1、24.3三角形一边的平行线-构造平行含重心性质与构造平行专练一、单选题1如图，AC是ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是（）A BCD【答案】B【解析】利用平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，抓住其中的两个基本图形：“A”字型图形和“8”字型图形，列比例判断即可四边形ABCD是平行四边形，ADCF，选项A错误；四边形ABCD是平行四边形，CDAE，CD=AB，选项B正确；四边形ABCD是平行四边形，CDBE，选项C错误；四边形ABCD是平行四边形，CDBE，选项D错误；故选B【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分
2、线段成比例定理，熟练掌握定理，准确写出比例式是解题的关键2如图，在ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GEBD，且交AB于点E，GFAC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A；B；C；D【答案】A【解析】抓住已知条件：GEBD， GFAC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解.GEBD，GFAC，A选项正确；GEBD，GFAC，B选项错误；GEBD，GFAC，C选项错误；GEBD，D选项错误；故选：A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键.3如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ）ABCD【
3、答案】B【解析】做DGBE，交AC于点G，得到AE=EG，问题得解【详解】解：如图，做DGBE，交AC于点G，F为AD中点，AF=DF，AE=EG， DGBE，故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键4在中，DFE分别在边BCABAC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DFAC，DEAF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论【详解】解：四边形AFDE是平行四边形，DFAC， DEAB故A错误； DEA
4、B，故B正确；DFAC，故C正确；DFAC，DEAB，故D正确故选：A【点睛】本题主要考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能准确找出成比例的对应线段是解题的关键5如图，与相交于点，过点的直线交于点，交于点若，则的长为（ ）ABCD4【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例，先将CE和CF分别用含DF的式子表示，再根据EF=CF-CE列出关于DF的方程求解即得【详解】解：，故先：B【点睛】本题考查平行线分线段成比例，将已知线段用未知线段表示并找出等量关系列方程是解题关键6如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接
5、BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（）A1：1B4：3C3：2D2：3【答案】C【解析】如图，作DHBF交AC于H利用平行线分线段成比例定理即可解答【详解】如图，作DHBF交AC于HDHBF，AH：HF=AD：DB=2：1，可以假设HF=a，则AH=2aFGDH，FH：EF=DG：EG=1：2，EF=2a，AF=3a，AF：EF=3a：2a=3：2故选：C【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理将两条线段的比转化为其余已知线段的比7如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据平行线分线段成比
6、例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项【详解】解：A选项错误，点D、点E是AB的三等分点，则；B选项错误，无法证明；C选项正确，则；D选项错误，故选：C【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系8如图，在ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BDDEEM等于A321B421C532D521【答案】C【解析】过A作AFBC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可
7、求得答案【详解】过A作AFBC交BM延长线于F，设，则；，即，即，故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键9如图，在中，已知，则的长是AB3CD4【答案】B【解析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DGEHFI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长【详解】AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，DGEHFI；，即DG=BC；同理可得：EH=BC，FI=BC；DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；故选B【点睛】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应
8、用10在中，、是边上的三等分点，是边上的中线，、分为三段的长分别是、，若这三段有，则等于( )ABCD【答案】D【解析】【解析】设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF, 作FH/BM交AC于H,根据中点的性质可得EP/MF,根据BE=EF，得到BP=PM，根据平行线分线段成比例定理可得CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,则FH:QM=AH:AM=5:3, 设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t，即可求解.【详解】设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF,因为MF/AE,所以EP/MF,又因为BE=EF,所以BP=PM作FH/BM交AC于H,CF:C
9、B=FH:BM=CH:CM=1:3,FH:QM=AH:AM=5:3,设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t所以BP：PQ：QM=5：3：2即x：y：z=5：3：2故选D.【点睛】考查平行线分线段成比例定理，中位线的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.二、填空题11ABC中，AB=AC=10，重心G到底边BC的距离为2，那么AG=_【答案】4【解析】过点D作交AC于点E，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出，然后代入计算即可【详解】如图，过点D作交AC于点E，G是ABC重心，AD，BF都是ABC的中线， ， ， ， 故答案为：4【点睛】本题主要
