共点.（2）当，即时，直线与椭圆有两个公共点.（3）当，即或时，直线与椭圆没有公共点.故答案为：；或【变式6-1】直线：与椭圆的位置关系是
3、_.【答案】相交【解析】由已知直线过定点，在椭圆内部（为椭圆的右焦点，椭圆中），所以直线与椭圆相交故答案为：相交【变式6-2】若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（ ）A0 B1 C2 D需根据a，b的取值来确定【答案】C【解析】因为直线和圆没有公共点，所以原点到直线的距离，即，所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部，所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：C.【变式6-3】不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是_.【答案】【解析】方法一： 把直线代入椭圆1，化为其中(注意这个坑)，直线与椭圆1有公共点
4、，恒成立，化简为上式对于任意实数都成立，解得实数的范围是 方法二：因为直线恒过定点所以代入得即因为是椭圆，所以故的取值范围是故答案为：题型七 直线与椭圆相切应用【例7】已知椭圆的方程为，点P的坐标为，求过点P且与椭圆相切的直线方程【答案】或【解析】椭圆的方程为，可得，点P的坐标为，过点P且与椭圆相切的直线方程之一是，另一条切线为：，由可得，解得，所以切线方程为；所以过点P且与椭圆相切的直线方程：或【变式7-1】已知：椭圆，直线，当m为何值时，直线与椭圆相切?【答案】.【解析】由得，当直线与椭圆相切时，即，解得，即时直线与椭圆相切【变式7-2】曲线上点到直线距离的最小值为_【答案】【解析】令与相
5、切，联立整理可得，所以，可得，当，此时与的距离，当，此时与的距离，所以曲线到直线距离的最小值为.故答案为：【变式7-3】直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使PAB的面积等于12，这样的点P共有_个.【答案】2【解析】易知直线过点，则即为直线与椭圆交点，不妨设，设到直线的距离为，则，解得，作与直线平行且与椭圆相切的直线，设，联立椭圆方程化简得，由解得，则或，又因为与距离为，与距离为，故这样的点P共有2个.故答案为：2.题型八 直线与椭圆相交弦长问题【例8】已知椭圆x2+4y216，直线l过点其左焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，若直线l的斜率是1，则弦长|AB|_【答案】【解析】椭圆的标准
6、方程为1，其中a4，b2，则c2，又由直线的斜率为1，则直线的方程为与椭圆的方程联立可得：弦长|AB|；故答案为：【变式8-1】已知椭圆：，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围【答案】【解析】由椭圆：知，则，所以椭圆的右焦点为当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其代入椭圆的方程得设，则，因为，所以综上，的取值范围是【变式8-2】已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为_【答案】【解析】，则, 椭圆T：，左焦点F设直线：，联立方程：消去y得：可得：椭圆T：故答案为：【变式8-3】椭圆C：的左右焦点
7、分别为，P为椭圆C上一点.（1）当P为椭圆C的上顶点时，求的余弦值；（2）直线与椭圆C交于A，B，若，求k.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当为椭圆的上顶点时，在中，由余弦定理知.（2）设，将直线与椭圆:联立得：，因为直线过焦点，故恒成立，又，由弦长公式得，化简整理得：， 解得.题型九 椭圆的中点弦与点差法【例9】已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为_.【答案】【解析】由题意，设，因为的中点为，所以.又.于是，即所求直线的斜率为.故答案为：.【变式9-1】若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为_【答案】【解析】设直线与椭圆的交点为 为的中点， ；两点在椭圆上，则 两
8、式相减得 ；则 ； ；故所求直线的方程为 ，即 ；故答案为：【变式9-2】已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】设，则有，两式作差可得：，即，又，故，所以，又，解得，故的方程为.故选：C【变式9-3】已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）A B C D【答案】C【解析】法一：设，则，所以，又AB的中点为，所以，所以，由题意知，所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，代入并整理得，因为为线段AB的中点，所以，整
9、理得，所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.题型十 椭圆中的定点定值与最值问题【例10】已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.（1）若求圆心的轨迹的方程.（2）若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；（2），【解析】（1）设动圆的半径为，依题意有，所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去所以轨迹的方程（2）设，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为【变式10-1】设点、分别是椭圆的左、右焦点
10、，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0（1）求椭圆C的方程；（2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则有，由题意可得，解得或（舍去），所以，所以椭圆C的方程为（2）由（1）得，设的方程为，代入，消元整理得，设、，则，所以，设的中点为，则，因为，所以，即，所以，所以，因为直线不与坐标轴垂直，所以，所以，解得【变式10-2】已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且PMP
11、N，求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为椭圆的离心率为，又点Q在椭圆C上，且满足，所以，即，则，所以椭圆方程为：；（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为联立得，消去x得，化简整理，得设，则，PMPN，得，将，代入上式，得，得，解得或（舍去），直线l的方程为，则直线l恒过点，设，则，易知在上单调递增，当时，取得最大值为又，【变式10-3】已知，直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程;（2）直线与曲线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率之积为， 证明: 的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）设，则直线的斜率，直线的斜率 ，由题意，
12、化简得 ；（2）直线的斜率存在时，可设其方程为，联立化简得，设，则，所以 化简得则，又到的距离，所以，为定值.当直线的斜率不存在时，可设 ，则，且，解得，此时，综上，的面积为定值.【变式10-4】已知椭圆经过点，且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【解析】（1）因为椭圆经过点，所以，因为离心率，所以，即，因为，所以解得所以方程为（2）设，则，得，由，得，则，直线为，则，直线为，则，所以，化简得：，所以化简得当，与点重合，不满足条件当，代入直线方程可得：，所以过定点.
