1、江苏省南通市如东县2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一物体做直线运动,其位移s与时间t的关系是则物体在t=2时的瞬时速度为A.4B.6C.8D.102.命题p:“”是命题q:“曲线表示双曲线”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.抛物线的焦点是直线x+4y-1=0与坐标轴的交点,则该抛物线的准线方程是B.x=-1D.y=-14.古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“女子善于织布,每天织的布
2、都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景,则从第一天开始,要使织布机织布的总尺数为165尺,则所需的天数为A.7B.8C.9D.105.若函数在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是B.1,+)C.2,+)D.(-,-26.已知m0,xy0,当x+y=2时,不等式恒成立,则m的取值范围是B.1,+)C.(0,17.在公差不为0的等差数列an中,成公比为4的等比数列,则k3=A84B.86C.88D.968.已知函数f(x)=lnx,若对任意的都有恒成立,则实数k的最大值是A.-1B.0C.1D.2二选择题:本题共
3、4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分9.如图是函数y=f(x)的导函数的图象,下列结论中正确的是A.f(x)在-2,-1上是增函数B.当x=3时,f(x)取得最小值C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.f(x)在-1,2上是增函数,在2,4上是减函数10.等差数列中,是数列的前n项和,则B.S8是Sn中的最大项C.S9是Sn中的最小项D.|a8|0,b0时,C.若则a+b的最大值为2D.正数a,b满足a+b=2,则的最小值为12.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且则以下结论正确的是的最小
4、值为三填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上13.命题“不等式的解集为空集”是真命题,则实数a的取值范围是_.14.数列满足,则_.15.已知若对使得，则实数a的取值范围为_.16.已知双曲线C: (a0,b0)的上下焦点分别为过F1且垂直于y轴的直线与C交于A,B两点,直线分别交x轴于点C,D,若|CF2|+|DF2|=12,则过点的直线的斜率的最大值为_.此时双曲线的离心率为_.四解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)在数列为递增的等比数列,且数列满足数列满足这三个条件中任选一
5、个,补充在下面问题中,再完成解答.问题:设数列的前n项和为_.(1)求数列an的通项公式;(2)设求数列的前n项和18.(本小题满分12分)已知椭圆和直线l:y=2x+m.(1)当椭圆C与直线l有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|的最大值.19.(本小题满分12分)已知等差数列的公差为正数.a=1,其前n项和为数列为等比数列,且(1)求数列an与的通项公式;(2)求数列的前n项和(3)设求数列的前2n项和.20.(本小题满分12分)如图,有一个半圆形场馆,政府计划改建为一个方舱医院,改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区
6、(矩形AHLJ和BEFG)组成,其中半圆的圆心为O,半径为50米,矩形BEFG的一边BG在BC上,矩形AHLJ的一边AH在AD上,点C,D,F,I在圆周上,E,J在直径上,且设.若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元,记病床区及休闲区的总造价为f()(单位:万元).(1)求f()的表达式;(2)为进行改建预算,当为何值时,总造价最大?并求出总造价的最大值.21.(本小题满分12分)已知椭圆,右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为且过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆于点D,交y轴于点E.(1)求椭圆C的方程;(2)设P为AD的中点,过点E且与OP垂直的直线交OP于点G,判
7、断直线EG是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数,其中aR.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线的斜率为l,求a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)的导函数在区间(1,e)上存在零点,证明:当x(1,e)时,20202021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单选题：1【答案】B 2【答案】C 3【答案】A 4 【答案】D 5【答案】C6【答案】B 7.【答案】B 8【答案】B二、多选题 9【答案】CD 10【答案】AB 11.【答案】BCD 12【答案】BD三、填空题：13【答案】 14 【答案
8、】 15【答案】 16【答案】4， 四、解答题：17. 在数列an为递增的等比数列，且a2+a312，数列an满足Sn+12Sn2，数列an满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答问题：设数列an的前n项和为Sn，_（1）求数列an的通项公式；（2）设bn ，求数列bn的前n项和Tn解：（1）选 数列an为递增的等比数列，且a2+a312，设等比数列an的公比为q，（q0），则a1q（1+q）2q（1+q）12，解得q2（3舍去）， 3分所以an2n； 5分选 数列an满足Sn+12Sn2，可得Sn+1+22（Sn+2），数列Sn+2是首项为S1+24，公比为2的等比数列，则Sn