10、考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键12如图，已知点O是ABC的重心，过点O作EFBC，分别交AB、AC于点E、F，若BC6，则EF_ 【答案】4【解析】连接AO并延长交BC于Q，利用重心性质得AO：OQ=2：1，则AO：AQ=2：3，再证明AEFABC，AEOABQ，然后根据相似三角形的性质求解【详解】解：连接AO并延长交BC于Q，O是ABC的重心，AO：OQ=2：1，AO：AQ=2：3，EFBC，AEOABQ，AEFABC，BC6，EF=4故答案为：4【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点重心到顶点的距离与重心到对边中点的
11、距离之比为2：1 也考查了相似三角形的判定与性质13如图，G为ABC的重心，GEAB，则_【答案】【解析】根据重心的概念和性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案【详解】解析：G为ABC的重心，GEAB，【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理，掌握三角形的重心是三条中线的交点、重心到顶点的距离等于它到中点的距离的2倍是解题的关键14如图，在ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DEAC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DFBC交AC于点F，如果DF4，那么BE的长为_【答案】8【解析】连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形
12、的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CEDF4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE.【详解】解：连接BG并延长交AC于H，G为ABC的重心，2，DEAC，DFBC，四边形DECF是平行四边形，CEDF4，GECH，2，BE8，故答案为：8【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中准确作出辅助线是解题的关键15如图为的重心，交于，那么=_【答案】【解析】根据三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理求解即可【详解】根据重心性质得出：MN=MC,BC=2MCMN:BC=1:6所以答案为1:6【点睛】本
13、题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解题关键16如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则_【答案】12【解析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题【详解】解：G是ABC的重心，AG=2DG，AD=3DG；EFBC，AC=18，AF=12故答案为：12【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键17如图的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，如果，那么_【答案】6【解析】【解析】根据三
14、角形重心的性质和平行线分线段成比例解答即可【详解】解：的中线AD、BE相交于点G，故答案为6【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例和三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键18在中，G是的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为_.【答案】2【详解】连接AG，并延长AG交BC于D；根据重心的性质知：D是BC中点，且AG：AD=2：3；可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CD的长求出GH的值解：如图，连接AG，并延长AG交BC于D；G是ABC的重心，AG：GD=2：3，且D是BC的中点；G
15、HBC，；CD=BC=3，GH=2“点睛”此题考查了平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍19如图，的中线、交于点，点在边上，那么的值是_.【答案】【解析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可【详解】ABC的中线AD、CE交于点G，G是ABC的重心，GFBC，DC=BC， ，故答案为：.【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系20如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F则的长为_【答案】【解析】过点E作EGAB，垂足为G，证明CBEGBE，求
16、得CE，EG，AE的长，过点F作FOAC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可【详解】AB=10，过点E作EGAB，垂足为G，是的角平分线，CBE=GBE，C=BGE=90，BE=BE，CBEGBE，BC=BG=6，EC=EG，设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，即，解得x=3，CE=3，AE=5，过点F作FOAC，垂足为O，FOBC，即FO=2OE，AD是中线，BC=6，CD=3，FODC，解得OE=，在直角三角形OEF中，EF=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，
17、构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键21如图，直线，且每相邻两条直线的距离相等若直线分别与相交于点，则为_【答案】【解析】根据平行线分线段成比例定理回答即可求解【详解】解：如图，过点D作EF，交于点E，交于点F，交于点G，且每相邻两条直线的距离相等 ，=，故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段比例定理，平线线间的距离，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键22如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为_（用含、的式子表示）【答案】【解析】过点B作BHAC交EF于点H，先证明BDHCDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解【详解】解：过点
18、B作BHAC交EF于点H，C=DBH,点是边的中点，BD=CD，BDH=CDF，BDHCDF，BH=CF，故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线三、解答题23如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长【答案】（1）；（2）11【解析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果【详解】解：（1）
19、ADBECF，AB=6，BC=8，故的值为；（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，AGDF，ADBECF，AD=HE=GF=5，CF=19，CG=CF-GF=14，BECF，解得BH=6，BE=BH+HE=11【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键24如图，DEBC，EFCG，AD：AB=1：3，AE=3（1）求EC的值；（2）求证：ADAG=AFAB【答案】（1）6；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由平行可得，可求得AC，且EC=AC-A
