1、“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合,则中的元素个数为A. 8B. 9C. 10D. 112. 已知复数, 则 A. 1B. C. D. 33. 已知非零向量满足,且,则 A. B. C. D. 4. 某士兵进行射击训练,每次命中目标的概率均为,且每次命中与否相互独立,则他连续射击3次,至少命中两次的概率为A. B. C. D. 5. 已知函数在处取得最大值,则A. B. C. D. 6. 已知定义域为的偶函数满足,且当时,则 A. B. C. 1D. 37. 我
2、国古代经典数学名著九章算术中有一段表述:“今有圆堡壔( do ),周四丈八尺,高一丈一尺”,意思是有一个圆柱,底面周长为4丈8尺,高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为 (注:1丈=10尺,取3)A. 1185 平方尺B. 1131 平方尺C. 674 平方尺D. 337 平方尺8. 甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务, 每个小区至少去1人,每人只去1个小区,且甲、乙去同一个小区, 则不同的安排方法有A. 28 种B. 32 种C. 36 种D. 42 种9. 已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,其中, 若 ,则A. 2B. C.
3、D. 10. 过抛物线的焦点且斜率为-1的直线交于（其中A在轴上方）两点，交的准线于点，且，为坐标原点，则A. 2B. C. D. 11. 已知是奇函数,则过点向曲线可作的切线条数是A. 1B. 2C. 3D. 不确定12、设双曲线的左、右焦点分别为点,过点且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若 ,且直线的斜率为 3,则的离心率为A. B. C. D. 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分，共 20 分. 13. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_.14. 写出一个同时具有下列性质的函数:_. ;当时,单调递减; 为偶函数.15. 已知平面上的动点到点和的距离
4、之比为,则点到轴的距离最大值为_.16. 微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台,为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示, 有一架无人机在空中处进行航拍,水平地面上甲、乙两人分别在处观察该无人机(两人的身高忽略不计),为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100 m,甲观察无人机的仰角为,若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度,则这两个角可以是_ .(写出所有符合要求的编号)和；和;和；和. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一) 必考题:共
5、60 分.17. (12 分)设等差数列的前项和为,已知.(I) 求数列的通项公式;(II) 若,求数列的前项和.18. (12 分)某工厂共有甲、乙两个车间,为了比较两个车间的生产水平,分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件, 它们的质量指标值统计如下:质量指标值甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931(I)估计该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(II)根据所给数据,完成下面的列联表(表中数据单位:件),并判断是否有的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.甲车间乙车间附:,其中.0.050.010.001k3
6、.8416.63510.82819. (12 分)如图, 在直三棱柱中,为棱上靠近的三等分点,为棱的中点,点在棱上,且直线平面.(I) 求的长;(II) 求二面角的余弦值.20. (12 分)过椭圆上任意一点作直线(I) 证明:;(II) 若为坐标原点, 线段的中点为,过作的平行线与交于两点, 求面积的最大值.21. (12 分)设函数.(I) 讨论的单调性;(II) 若有两个零点和,设,证明:(为的导函数).(二)选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,
7、轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(I) 写出的直角坐标方程;(II) 若与只有一个公共点，求的值.23. 选修 4-5:不等式选讲 (10 分)已知均为正实数, 且.(I) 求的最小值;(II) 证明: .理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCCAADBCDDCB二、填空题13.14.（不唯一）15.16.三、解答题：17.解析(I)设数列的公差为，由题设可得 解得所以.(II)由条件可得 ,减可得: 18.解析 (I)由所给数据,各组的频率分别为 0.1,0.15,0.2,0.35,0.2 所以该工厂生产这种零件的质量指标值的平均数的估计值为 (
8、)列联表如下:甲车间6040乙车间3070所以因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.解析 ( I )在上取一点, 使得, 连接.由已知得 , 所以.因为平面, 所以平面.又因为平面 所以平面平面.根据面面平行的性质可知.在矩形中, 可得,所以, 所以.(II) 以为坐标原点, 分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系.则. ,设平面的法向量为 ,则，所以，取得设平面的法向量为,则所以取, 得所以结合图可知二面角的余弦值为.20. 解析(I)联立 消去整理得,因为点在上, 所以化简得.(II) 设,点,则.由已知得, 所以,即点满足方程,所以.由
9、得 ,设,则.所以所以令,因为, 所以.所以所以面积的最大值为.21. 解析 (I) ,若, 则,函数在上单调递减若,令,得当时,当时,.所以在上单调递增, 在上单调递减.(II) 不妨令, 由题设可得两式相减整理可得.所以令 , 则 ,要证, 即证 , 即证. 令, 则,所以在上单调递减又, 所以,即成立,所以.22. 解析 (I) 由的极坐标方程可得, 故其直角坐标方程为.(II) 由的参数方程可得,即的普通方程为.联立方程 得, 因为与只有一个公共点,所以,解得.23. 解析 (I) 由基本不等式可知,当且仅当 , 即 时等号成立,所以的最小值为 6 .(II) 因为, 所以.同理可得所以，当且仅当时等号成立所以,即学科网（北京）股份有限公司