9、+22n+1，即为Sn2n+12，当n2时，anSnSn12n+122n+22n， 3分a12也满足上式，所以an2n，nN*； 5分选 2na1+2n1a2+2annan+1（1），当n2时，2n1a1+2n2a2+2an1（n1）an（2），由（2）2（1）可得2annan+12（n1）an，即an+12an，又因为a12，a22a14，也满足上式， 3分故数列an为首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n，nN*； 5分（2）由（1）可得an2n，bn 7分所以 10分18. 已知椭圆和直线.（1）当椭圆与直线有公共点时，求实数的取值范围；（2）设直线与椭圆相交于两点，求的最大值.解：
10、（1）联立，得.因为椭圆与直线有公共点，所以， 4分解得.所以实数的取值范围是， 6分（2）设，结合（1）的方程，有，所以 10分. 12分有（1）知，若椭圆与直线有两个交点，则，所以.所以当时，取得最大值.19. 已知等差数列an的公差为正数a11，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，b12，且b2S212，b2+S310（1）求数列an与bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn（3）设 ，nN*，求数列 的前2n项和解：（1）设等差数列an的公差为d，则， 等比数列bn的公比为q，因为a11，b12，且b2S212，b2+S310，可得2q（2+d）12，2q+3+3d10，解
11、得q2，d1， 2分则an1+n1n，bn2n； 4分（2）anbnn2n，前n项和Tn12+222+323+n2n，2Tn122+223+324+n2n+1， 6分两式相减可得Tn 化简可得Tn2+（n1）2n+1； 8分（3）由 可得 则前n项和 10分则数列 的前2n项和为 12分20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ和BEFG）组成，其中半圆的圆心为O，半径为50米，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且EOF，设B
12、OC若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）（1）求的表达式；（2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值解：（1）由题意半径为50米，显然R50，如图示，由图形可知：，在矩形ABCD中，BCRsin，OBRcos，所以游泳池面积为S矩形ABCD2OBBC2R2sincosR2sin2在矩形BEFG中，EFRsin，BERcosRcosR（cos），所以休息区面积为：2S矩形BEFG2BEEFR2（cos），由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，则f（）tR2sin2+2tR2（cos）即f（）502（si
13、n22cos+）（）； 6分（2）由（1）得125（2cos2+2sin）250（2sin2+sin）250（2sin）（sin+1），（，），sin（，1），令0，解得sin，（，），f（）的变化如下：（，）（，）+0f（）递增极大值极小值故时，总造价f（）取极大值（1+2），即当时，总造价的最大值是(1+2）万 12分21. 已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.（1）求椭圆C的方程;（2）设P为AD的中点，过点E且与OP垂直的直线交OP于点G，判断直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意
14、得：，因为在中，所以，所以，所以，所以，所以椭圆方程为. 4分（2）设直线，*令，则，所以，将*代入，整理得，设，则，所以， 6分设，因为为的中点，所以，所以， 8分设直线过定点，则，则，所以，即对任意的都成立，所以，所以，所以.所以直线过定点. 12分22. 已知函数f（x）alnx+x2（a+2）x，其中aR（1）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率为1，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）的导函数f（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x（1，e）时，f（x）e2解：（1）根据条件，则当x2时， 1分解得a2； 2分（2）函数f（x）的定义域是（
15、0，+）， 3分a0时，2xa0，令0，解得：x1，令0，解得：0x1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，0a2时，令0，解得：x1或0x，令0，解得：x1，故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增，a2时，0，f（x）在（0，+）递增，a2时，令0，解得：x或0x1，令0，解得：1x，故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+）递增；综上a0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增， 6分0a2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增，a2时，f（x）在（0，+）递增，a2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+）递增；（3）证明：因为，又因为导函数在（1，e）上存在零点，所以0在（1，e）上有解，则有1e，即2a2e，且当1x时，0，f（x）单调递减，当xe时，0，f（x）单调递增，所以f（x）f（）aln+（a+2）alna（1+ln2）a，设g（x）xlnx（1+ln2）x，2x2e，则lnx+1（1+ln2）lnxln2，则，所以在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）2eln2ee22e（1+ln2）e2g（2），所以g（x）e2，则根据不等式的传递性可得，当x（1，e）时，f（x）e2 12分
