1、十年高考分类解析与应试策略数学 第九章 直线、平面、简单几何体（A）考点阐释高考试卷中，立体几何考查的立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法，在中学数学教育中，通过这部分内容培养学生空间观念和公理化体系处理数学问题的思想方法，这又是考生进入高校所必须具备的一项重要的数学基础，因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力.多面体和旋转体是在空间直线与平面的理论基础上，研究以柱、锥、台、球为代
2、表的最基本的几何体的概念、性质、各主要元素间的关系、直观图画法、侧面展开图以及表面和体积的求法等问题.它是“直线和平面”问题的延续和深化.在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.近些年来即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距
3、离面积及体积.试题类编一、选择题1.（2003 京春文 11，理 8）如图 91，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点.将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为（）A.90B.60C.45D.02.（2003 上海春，13）关于直线 a、b、l 及平面 M、N，下列命题中正确的是（）A.若 aM，bM，则 abB.若 aM，ba，则 bMC.若 a M，b M，且 la，lb，则 lMD.若 aM，aN，则 MN3.（2002 北京春，2）已知三条直线 m、n、l，三个平面、.下面四个
4、命题中，正确的是（）A.B.mlm/lC./nmmnD.nmmn4.（2002 北京文，4）在下列四个正方体中，能得出 ABCD 的是（）图 915.（2002 上海，14）已知直线 l、m，平面、，且 l，m，给出下列四个命题：（1）若，则 lm（2）若 lm，则（3）若，则 lm（4）若 lm，则其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.46.（2002 京皖春，7）在ABC 中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图 92），若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A.29 B.27 C.25 D.23 7.（2002 京、皖、春，12）用一张钢板
5、制作一个容积为 4 m3 的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长宽的尺寸如选项所示，单位均为 m）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是（）A.25 B.25.5 C.26.1 D.358.（2002 全国文 8，理 7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（）A.43B.54C.53D.539.（2002 北京文 5，理 4）64 个直径都为 4a 的球，记它们的体积之和为 V 甲，表面积之和为 S 甲；一个直径为 a 的球，记其体积为 V 乙，表面积为 S 乙，则（）A.V 甲V 乙且 S 甲S 乙B.
6、V 甲V 乙且 S 甲S 乙C.V 甲=V 乙且 S 甲S 乙D.V 甲=V 乙且 S 甲=S 乙10.（2002 北京理，10）设命题甲：“直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，平面 ACB1 与对角面 BB1D1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 是正方体”.那么，甲是乙的（）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件11.（2002 全国理，8）正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1 的底面边长为 1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1 所成的角是（）A.90B.60C.45D.3012.（2001 上
7、海，15）已知 a、b 为两条不同的直线,、为两个不同的平面，且 a,图 92b，则下列命题中的假命题是（）A.若 ab，则B.若，则 abC.若 a、b 相交，则、相交D.若、相交，则 a、b 相交13.（2001 京皖春，11）图 93 是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM 与 ED 平行CN 与 BE 是异面直线CN 与 BM 成 60角DM 与 BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.B.C.D.14.（2001 全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的全面积是（）A.3B.3 3 C.6D.915.（2001 全国，11）一间民房的屋顶有如
8、图 94 三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3.图 94若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（）A.P3P2P1B.P3P2P1C.P3P2P1D.P3P2P116.（2001 全国，9）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB2 BB1，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为（）A.60B.90C.105D.7517.（2001 京皖春，9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30B.45C.60D.9018.（2000 上海，14）设有不同的直线 a、b 和不同的平面、，给出下列三个命
9、题：（1）若 a，b，则 ab（2）若 a，a，则（3）若，则其中正确的个数是（）A.0 B1 C2 D319.（2000 京皖春，5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球图 93的体积之比是（）A.13B.23C.12D.2920.（2000 全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（）A.2 3B.32C.6 D.621.（2000 全国文，12）如图 95，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）A.3 21B.21C.21D.4 2122.（20
10、00 全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A.221B.441C.21D.24123.（1999 全国，7）若干毫升水倒入底面半径为 2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A.6 3 cm B6 cm C.2 3 18 cm D.33 12 cm24.（1999 全国，12）如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为 12，那么 R 等于（）A.10 B.15 C.20 D.2525.（1999 全国理，10）如图
11、 96，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF=23，EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积是（）A.29B.5C.6 D.215图 95图 9626.（1998 全国，7）已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A.120B.150C.180D.24027.（1998 全国，9）如果棱台的两底面积分别是 S、S，中截面的面积是 S0，那么（）A.SSS02B.SSS0C.2S0SSD.S022SS28.（1998 全国，13）球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61，经过这 3
