1、共 46 页1第三十五讲 合情推理与演绎推理 共 46 页2回归课本 1.合情推理(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理;或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.共 46 页3(2)类比推理:由两类对象具有某些和其中一类对象的某些类似特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理,简言之,类比推理是由已知特征到特殊的推理.(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察,分析,比较,联想,再进行归纳,类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.共 46
2、 页4 注意:(1)合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.例如费马猜想就被欧拉推翻了.(2)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.共 46 页52.演绎推理(1)演绎推理:从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断.共 46 页6考点陪练 1.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角
3、形等腰三角形等边三角形的内角和是180,归纳出所有三角形的内角和都是180;教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了;共 46 页7三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得凸n边形内角和是(n-2)180.A.B.C.D.共 46 页8解析:前提为真时,结论可能为真的推理称为合情推理,由此可得出是合情推理,而不是合情推理,因为所有三角形不只包括直角三角形等腰三角形等边三角形,故选B.答案:B 评析:前提为真,必须是要研究对象的前提,比如由椅子坏了,推出椅子坏了是可以的,由椅子坏了,推出桌子也坏了是不对的,的推理属于前提不对.共 46 页92.“所有9的倍
4、数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故该奇数(S)是3的倍数(P)”.上述推理是()A.小前提错误 B.大前提错误 C.结论错误 D.正确的 解析:由于“9的倍数是3的倍数”为真,若“某数是9的倍数”也为真,则“某数为3的倍数”为真.即大前提与小前提都正确,则结论必然正确,故选D.答案:D 共 46 页10评析:本题是一个演绎推理的题目,根据演绎推理的理论,只要大前提与小前提都正确,结论就正确,此题中的大前提与小前提是正确的,因此结论是正确的.这就说明,在判断推理的正确性时,要利用理论进行判断,即要熟练掌握各种理论原理结论.共 46 页113.利用归纳推理推断,当n是自然
5、数时,(n2-1)1-(-1)n的值()A.一定是零 B.不一定是整数 C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数 解析:当n=1时,值为0;当n=2时,值为0;当n=3时,值为2;当n=4时,值为0;当n=5时,值为6.答案:C 18共 46 页124.在等差数列an中,若m+n=r+s,则am+an=ar+as(m、n、r、sN+).类比得到等比数列具有性质:_.解析:aman=a1qm-1a1qn-1=a21qm+n-2,aras=a1qr-1a1qs-1=a21qr+s-2,又m+n=r+s,aman=asar.答案:在等比数列an中,若m+n=r+s,则aman=aras(m,n,r,
6、sN+)共 46 页135.(2010山东)观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cosx)=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数,所以g(-x)=-g(x),故选D.答案:D 共 46 页14类型一 归纳推理 解题准备:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).共 46 页15 n111a,21,.*,2nnn
7、aaanNa【典例】在数列中猜想这个数列的通项公式分析根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其通项公式.11213233n42n221,2322122,224252.1a,anaaaaaaaaaaan解中猜想的通项公式为共 46 页16探究1设f(n)=n2+n+41,nN*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)都是质数的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.解f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,共 46
8、 页17f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数.共 46 页18n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141,f(40)是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.共 46 页19评析由归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于一般项,若验证其正确,需进行具体计算或严格证明.归纳分为完全归纳和不完
9、全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察实验,对有限的资料作归纳整理,提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.共 46 页20类型二 类比推理 解题准备:1.类比推理和归纳推理都属于合情推理,利用归纳和类比方法进行简单的推理是高考中常见题型,多以填空题的形式出现.2.由两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理,它是一种由特殊到特殊的推理.3.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似(或一致)性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事
10、物的性质,得出一个明确的命题(猜想).共 46 页21【典例2】(2010潍坊)请用类比推理完成下表:平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半共 46 页22 解本题由已知前两组类比可得到如下信息:平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象;三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象;三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;三角形的面积公式中的“二分之
