1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理（1）学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)自 主 预 习探 新 知1正弦定理asin Absin Bcsin C所对角的正弦思考：如图1-1-1，在RtABC中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？图1-1-1提示 asin A bsin Bcsin Cc.2解三角形(1)一般地，把三角形的和它们的叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求的过程叫做解三角形思考：利用正弦定
2、理可以解决哪两类有关三角形问题？提示 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角三个角A，B，C对边a，b，c其他元素基础自测1思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形()(2)正弦定理不适用于直角三角形()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值()答案(1)(2)(3)提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确2在ABC中，若A60，B45，BC3 2，则AC_.【导学号：91432000】2 3 由正弦定理得：3 2sin 60 ACsin 45
3、，所以AC3 2sin 45sin 602 3.3在ABC中，A45，c2，则AC边上的高等于_2 AC边上的高为ABsin Acsin A2sin 45 2.4在ABC中，若a3，b 3，A3，则C_.【导学号：91432001】2 由正弦定理得：3sin 33sin B，所以 sin B12.又 ab，所以 AB，所以 B6，所以 C36 2.合 作 探 究攻 重 难定理证明 在钝角ABC中，证明正弦定理证明 如图，过C作CDAB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb sinCADsin(180A)sin A，CDa sin B.CDbsin Aasin B.asi
4、n A bsin B.同理，bsin Bcsin C.故 asin A bsin Bcsin C.规律方法(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.(2)要证 asin A bsin B，只需证asin Bbsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.跟踪训练1如图1-1-2，锐角ABC的外接圆O半径为R，证明 asin A2R.【导学号：91432002】图1-1-2证明 连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为
5、2R，ACB90，sin A BCAB a2R，sin A a2R，即 asin A2R.用正弦定理解三角形 已知ABC 中，a10，A30，C45，求角 B，边 b，c.思路探究：角A，B，C满足什么关系？105可拆分成哪两个特殊角的和？由正弦定理如何求得b，c的值？解 A30，C45，B180(AC)105，又由正弦定理得：casin Csin A 10 2.basin Bsin A 10sin 105sin 3020sin(6045)5(6 2)B105，b5(6 2)，c10 2.规律方法(1)正弦定理实际上是三个等式：asin A bsin B，bsin B csin C，asin
6、A csin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：已知三角形的任意两角与一边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角.跟踪训练2已知B30，b 2，c2，求A、C、a.【导学号：91432003】解 由正弦定理得：sin Ccsin Bb2sin 302 22，cb,0C180，C45或135.当C45时，A105，absin Asin B 2sin 105sin 30 31，当C135时，A15，absin Asin B 2sin 15sin 30 31.三角形形状的判断探究问题1已知ABC 的外接圆 O 的直径长为 2R
7、，试借助ABC的外接圆推导出正弦定理提示：如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则BCD90，BACBDC，在RtBCD中，BCBDsinBDC，所以a2Rsin A，即 asin A2R，同理 bsin B2R，csin C2R，所以 asin A bsin Bcsin C2R.2由 asin A2R，bsin B2R，csin C2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由asin A 2R，bsin B 2R，csin C 2R可以得到的变形：sin Aa2R，a2Rsin A；sin B b2R，b2Rsin B；sin C c2R，c2Rsin C由这些变形形式，
8、我们可以实现三角形中边、角关系的转化 在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.【导学号：91432004】思路探究：解决本题的关键是利用sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R把sin2Asin2Bsin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A2sin Bcos C求解解 法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asin A bsin B csin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A
9、1，sin B 22.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得 asin A bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BCsin B，则有()【导学号：91432005】AabDa，b的大小无法判定C 因为 asin A bsin B，所以absin Asin B.因为在ABC中，sin Asin B0，所以absin Asin B1，所以ab.3在AB
10、C中，若c2acos B，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D不等边三角形B 由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，所以AB.故ABC为等腰三角形4在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，b 3，B60，那么A等于()【导学号：91432006】A135 B90C45 D30C 由 asin A bsin B得 sin Aasin Bb2 323 22，A45或 135.又ab，Ab，AB45.A60或120.当A60时，C180456075，cbsin Csin B 2sin 75sin 45 6 22；当A120时，C1804512015，cbsin Csin B 2sin 15sin 45 6 22.综上，可知A60，C75，c6 22或A120，C15，c6 22.课时分层作业（一）点击上面图标进入 谢谢观看