12、 个点的小圆的周长为 4，那么这个球的半径为（）A.4 3B.2 3C.2 D.329.（1998 上海）在下列命题中，假命题是（）A.若平面内的一条直线垂直于平面内的任一直线，则B.若平面内任一直线平行于平面，则C.若平面平面，任取直线 l，则必有 lD.若平面平面，任取直线 l，则必有 l30.（1997 全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A.202 B.252 C.50D.20031.（1997 全国，12）圆台上、下底面积分别为、4，侧面积为 6，这个圆台的体积是（）A.332B.2 3 C.637D.33732
13、.（1996 全国理，14）母线长为 1 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于（）A.322B.332C.2 D.36233.（1996 全国文 12，理 9）将边长为 a 的正方体 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BDa，则三棱锥 DABC 的体积为（）A.63aB.123aC.3123 aD.3122 a34.（1996 全国文 7，理 5）如果直线 l、m 与平面、满足：l，l，m 和 m，那么必有（）A.且 lmB.且 mC.m且 lmD.且35.（1996 上海，4）在下列命题中，真命题是（）A.若直线 m、n 都平行于平面，则 mnB.设l是直二面角，若直线 ml，则
14、mC.若直线 m、n 在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且 mn，则 n 在内或 n与平行D.设 m、n 是异面直线，若 m 与平面平行，则 n 与相交36.（1996 全国文，10）圆锥母线长为 1，侧面展开图的圆心角为 240，该圆锥的体积等于（）A.8122B.818 C.8154D.8110 37.（1995 全国文，10）如图 97，ABCDA1B1C1D1 是正方体，B1E1D1F1411BA，则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是（）A.1715B.21C.178D.2338.（1995 全国，4）正方体的全面积是 a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）A.32aB
15、.22aC.2a2D.3a239.（1995 上海，4）设棱锥的底面面积为 8 cm2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（）A.4 cm2B.22 cm2C.2 cm2D.2cm240.（1995 全国理，10）已知直线 l平面，直线 m 平面，有下面四个命题：lm；lm；lm；lm其中正确的两个命题是（）A.B.C.D.41.（1995 全国理，15）如图 98，A1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA=90，点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（）A.1030B.21C.1530D
16、.101542.（1994 全国，11）对于直线 m、n 和平面、，的一个充分条件是（）A.mn，m，nB.mn，m，n 图 97图 98C.mn，n，m D.mn，m，n43.（1994 上海，14）已知 a、b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线44.（1994 全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为（）A.32 3B.28 3C.24 3D.20 345.（1994 全国，13）已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 A
17、BBCCA2，则球面面积是（）A.916B.38C.4D.964 二、填空题46.（2003 京春理 13，文 14）如图 99，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 rR=.图 9947.（2003 上海春，10）若正三棱锥底面边长为 4，体积为 1，则侧面和底面所成二面角的大小等于（结果用反三角函数值表示）.48.（2002 上海春，12）如图 910，若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点M1、M2 与点 N1、N2，则三角形面积之比21212211ONONOMOMSSNOMNOM.若从点 O 所作的不在同
18、一平面内的三条射线 OP、OQ 和 OR 上，分别有点 P1、P2，点 Q1、Q2 和点 R1、R2，则类似的结论为.图 910 图 91149.（2002 京皖春，15）正方形 ABCD 的边长是 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的中点，将正方形沿 EF 折成直二面角（如图 911 所示）.M 为矩形 AEFD 内一点，如果MBE=MBC，MB 和平面 BCF 所成角的正切值为21，那么点 M 到直线 EF 的距离为.50.（2002 北京，15）关于直角 AOB 在定平面内的射影有如下判断：可能是 0的角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是 180的角.其中正确判断的序号是（注
19、：把你认为是正确判断的序号都填上）.51.（2002 上海春，10）图 912 表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF 和 GH 在原正方体中相互异面的有对.图 91252.（2002 上海，4）若正四棱锥的底面边长为 2 3 cm，体积为 4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.53.（2001 京皖春，16）已知 m、n 是直线，、是平面，给出下列命题：若，m，nm，则 n或 n；若，m，n，则 mn；若 m 不垂直于，则 m 不可能垂直于内的无数条直线；若m，nm 且 n，n，则 n且 n.其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.54
20、.（2001 春季北京、安徽，13）已知球内接正方体的表面积为 S，那么球体积等于55.（2001 全国理，13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥的侧面积是.56.（2000 上海春，9）若两个长方体的长、宽、高分别为 5 cm、4 cm、3 cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为_cm.57.（2000 上海春，8）如图 913，BAD90的等腰直角三角形ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，E 是 BC 的中点，则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为_.58.（2000 年春季北京、安微，18）在空间，下列命题正确的是_（
21、注：把你认为正确的命题的序号都填上）.如果两直线 a、b 分别与直线 l 平行，那么 ab.如果直线 a 与平面内的一条直线 b 平行，那么 a.如果直线 a 与平面内的两条直线 b、c 都垂直，那么 a.如果平面内的一条直线 a 垂直平面，那么.59.（2000 春季北京、安徽，16）如图 914 是一体积为 72 的正四面体，连结两个面的重心 E、F，则线段 EF 的长是_.60.（2000 全国，16）如图 915（1），E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是图 915（2）的（要求：图 913把可能的图的序号都
22、填上）.图 914图 915（1）图 915（2）61.（2000 上海，7）命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥命题 A 的等价命题 B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥62.（1999 全国，18）、是两个不同的平面，m、n 是平面及之外的两条不同直线.给出四个论断：mnnm以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.63.（1998 全国，18）如图 916，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形 ABCD 满足条件（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如 ABCD 是正方形、菱形等）时，有 A1