20、E，可求得EC；（2）由平行可知，可得出结论试题解析：（1）DEBC，又，AE=3，解得AC=9，EC=AC-AE=9-3=6；（2）DEBC，EFCG，ADAG=AFAB考点：平行线分线段成比例25已知，ABC中，C=90，G是三角形的重心，AB=8，求： GC的长；过点G的直线MNAB，交AC于M，BC于N，求MN的长【答案】GC的长为；见详解；，见详解【解析】延长CG交AB于点H，由题目的已知条件可得CH=AB=4，所以可得CG的长度；由（1）及根据直角三角形的中线定理可得MN的长【详解】延长CG，交AB于点HG是三角形的重心，AH=BH=ABAB=8，C=90CH=4，CG=CH=；由
21、（1）可知：CG=，G为MN中点MN=【点睛】本题主要考查三角形的重心及直角三角形斜边中线定理，关键是根据三角形的重心得到MN的长，进而求出GC的长26如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值【答案】的值为【解析】作DHAC交BE于H，如图，根据平行线分线段成比例，由DHCE得到，则CE=2DH，由DHAE得到，则AE=DH，然后计算AE：EC的值【详解】解：作DHAC交BE于H，如图，DHCE，CE=2DH，DHAE，AE=DH，【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例也考查了比例的性质27如图，在中，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交
22、于点，求的值【答案】2【解析】过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点先证明，得到，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点，四边形为正方形，又，又，又，【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答28如图，MN经过DABC的顶点A，MNBC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E（1）求证：DEBC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（
23、1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论；（2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN【详解】（1）证明：，（2），【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例两直线平行是解题的关键29已知：如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EFAB交边AC于点F，EGAC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H求证：GF = BH【答案】见解析【解析】由于EFAB，根据平行线分线段成比例，可得到，从而推出，再由EGAC根据平行线分线段成比例，得到，即可推出HF = BG，最后根据一组对边平行且
24、相等判定四边形BGFH是平行四边形，得到GF = BH【详解】证明： AD是边BC上的中线， BD = DC HFAB， ， ，即， EGAC， ， ， HF = BG，又 HFBG， 四边形BGFH是平行四边形， GF = BH【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.30如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，DEBC（1）若SADE2，SBCE7.5，求SBDE；（2）若SBDEm，SBCEn，求SABC（用m、n表示）【答案】（1）3 （2）【解析】（1）根据有公共顶点，底边共线的两个三角形面积比为底的比
25、，可以得到,设SBDEx，再将x的值代入即可得出答案；（2）由（1）知，设SADEy，又SBDEm，SBCEn，从而得出y与m、n的函数关系式，即可表示出三角形ABC的面积【详解】解：（1）设SBDEx，DEBC，SADE2，SBCE7.5，解得：x15（舍），x23经检验x3是此题的解，SBDE3；（2）由（1）知，设SADEy，又SBDEm，SBCEn，解得，【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及等高三角形的面积比，利用平行线分线段成比例定理得出面积比之间的相等关系是解决问题的关键31已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EFBD，AE、AF分别交BD
26、于点G和点H，BD=12，EF=8求：（1）的值；（2）线段GH的长.【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6.【解析】试题分析：（1）根据EFBD，则CF:CD=EF:BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB的值；（2）利用DFAB，则FH:AH=DF:AB=1:3，进而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可试题解析：（1）EFBD，CF:CD=EF:BD，BD=12，EF=8，CF:CD=2:3，DF:CD=1:3，四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，DF:AB=1:3；（2）DFAB，FH:AH=DF:AB=1:3，AH:AF=3:4，EFBD，GH:EF=A
27、H:AF=3:4，GH:8=3:4，GH=6考点：1.平行线分线段成比例；2.平行四边形的性质32如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ONOM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN（1）如果ENBD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果ENDC，求证：AN2NCAC【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据正方形性质及ONOM，求出MNCD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出AOMDON即可得到平行四边形DMNE是菱形；（2）根据MNCD得到，再由ENDC得到ENAD，再由ABDC，得到，即可得到，即为所求【详解】证明：（1）如图1，四边形ABCD是正方形，OAOBOCOD，ACBD，ONOM， ，MNCD，又ENBD，四边形DMNE是平行四边形，在AOM和DON中，AOMDON90，OAOD，OMON，AOMDON（SAS），OMAOND，OAM+OMA90，OAM+OND90AHN90DNME，平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，MNCD，四边形ABCD是正方形，ABDC，ABDC，ADC90，ADDC，又ENDC，ENAD，ABDC，AN2NCAC【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大
