1、3.1.1椭圆及其标准方程 （基础知识+基本题型）知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距用集合语言叙述为：“集合，其中，为椭圆的焦点，为椭圆的焦距”提示1 只有当时，动点的轨迹才是椭圆；当时，动点的轨迹是线段；当时，动点的轨迹不存在2 定义的双向运用：一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上的点一定满足定义的条件（即到两焦点的距离之和为）知识点二 椭圆的标准方程1 如图，椭圆的标准方程为它所表示的是焦点在轴上，焦点为，中心在坐标原点的椭圆，其中2 如图，椭圆的标准方程为它所表示的
2、是焦点在轴上，焦点为，中心在坐标原点的椭圆，其中提示1 这里的标准指的是中心在原点，对称轴为坐标轴2 标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴焦点在轴上，标准方程为；焦点在轴上，标准方程为3 标准方程中的两个参数和确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件4 在椭圆的两种标准方程中，如果的分母大，那么焦点在轴上；如果的分母大，那么焦点在轴上，这是椭圆的定位条件5 在椭圆的方程中，三者之间最大，且满足拓展（1）方程（均不为零，且）可化为，即所以当同号，且时，方程表示椭圆当时，椭圆的焦点在轴上； 当时，椭圆的焦点在轴上（2）椭圆的焦点三角形设为椭圆上任意一点（不在轴上），为焦点，且，则为焦点三角形焦点
3、三角形的周长；焦点三角形的面积证明如下：因为，两式相减，得，所以故考点一 椭圆定义的应用例1 椭圆上一点到一个焦点的距离为5，则点到另一个焦点的距离为（ ）A5 B6 C4 D10解析：由于点到椭圆两个焦点的距离之和为，故答案：A总结：由椭圆的定义，知椭圆上的点到椭圆两焦点，的距离之和为常数，所以知道椭圆上某点到一个焦点的距离，就可以利用“”求出该点到另一个焦点的距离例2 “平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为
4、一定值平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件答案：A椭圆定义的表达式为，它是点的轨迹为椭圆的充要条件考点二 椭圆标准方程的应用例3 椭圆的焦距是_，焦点坐标是_；若为过椭圆的焦点的一条弦，为另一个焦点，则的周长是_解析：由于椭圆方程，知，所以所以所以焦距，两焦点坐标是由椭圆的定义，知的周长为答案：，.一般地，关于椭圆的一些问题要经常考虑到利用其定义，使之转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题例4 （1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）椭圆的一个焦点为，求的值；
5、（3）若方程表示椭圆，求的取值范围解析：（1）原方程可化为因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得故的取值范围是（2）原方程可化为依题意，得，解得故的值为或（3）依题意，得，解得，且故的取值范围是在求解这类问题时，必须先确定焦点位置，从而可得，的值当焦点不确定时，应注意分类讨论，分别求值另外，就注意当时，方程表示圆，应排除这种情况考点三 利用椭圆的定义求椭圆的标准方程例5 已知，是两个定点，且的周长等于16，求顶点的轨迹方程分析：由的周长等于16，知点到，两点的距离的和是常数10，且大于的长因此，点的轨迹是以，为焦点的椭圆（但要注意，三点不共线），可建立平面直角坐标系求出方程解析：如图，建立平
6、面直角坐标系，使轴经过点，原点与的中点重合由已知，得，即点的轨迹是椭圆，且，所以，当点在直线上时，三点不能构成三角形，所以点的轨迹方程是（1）利用椭圆的定义求椭圆方程，需先找出满足定义的条件，即（2）在求解时，如果题设条件中未给出坐标系，那么要建立适当的平面直角坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为坐标原点，使其具有对称性，从而使曲线方程尽可能简单考点四 利用待定系数法求椭圆的标准方程例6 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和等于10；（2）经过点（2，3），且与椭圆有共同焦点解析：（1）由于椭圆的焦点在轴
7、上，故可设椭圆的标准方程为由两焦点坐标可知，所以由椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和等于10，知，所以，所以所以所求椭圆的标准方程为（2）椭圆的焦点坐标为设所求椭圆的标准方程为因为点（2，3）在椭圆上，所以又因为，所以，由解得或（舍去），所以所以所求椭圆的标准方程为解方程（组），得a，b(或a2，b2)，从而求得标准方程根据已知条件，列出关于a，b，c方程（组）根据焦点的位置，恰当地设出标准方程依据题目条件，明确焦点的位置得方程寻关系定位置设方程求椭圆的标准方程时，主要使用待定系数法，其基本思路如下：例7 求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程分析：方法1：由题设条件不能确定椭圆的焦点
8、在哪一条坐标轴上，因此应对焦点的位置进行讨论方法2：当焦点的位置不确定时，可以借助于椭圆方程的特殊设法求解解析：方法1：当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为依题意有，解得所以所求椭圆的标准方程为当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为依题意有，解得此时不符合，所以焦点在轴上的情况不存在所以所求椭圆的标准方程为方法2：设所求椭圆的方程为依题意有，解得所以所求椭圆的标准方程为当椭圆的位置不确定时，可设方程为，可以避免讨论和繁杂的计算也可设为，这种形式在解题中较为方便考点五 椭圆中的焦点三角形问题例8 设为椭圆上一点，为其焦点若，求的面积分析：根据椭圆的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解解析：由题意
9、，知，设，则由椭圆的定义，知，即（1）由余弦定理，得，即（2）由，得所以求焦点三角形的周长，面积及的大小等问题时，经常要用到勾股定理、余弦定理、数量积以及椭圆的定义等相关知识考点六 求与椭圆有关的轨迹方程例9 在圆内有一点，为圆上一点，的垂直平分线与的连线交于点，求点的轨迹方程分析：点到线段两端点的距离相等，也就是点到两个定点的距离的和等于圆的半径5，从而可知所求点的轨迹是椭圆解析：由题意，知点在线段上，所以因为点在的垂直平分线上，所以所以因为所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且所以，故点的轨迹方程为求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：（1）首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；（2）首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后求出椭圆方程中(或)的值，即得到轨迹方程例10 一个动圆与圆：外切，与圆：内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程解析：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为，；，设动圆圆心为，半径为，如图由题设有，所以由椭圆的定义，知点在以，为焦点的椭圆上，且，所以，故动圆圆心的轨迹方程为本题采用的求椭圆方程的方法叫做定义法在求轨迹方程时，若出现明显的两个关于原点对称的定点，则可联想此法