11、一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.共 46 页23由以上分析可知:共 46 页24故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法,将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明,此处从略.共 46 页25 反思感悟类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理公式结论等,可以类比到空间立体几何中,得到类似结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下:共 46 页26平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积共 46 页27类型三 演绎推理 解题准备:1.“三段论”是演绎推理的一般模式,形如“若bc
12、,ab,则ac”,这种推理规则叫做三段论推理.它是由大前提、小前提和结论三部分构成的.2.三段论推理的一般步骤是:(1)bc;(2)ab;(3)得出结论ac.3.三段论推理常用的表示形式:MP(M是P)SM(S是M)SP(S是P)共 46 页28【典例3】在锐角三角形ABC中,ADBC,BEAC,DE是垂足.求证:AB的中点M到DE的距离相等.分析解答本题需要利用直角三角形斜边上中线的性质作为大前提.证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提 在ABD中,ADBC,即ADB=90,小前提 所以ABD是直角三角形.结论 共 46 页29(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
13、半,大前提 而M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提 所以 .结论 同理 ,所以DM=EM.12DMAB12EMAB共 46 页30 反思感悟演绎推理主要是由大前提小前提推出结论的三段论式推理.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因此,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论.共 46 页31探究2已知函数
14、 ,其中a0,b0,x(0,+),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.分析利用演绎推理证明.()af xbxx共 46 页32 1212122112211212121212120 xx,0 x()()().0,0 x,f x,0,f x0,f xf x,f x.aaf xf xbxbxxxaxxbx xaaaxxx xbbb x xab证明 设则当时 则即在上是减函数共 46 页33 211211221221xx,f xf x0,f xf x,f0,x,.abaaxxx xbb x xab当时则即在上是增函数共 46 页34 评析这里用了两个三段论的简化形式,都省略了大前提
15、,第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义,第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义.小前提分别是f(x)在 上满足减函数定义和f(x)在 上满足增函数定义,这是证明该例题的关键.(0,ab,)ab 共 46 页35错源一“先天不足,急于武断”【典例1】已知数列an满足a1=1,an+1=-an+1,试归纳出这个数列的通项公式.12共 46 页3612341:,1351,2481,(1).23,(2,*),2naaaanannnnN 错解 经过计算可知除第一个外 后三个很有规律于是猜想511123,162(2,*),n5,.,.nnnaannN剖析 容易验证 当时就不适合原因是由归纳推理所得的
16、结论未必是可靠的一般地 考查的个体越多 归纳的可靠性越大共 46 页37011223341112,323112,323112,323112,323112(*).323:nnaaaaanN正解 正确的猜想如下猜想共 46 页38错源二 类比不当致误 abcabc2,h,h,hABC,P,PP,P,P,:,_.1.abcabcPPPhhh【典例】在平面上 设是三角形三条边上的高为三角形内任一点到相应三边的距离分别为我们可以得到结论把它类比到空间 写出三棱锥中的类似结论共 46 页39 剖析从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析,在三角形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1,类比到空间就应该
17、是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1.本题如果不考虑比值的特点,就可能误以为类比到空间后是面积之比等,从而得到一些错误的类比结论.共 46 页40abcdabcdh,h,h,hABCD,PABCD,PP,P,P,1.P,:abcdabcdPPPPhhhh正解 设分别是三棱锥四个面上的高为三棱锥内任一点到相应四个面的距离分别为于是我们可以得到结论1abcdabcdPPPPhhhh答案共 46 页41 评析类比推理是一种由此及彼的合情推理,“合乎情理”是这种推理的特征,一般的解答思路是进行对应的类比,如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体),平面上的面积对应于空间的体积等.类比
18、推理得到的结论不一定正确,故这类题目在得到类比的结论后,还要用类比方法对类比结论的正确性作出证明,例如本题中在三角形中的结论是采用等面积法得到的,在三棱锥中就可以根据等体积法得到,这样不但写出来类比的结论,并且这个结论还是一个正确的结论.共 46 页42技法一 特殊化思想【典例1】凸n边形有f(n)条对角线,凸n+1边形有f(n+1)条对角线,则f(n+1)与f(n)的关系为()A.f(n+1)=f(n)+n-1 B.f(n+1)=f(n)-n+5 C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+2n-4 共 46 页43解析从三角形与四边形入手,由于三角形的对角线条数为0,即
19、f(3)=0,而f(4)=2,那么f(4)=f(3)+2,经验证C不正确,于是先排除C;再看五边形,由于f(5)=5,得f(5)=f(4)+3,此时BD.都不满足.故选A.答案A 方法与技巧面对归纳推理的问题,特别是选择题,最易从特殊值入手进行求解.本题如果仅从n边形与n+1边形进行探索的话难度很大,若从特殊情况出发,则较容易得出结论.共 46 页44技法二 数形结合思想【典例2】如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从原点运动到(0,1),然后它接着在x轴、y轴的平行方向按照图所示来回运动,且每秒移动一个单位长度,求2007秒时,这个粒子所处的位置.共 46 页45解题切入点本题借助图形
20、,一层一层的分析下去,规律慢慢的“浮出水面”,当然,问题也就迎刃而解了.解第一层有(0,1),(1,1),(1,0)三个整点(除原点),共用3秒;第二层有五个整点(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),共用5秒;第三层有七个整点(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),共用7秒,第n层共有2n+1个整点,共用2n+1秒;假设第2007秒时粒子运动在第n+1层.共 46 页46那么前n层共用秒数 ,由此得n的最大值为43,且当n=43时,.于是,第2007秒时,粒子在第44层,且在第72个出现,根据规律我们知道第44层将从点(44,0)开始,那么(44,0),(44,1),(44,43),(44,44),(43,44),(42,44),(18,44),(17,44),共72个.因此,第2007秒时,这个粒子所处的位置为(17,44).3(21)20072nn3(21)19352nn
