1、考前冲刺一12类二级结论高效解题高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0
2、，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.答案2【训练1】 已知函数f(x)ln(3x)1，则f(lg 2)f()A.1 B.0 C.1 D.2解析令g(x)ln(3x)，xR，则g(x)ln(3x)，因为g(x)g(x)ln(3x)ln(3x)ln(19x29x2)ln 10，所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg lg 2，所以g(lg 2)g0，所以f(lg 2)fg(lg 2)1g12.答案D结论2函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的xR，总存在非零常数T，使得f(xT)f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.常见的与周期函数
3、有关的结论如下：(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.【例2】 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足ff(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020)()A.2 B.1 C.0 D.1(2)(多选题)(2020济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x1)与f(x2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数C.
4、f(x3)为奇函数 D.f(x4)为偶函数解析(1)因为ff(x)，所以f(x3)ff(x)，则f(x)的周期T3.则有f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f(0)2，所以f(1)f(2)f(3)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020)f(1)f(2)f(3)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)673f(1)f(2)f(3)f(2 020)0f(1)1.(2)法一由f(x1)与f(x2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)f(2x)0，f(x)f(4x)0，所以f(2x)f(4x)，即f(
5、x)f(2x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x1)与f(x2)都为奇函数，所以f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数.故选ABC.法二由f(x1)与f(x2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|21|2，所以f(x)与f(x2)，f(x4)的奇偶性相同，f(x1)与f(x3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x3)，f(x4)均为奇函数.故选ABC.答案(1)B(2)ABC【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A.2 B.1 C.0 D.1解析由f(x2)是偶函数可
6、得f(x2)f(x2)，又由f(x)是奇函数得f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x).故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)f(81)f(1)1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，所以f(8)f(0)0，故f(8)f(9)1.答案D结论3函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a
7、，0)对称.(3)若f(ax)f(ax)2b恒成立，则yf(x)的图象关于点(a，b)对称.【例3】 (1)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(2x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x0，1，都有0，则f(x)在3，2上单调递增D.若f(x)在1，2上的解析式为f(x)ln x1，则f(x)在2，3上
8、的解析式为f(x)1ln(x2)解析(1)因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)f(50441)f(1)4，所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0，所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.(2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)f(x)，则2f(2x)f(x)，f(x)2f(x2)，从而f(x2)2f(x4)，所以f(
9、x)f(x4)，B正确；由0)，当且仅当x1时，等号成立.(2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1).【例4】 已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n， e.(1)解f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点.因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)证明由(1)知当x(1，)时，x1ln
10、 x0.令x1，得ln.从而lnlnln11.故1，且x0，所以排除选项D.当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，排除A，C，易知B正确.答案B(2)已知函数f(x)ex，xR.证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点.证明令g(x)f(x)exx2x1，xR，则g(x)exx1，由经典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上为增函数，且g(0)0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.结论5三点共线的充要条件设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共
11、线的充要条件是存在实数与，使得，且1.特别地，当P为线段AB的中点时，.【例5】 在ABC中，2，3，连接BF，CE，且BF与CE交于点M，xy，则xy等于()A. B. C. D.解析因为2，所以，所以xyxy.由B，M，F三点共线得xy1.因为3，所以，所以xyxy.由C，M，E三点共线得xy1.联立解得所以xy.答案C【训练5】 在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若，则_.解析如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT，T，M，N三点共线，1，.答案结论6三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对
12、的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.【例6】 P是ABC所在平面内一点，若，则P是ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析由，可得()0，即0，同理可证，.P是ABC的垂心.答案D【训练6】 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，R，则P点的轨迹一定经过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析设BC的中点为M，则，则有，即.P的轨迹一定通过ABC的重心.答案C结论7与等差数列相关的结论已知等差数列an，公差为d，前n项和为Sn.(1)若Sm，S2
