1、3.1.1 椭圆的标准方程一、椭圆的定义1、定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距2、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：当时，其轨迹为线段； 当时，其轨迹不存在二、椭圆标准方程的推导：1、怎样建立适当的直角坐标系？以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1.2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（0）.焦点的坐标分别是，图1又设M与的距离的和等于常数. 由椭圆的定义，椭圆就是集合P=M|因为，所以3、
2、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？即两边平方得整理得再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有三、椭圆的标准方程对比四、椭圆的焦点三角形1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设F1AF2为）性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）拓展：AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2cABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a性
3、质2：4c2=F1F22=AF12+AF22-2AF1AF2cos（余弦定理）题型一 对椭圆定义的理解【例1】（多选）下列说法中正确的是（ ）A已知F1（4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段B已知F1（4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C平面内到点F1（4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点F1（4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆【变式1-1】若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程【变式1-2】若椭圆上一点
4、到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为_【变式1-3】椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（ ）A6 B3 C4 D2【变式1-4】已知椭圆：的左右焦点分别为，点M是椭圆C上一点，点N是线段的中点，O为坐标原点，若，则_.【变式1-5】已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上第一象限内的点，且，则_.题型二 求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点的坐标分别是（0，2），（0，2），并且椭圆经过点；（2）经过点，【变式2-1】中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（ ）.A BC或 D或【变式2-2】过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（
5、 ）A B C D【变式2-3】分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1）一个焦点坐标为，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；（2）一个焦点坐标为，且椭圆经过点题型三 根据椭圆方程求参数范围【例3】“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件是（ ）A B C D【变式3-1】若表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ）A B C D【变式3-2】方程表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）A B C D【变式3-3】已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件题型四 椭圆的焦点三角形问题【例4】椭圆的左、右焦点为、
6、，一直线过交椭圆于、，则的周长为（ ）A B C D【变式4-1】椭圆C：的左、右焦点分别为，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_【变式4-2】椭圆的左右焦点为，为椭圆上的一点，则的面积为（ ）A1 B C D2【变式4-3】已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）A1 B C D2【变式4-4】椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）A B C D【变式4-5】椭圆两焦点分别为，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ）A个 B个 C个 D个【变式4-6】
7、设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）A B C D题型五 椭圆的动点轨迹问题【例5】已知点，直线相交于点，且它们的斜率之积为.则动点的轨迹方程为（ ）A B C D【变式5-1】设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）A B C D【变式5-2】已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为A B C D【变式5-3】到定点(2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（ ）A B C D题型六 椭圆中距离和、差的最值【例6】点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ）A B C D【变式6-1】已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为_【变式6-2】，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）A B C D【变式6-3】已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为_.
