1、圆锥曲线中的定点、定值问题1(2021兰州模拟)已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值解(1)由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y24x(2)证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为yk(x1)2，
2、k0直线l2的方程为yk(x1)2，由得k2x2(2k24k4)x(k2)20，16(k1)20，已知此方程一个根为1，x11，即x1，同理x2，x1x2，x1x2，y1y2k(x11)2k(x21)2k(x1x2)2kk2k，kAB1，直线AB的斜率为定值12已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与圆C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上(不与坐标原点O重合)，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，证明点N在定直线上，并求该定直线的方程解(1)由题意得，直线l1的斜率k1tan 451，抛物线C
3、1的焦点为，则直线l1的方程为yx因为l1与C2相切，所以圆心C2(1，0)到直线l1：yx的距离d，解得p6(2)法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，即y，求导得y设A(x1，y1)(x10)，则以A为切点的切线l2的斜率k2，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1令x0，则yxy112y1y1y1，即点B的坐标为(0，y1)则(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，连接ON，OM(图略)，则(x1m，3)设点N的坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y设直线l2的斜率为k
4、2，A(x10)，则以A为切点的切线l2的方程为yk2(xx1)x联立得消去y并整理得x212k2x12k2x1x0由(12k2)24(12k2x1x)0，求得k2所以切线l2的方程为yx1(xx1)x令x0，得点B的坐标为，则，所以(x12m，6)，连接ON，OM(图略)，则(x1m，3)设点N的坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上3(2020全国卷)已知A，B分别为椭圆E：y21(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，8P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点解(1)由题设得A(a，0)，B(a，0)，G(0
5、，1)则(a，1)，(a，1)由8得a218，即a3所以E的方程为y21(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3由于直线PA的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线PB的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20将xmyn代入y21得(m29)y22mnyn290所以y1y2，y1y2代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0解得n3(舍去)或n故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点若t0，则直线CD的方程为y0，过点综上，直线CD过定点