13、m，S3m分别为等差数列an的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列.(2)若等差数列an的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(3)若等差数列an的项数为奇数2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇S偶am，.【例7】 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A.3 B.4 C.5 D.6(2)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.解析(1)数列an
14、为等差数列，且前n项和为Sn，数列也为等差数列.，即0，解得m5.经检验，m5符合题意.(2)由am1am1a0得2ama0，解得am0或2.又S2m1(2m1)am38，显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.答案(1)C(2)10【训练7】 (1)等差数列an的前n项和为Sn，若S1020，S2050，则S30_.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差d_.解析(1)(S20S10)S10(S30S20)(S20S10)，S303S203S1035032090.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S奇，
15、偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案(1)90(2)5结论8与等比数列相关的结论已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列，其公比为.(2)公比q1或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).(3)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇.(4)已知等比数列an，公比为q，前n项和为Sn.则SmnSmqmSn(m，nN*).【例8】 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A.2 B. C. D.3解析由已知3，得S63S3且q1
16、，因为S3，S6S3，S9S6也为等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3).化简得S97S3，从而.答案B(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且满足S3，S6.求数列an的通项公式；求log2a1log2a2log2a3log2a25的值.解由S3，S6，得S6S3q3S3(1q3)S3，q2.又S3a1(1qq2)，得a1.故通项公式an2n12n2.由及题意可得log2ann2，所以log2a1log2a2log2a3log2a25101223275.【训练8】 已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为(
17、)A.或5 B.或5 C. D.解析设等比数列an的公比为q，易知S30.则S6S3S3q39S3，所以q38，q2.所以数列是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为.答案C结论9多面体的外接球和内切球(1)长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2a2b2c2.(2)棱长为a的正四面体内切球半径ra，外接球半径Ra.【例9】 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的
18、表面积等于()A. B. C. D.解析当注入水的体积是该三棱锥体积的时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等).依题意，得x2，易得小三棱锥的高为.设小球半径为r，则S底面4S底面r(S底面为小三棱锥的底面积)，得r.故小球的表面积S4r2.答案C【训练9】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A. B.2 C.4 D.3(2)已知球O的直径PA2r，B，C是该球面上的两点，且BCPBPCr，三棱锥PABC的体积为，则球O的表面积为()A.64 B.32 C.16 D.8解析(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1的底
19、面ABC为等腰直角三角形.把直三棱柱ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是16，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为.(2)如图，取PA的中点O，则O为球心，连接OB，OC，则几何体OBCP是棱长为r的正四面体，所以VOBCPr3，于是VPABC2VOBCPr3，令r3，得r4.从而S球44264.答案(1)A(2)A结论10焦点三角形的面积公式(1)在椭圆1(ab0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的面积SPF1F2b2tan ，其中F1PF2.(2)在双曲线1(
20、a0，b0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则PF1F2的面积SPF1F2，其中F1PF2.【例10】 如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.解析设双曲线C2的方程为1，则有abcc413.又四边形AF1BF2为矩形，所以AF1F2的面积为btan 45，即bb1.所以acb312.故双曲线的离心率e.答案D【训练10】 已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析在焦点三角形PF
21、1F2中，所以F1PF290，故SPF1F2b2tanb2tan 459，则b3.答案3结论11圆锥曲线的切线问题(1)过圆C：(xa)2(yb)2R2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)R2.(2)过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为1.(3)已知点M(x0，y0)，抛物线C：y22px(p0)和直线l：y0yp(xx0).当点M在抛物线C上时，直线l与抛物线C相切，其中M为切点，l为切线.当点M在抛物线C外时，直线l与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线，即直线l为切点弦所在的直线.【例11】 已知抛物线C：x24y，直线l：xy2
22、0，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程.解联立方程得消去y，整理得x24x80，(4)248160)焦点的弦设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则(1)xAxB.(2)yAyBp2.(3)|AB|xAxBp(是直线AB的倾斜角).【例12】 过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4 B. C.5 D.6解析由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于
23、E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，sin2.又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.答案B【训练12】 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析法一由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.与抛物线方程联立，化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.法二由2p3，及|AB|得|AB|12.原点到直线AB的距离d|OF|sin 30，故SAOB|AB|d12.答案D
