1、第四章 指数函数与对数函数课标A版数学必修第一册指数函数与对数函数第四章第四章4.4.3课标A版数学必修第一册4.4.3不同函数增长的差异第四章4.4.3课标A版数学必修第一册课前自主预习 第四章4.4.3课标A版数学必修第一册1尝试将实际问题转化为函数模型2了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异3会根据函数的增长差异选择函数模型第四章4.4.3课标A版数学必修第一册1指数函数、对数函数、一次函数的性质第四章4.4.3课标A版数学必修第一册2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异(1)在区间(0，)上，函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 ykx(k0)都是_，但它们的
2、增长_不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着 x 的增大，yax(a1)增长速度越来越_，会超过并远远大于 ykx(k0)的增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个 x0，使得当 xx0 时，有_增函数速度快logaxkx1，k0)第四章4.4.3课标A版数学必修第一册1已知函数 f(x)2x，g(x)2x，h(x)log2x.(1)函数 f(x)，g(x)，h(x)随着 x 的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)函数 f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？答案(1)函数 f(x)，g(x)，h(x)随着 x 的增大，函数值增大(2
3、)各函数增长的速度不同，其中 f(x)2x 增长得最快，其次是 g(x)2x，最慢的是 h(x)log2x第四章4.4.3课标A版数学必修第一册2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y3x 比 y2x增长的速度更快些()(2)当 x100 时，函数 y10 x1 比 ylgx 增长的速度快()(3)能用指数型函数 f(x)abxc(a，b，c 为常数，a0，b1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数()(4)当 a1，k0 时，在区间(0，)上，对任意的 x，总有logaxkx0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型 yax(a
4、1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”第四章4.4.3课标A版数学必修第一册(3)对数函数模型对数函数模型 ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型幂函数 yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间第四章4.4.3课标A版数学必修第一册针对训练1下列函数中，增长速度最慢的是()Ay6xBylog6xCyx6Dy6x解析 对数函数的增长速度越来越慢选 B.答案 B第四章4.4.3课标A版数学必修第一册2有一组数据如下表：t1.993.0 4.0 5.1 6.12v
5、1.54.047.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tCvt212Dv2t2第四章4.4.3课标A版数学必修第一册解析 从表格中看到此函数为单调增函数，排除 B，增长速度越来越快，排除 A 和 D，选 C.答案 C第四章4.4.3课标A版数学必修第一册函数模型的选择问题【典例 2】芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研从 4 月 1 日起，芦荟的种植成本 Q(单位：元/千克)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如下表：上市时间t50110250种植成本Q15.0
6、10.8 15.0 第四章4.4.3课标A版数学必修第一册(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数式：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本思路导引 要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型第四章4.4.3课标A版数学必修第一册解(1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数，
7、故用函数 Qatb，Qabt，Qalogbt 中的任意一个来反映时都应有 a0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数 Qat2btc 进行描述将表格所提供的三组数据分别代入函数 Qat2btc，得15.02500a50bc，10.812100a110bc，15.062500a250bc，解得 a 12000，b 320，c854.第四章4.4.3课标A版数学必修第一册所以反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为Q 12000t2 320t854.故选.(2)当 t150(天)时，芦荟种植成本最低，为 Q 120001502 320150854
8、 10(元/千克)第四章4.4.3课标A版数学必修第一册 不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律第四章4.4.3课标A版数学必修第一册针对训练3某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖
9、励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？第四章4.4.3课标A版数学必修第一册解 作出函数 y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如下图所示)观察图象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线 y3 的上方，只有 ylog5x 的图象始终在 y3 和 y0.2x 的下方，这说明只有按模型 ylog5x 进行奖励才符合学校的要求第四章4.4.3课标A版数学必修第一册题型三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例 3】函数 f(x)2x和 g(x)x3 的图象如图所示设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y
10、2)，且 x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以 x16f(6)第四章4.4.3课标A版数学必修第一册变式 若本例条件不变，(2)中结论改为“试结合图象，判断 f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小”，如何求解？解 因为 f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以 1x12,9x210，所以 x18x2，从图象上可以看出，当 x1xx2 时，f(x)g(x)，所以 f(8)x2 时，f(x)g(x)，所 以f(2019)g(2019)又 因 为g(2019)g(8)，所 以f(2019)g(2019)g(8)f(8
11、)第四章4.4.3课标A版数学必修第一册 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数第四章4.4.3课标A版数学必修第一册针对训练4当 2xx2log2xBx22xlog2xC2xlog2xx2Dx2log2x2x第四章4.4.3课标A版数学必修第一册解析 解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数 ylog2x，yx2，y2x，在区间(2,4)上从上往下依次是 yx2，y2x，ylog2x 的图象，所以 x22xlog2x.解法二：比较
12、三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取 x3，经检验易知选 B.答案 B第四章4.4.3课标A版数学必修第一册5某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x 倍，需经过 y 年，则函数 yf(x)的图象大致是()第四章4.4.3课标A版数学必修第一册解析 设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意，axa(10.104)y，故 ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为 D 中图象答案 D第四章4.4.3课标A版数学必修第一册课堂归纳小结1四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.第四章4.4.3课标A版数学必修第一册2.函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.第四章4.4.3课标A版数学必修第一册请做：随堂巩固验收
