1、第二章第三讲A组基础巩固一、选择题1(2017北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)下列函数中，既是偶函数，又在区间0,1上单调递增的是(D)AycosxByx2Cy()|x|Dy|sinx|解析cos(x)cosx，所以ycosx为偶函数，在0，上为减函数，不满足题意；yx2为开口向下的二次函数，关于y轴对称为偶函数，在(0，)上单调减，不满足题意；y()|x|，()|x|()|x|为偶函数，当x0时，y()x在(0，)上为减函数，不满足题意，f(x)|sinx|，f(x)|sin(x)|sinx|为偶函数，当x0，时，函数为增函数，故选D.2(2016金华模拟)若函数f(x)为偶函数
2、，则a(A)A.BCD1解析由已知f(x)为偶函数，得f(1)f(1)，即，所以a13(1a)，解得a.3(2017西藏日喀则一中高三上学期第一次月考数学试题)函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，当x(0,2)时，f(x)2x1，则f(log2)的值为(A)A2BC7D解析由奇函数的性质及对数运算法则可求答案解：由题意得，f(log2)f(log23)f(log23)(2log231)(31)2.故选A.点拨该题考查函数的奇偶性、对数的运算法则，属基础题，正确运用对数的运算法则是解题关键4已知f(x)在R上满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2017)(B)A
3、2B2C98D98解析因为f(x4)f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2017)f(50441)f(1)2.故选B.5(教材改编题)已知函数D(x)则下列结论错误的是(C)AD(x)的值域为0,1BD(x)是偶函数CD(x)不是周期函数DD(x)不是单调函数解析由题意可知，D(x)的值域是0,1，选项A正确；当x是有理数时，x也是有理数，且D(x)1，D(x)1，故D(x)D(x)，当x是无理数时，x也是无理数，且D(x)0，D(x)0，即D(x)D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确，当x是有理数时，对于任一非零有理数a，xa是有理数，且D(xa)1D(x)，当x是无理数时，对于任
4、一非零有理数b，xb是无理数，所以D(xb)D(x)0，故D(x)是周期函数(但不存在最小正周期)，选项C不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I，使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数，选项D正确故选C.6(2016吉林长春三校联考调研)已知函数f(x).若f(a)，则f(a)(C)A.BCD解析根据题意，f(x)1，且h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)1(f(a)1).7(2017河北省衡水市故城高中高三上学期第一次月考数学试题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是(B)A(，1)(2
5、，)B(2,1)C(1,2)D(，2)(1，)解析由题意可先判断出f(x)x22x(x1)21在(0，)上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f(x)在(，0)上单调递增，从而可比较2a2与a的大小，解不等式可求a的范围解：f(x)x22x(x1)21在(0，)上单调递增又f(x)是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f(x)在(，0)上单调递增f(x)在R上单调递增f(2a2)f(a)2a2a解不等式可得，2a1故选B.8(2015贵州遵义航天高级中学二模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是增函数，则有(B)Af()f()f()Bf(
6、)f()f()Cf()f()f()Df()f()f()解析因为f(x2)f(x)，所以T4，且关于x1对称，由奇函数和单调性得到f()f()f()故选B.二、填空题9(2017上海交通大学附属中学高三上学期摸底数学试题)函数f(x)为奇函数，则实数a的值为_1或1_.解析函数f(x)为奇函数，可得，化简即可得出结论解：函数f(x)为奇函数，a1或1.故答案为1或1.点拨本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题10(教材改编题)已知定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上是减函数若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是 1m.解析由偶函数的定义，得因为f(x)在区间0,2上是
7、减函数，所以0|m|1m|2，解得1m.11(2016江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中aR.若f()f()，则f(5a)的值是 .解析由题意可得f()f()a，f()f()|，则a，a，故f(5a)f(3)f(1)1.点拨注意周期性定义f(xT)f(x)在解题中的应用三、解答题12已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围答案(1)m2(2)(1,3解析(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以
8、m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,313设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x2)f(x)，当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2 018)的值答案(1)f(x)是以4为周期的函数(2)x26x8(3)1解析(1)因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，因此，f(x)是以4为周期的函数(2)x2,0时，x0,2，f(x)2xx2.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(2xx2)2xx2.
9、当x2,4时，x42,0，所以f(x4)2(x4)(x4)2.因为f(x)以4为周期，所以f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.(3)由(1)，(2)可知f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1，所以f(0)f(1)f(2)f(2018)504f(0)f(1)f(2)f(3)f(2 016)f(2 017)f(2 018)1.B组能力提升1(原创题)已知函数f(x)的定义域为(32a，a1)，且f(x1)为偶函数，则实数a的值可以是(B)A.B2C4D6 解析方法一：因为函数f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)，即函数f(x)关于x1对称，所以区间(32a，a1)关于
10、x1对称，所以1，既a2.方法二：由yf(x)定义域知yf(x1)，定义域为(22a，a)，且为偶函数，22aa0，a2.2(2017湖南省衡阳市八中高三第二次月考数学试题)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x5)f(x)，当x(0,5)时，f(x)x2x，则f(2016)(A)A12B16C20D0解析因为f(x5)f(x)，所以f(x10)f(x5)f(x)，f(x)的周期为10，因此f(2016)f(4)f(4)(164)12，故选A. 3(2016重庆市南开中学高三月考试题)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(3)，cf(0.20
11、.6)，则a，b，c的大小关系是(B)AcabBcbaCbcaDabc分析由f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，单调性在对称轴两侧相反，通过比较自变量的绝对值的大小，可得对应函数值的大小解析f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)，log47log21，|3|log231|log23，又2log24log23log21，020.6()0.650.6542，0.20.6|log2 3|log4 7|0.又f(x)在(，0上是增函数且为偶函数，f(x)在0，)上是减函数；f(0.20.6)f(3)f(log47)；即cba.故选：B.点拨本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用，解题的关键是总结出
12、函数的性质，由自变量的大小得出对应函数值的大小4设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_2_.解析易知f(x)1.设g(x)f(x)1，则g(x)是奇函数f(x)的最大值为M，最小值为m，g(x)的最大值为M1，最小值为m1，M1m10，Mm2.思路点拨直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解方法点评在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题5已知函数yf(x)在定义域1,1 上既是奇函数，又是减函数
13、.(1)求证：对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0.(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围. 答案(1)见解析(2)0,1)解析(1)若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上所述，对任意x1，x2、1,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)因为f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，所以由f(x)在定义域1,1上是减函数，得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1)
