1、专题21.2 二次函数的图象与性质（一）【八大题型】【沪科版】【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】1【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】2【题型3 五点法绘二次函数的图象】3【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】4【题型5 二次函数图象的平移变换】5【题型6 二次函数图象的对称变换】6【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】7【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】7【知识点1 二次函数的图象和性质】二次函数的图象是一条抛物线。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-
2、h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=hx=-b2a顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)（-b2a，4ac-b24a）a0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0x0(h或-b2a)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a0x0(h或-b2a)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【题型1 二次函数的顶点式与一般式的互化】【例1】（2023春安徽阜阳九年级校考阶段练习）抛物线y=ax2+2ax+a2+a的顶点位于（）A第一象限B第二象限
3、C第三象限D第四象限【变式1-1】（2023春全国九年级专题练习）将二次函数y=x2-4x+3化为y=ax-m2+k的形式，下列结果正确的是（）Ay=x+22+1By=x-22+1 Cy=x+22-1 Dy=x-22-1【变式1-2】（2023春河北承德九年级统考期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c（a0）化成y=a(x-h)2+k的形式现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式如下：两位同学做法正确的是（）A甲正确，乙不正确B甲不正确，乙正确C甲、乙都正确D
4、甲、乙都不正确【变式1-3】（2023广东九年级专题练习）用配方法把二次函数y=2x2-3x+1写成y=a(x-h)2+k的形式为_【题型2 根据二次函数的解析式判断其性质】【例2】（2023春九年级单元测试）在函数y=3x2；y=12x2+1；y=-43x2-3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）ABCD【变式2-1】（2023春九年级单元测试）二次函数y=-x2+4x+3，当0x12时，y的最大值为（）A3B7C194D214【变式2-2】（2023春全国九年级专题练习）下列二次函数的图象，对称轴是y轴的二次函数的表达式是（）Ay=3x2+2x By=3x2+2 Cy=x2+2x-7 Dy
5、=-2x-42+7 【变式2-3】（2023春江西南昌九年级期中）关于抛物线y1=2+3x2与y2=2-3x2的论述，不正确的是（）A两条抛物线的顶点相同B两条抛物线的形状相同C两条抛物线与y轴的交点相同D两条抛物线的增减性相同【题型3 五点法绘二次函数的图象】【例3】（2023春江苏徐州九年级统考期末）已知二次函数y=x2-2x-3 (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；x-10123y(2)根据图象，完成下列填空：当x1时，y随x的增大而_当y0【变式3-2】（2023春河南安阳九年级校考阶段练习）已知抛物线y=-2x2+4x+6(1)请用配方法将y=-2x2+4x+6化为y=ax-
6、h2+k的形式，并直接写出对称轴；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出y=-2x2+4x+6的图象；(3)该抛物线沿x轴向左或向右平移m（m0）个单位长度后经过原点，求m的值【知识点2 二次函数解析式的表示方法】(1)一般式：yax2bxc(其中a，b，c是常数，a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次
7、函数解析式的这三种形式可以互化.【题型4 用待定系数法求二次函数解析式】【例4】（2023春北京海淀九年级期末）已知二次函数y=ax2+bx+c经过A0,5，B5,0两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数解析式【变式4-1】（2023春湖北恩施九年级校考阶段练习）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，函数的最大值是y=2，且该抛物线经过坐标原点0,0求此抛物线的函数关系【变式4-2】（2023春河北承德九年级承德市第四中学校考阶段练习）在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x-2-101234y72-1-2m27则m的值为（）A-1B1C2D-2【变式4-3】
8、（2023全国九年级假期作业）已知抛物线与x轴交点的横坐标为-3和2，且过点(1,-8)，它对应的函数解析式为（）Ay=x2+x-6By=-x2-x+6Cy=-2x2-2x+12Dy=2x2+2x-12【知识点3 二次函数的平移】方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二：y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移
9、m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)2+b(x-m)+c）【题型5 二次函数图象的平移变换】【例5】（2023陕西榆林统考一模）把抛物线y=x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y=x2-4x+3，则b、c的值分别为（）Ab=-12，c=32Bb=4，c=-3Cb=0，c=6Db=4，c=6【变式5-1】（2023春四川绵阳九年级统考期末）将二次函数y=x2+2x+2的图象向右平移1个单位，再向下平移一个单位，得到对应函数图象的解析式为_【变式5-2】（2023山西运城统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=
10、-2x2+bx+c经过平移后得到抛物线y2，则抛物线y2的表达式为（）Ay=-2x2-4xBy=-2x2-4x+1Cy=-2x2+4xDy=-2x2+4x+1【变式5-3】（2023春山东烟台九年级统考期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移5个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（）Ay=3x-52+5 By=3x-52-5Cy=3x+52+5Dy=3x+52-5【题型6 二次函数图象的对称变换】【例6】（2023陕西统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线C:y=x2-(m+1)x+m绕原点旋转180后得到抛物线C，在抛物线C上，当x1时，y随
11、x的增大而增大，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm-3Dm-3变式6-1】（2023浙江九年级假期作业）先将抛物线y=(x-1)2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）Ay=-(x-1)2+2By=-(x+1)2+2Cy=-(x-1)2-2Dy=-(x+1)2-2【变式6-2】（2023春江苏九年级专题练习）将二次函数y=x-12-4的图象沿直线y=1翻折，所得图象的函数表达式为（）Ay=-x-12+4By=x+12-4 Cy=-x+12-6Dy=-x-12+6【变式6-3】（2023春北京朝阳九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x-42+2可以看
12、作是抛物线y=12x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y=12x2+2得到抛物线y=-12x-42+2的过程：_【题型7 利用二次函数的对称轴、最值求参数】【例7】（2023吉林长春长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数y=mx2-2mx+2(m0)，当-1x2时，函数的最大值为y=4，则m的值是_【变式7-1】（2023春九年级单元测试）已知抛物线y=x2+m-1x-14的顶点的横坐标是2，则m的值是_【变式7-2】（2023春九年级单元测试）若抛物线 y=x2+m-1x+m+3 的顶点在 y 轴上，则 m= _【变式7-3】（2023浙江温州校考三模
13、）抛物线y=x2-2ax+b的顶点落在一次函数y=-2x+4的图象上，则b的最小值为_【题型8 利用二次函数的增减性求参数范围】【例8】（2023陕西西安交大附中分校校考模拟预测）已知抛物线y=x2-4mx+m，当-2x1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【变式8-1】（2023春江苏苏州九年级苏州中学校考开学考试）二次函数y=-x+32+htxt+2的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为_【变式8-2】（2023福建厦门统考一模）已知二次函数y=-x2+2ax+a+1，若对于-1xa+1，则a的取值范围是_【变式8-3】（2023山东潍坊昌邑市实验中学校考二模）已知二次函数的表达式为y=-x2-2x+3，将其图像向右平移k(k0)个单位，得到新的二次函数y1的图像，使得当-1x3时，y1随x增大而增大；当4x5时，y1随x增大而减小则实数k的取值可以是（）A4B5C6D7