23、CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.64.（1998 上海）棱长为 2 的正四面体的体积为.65.（1997 全国，19）已知 m、l 是直线，、是平面，给出下列命题若 l 垂直于内的两条相交直线，则 l若 l 平行于，则 l 平行于内的所有直线若 m，l，且 lm，则若 l，且 l，则若 m，l，且，则 ml其中正确的命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.66.（1997 上海）圆柱形容器的内壁底半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降_ cm.67.（1996 上海，18）
24、把半径为 3 cm、中心角为 32 的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为cm3（结果保留）.68.（1996 上海，18）如图 917，在正三角形 ABC 中，E、F 依次是 AB、AC 的中点，ADBC，EHBC，FBC，D、H、G 为垂足，若将正三角形 ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥的体积为 V，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比值是.图 916图 917 图 91869.（1996 全国，19）如图 918，正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值是_.70.（1995 全国，17）已知圆台
25、上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为 3，则圆台的体积与球体积之比为_.71.（1995 上海理）把圆心角为 216，半径为 5 分米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器（不计焊缝），那么容器的容积是_.72.（1994 全国，19）设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥顶点到直线 AB的距离为 3，AB 和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为_.73.（1994 上海）有一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边长为 10 cm 的等边三角形，现在要在其整个表面上镀一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为 0.10 元，则需要的费用为_元（取 3.2）.三、解答题7
26、4.（2003 京春文，19）如图 919，ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱，侧棱长为 1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的中点.（）求三棱锥 D1DBC 的体积；（）证明 BD1平面 C1DE；（）求面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值.图 919图 92075.（2003 京春理，19）如图 920，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面边长为 22，侧棱长为 4.E，F 分别为棱 AB，BC 的中点，EFBD=G.（）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；（）求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d；（）求三棱锥 B1EFD1 的体积 V.76.（2002 京皖春
27、文，19）在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC=ACB=90，且 AC=BC=5，SB=5 5.（如图 921）（）证明：SCBC；图 921（）求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积 VSABC.77.（2002 京皖春理，19）在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=13，SB=29.（）证明：SCBC；（）求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求异面直线 SC 与 AB 所成的角的大小（用反三角函数表示）.图 922图 92378.（2002 全国文，19）四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PB
28、面 ABCD，如图 922 所示.（）若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 60，求这个四棱锥的体积；（）证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90.79.（2002 北京文，18）如图 923，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为 c，d 与 a，b，且 ac，bd，两底面间的距离为 h.（）求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的正切值；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面h 来计算.已知它的体积公式是 V=
29、6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断 V 估与 V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）80.（2002 北京理，18）如图 924，在多面体 ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 c，d 与 a，b，且 ac，bd，两底面间的距离为 h.（）求侧面 ABB1A1 与底面 ABCD 所成二面角的大小；（）证明：EF面 ABCD；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 V 估=S 中截面h来计算.已
30、知它的体积公式是 V=6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断 V 估与 V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）81.（2002 全国文，22）（）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；图 924（）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；图 92582.（2002 全国理，18）如图 926，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是
31、 1，而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a（0a2）.（）求 MN 的长；（）当 a 为何值时，MN 的长最小；（）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小.图 926图 92783.（2001 春季北京、安徽，19）如图 927，已知 VC 是ABC 所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影，且在ABC 的高 CD 上.ABa，VC 与 AB 之间的距离为 h，点 MVC.（）证明MDC 是二面角 MABC 的平面角；（）当MDCCVN 时，证明 VC平面 AMB；（）若M
32、DCCVN（0 2），求四面体 MABC 的体积.84.（2001 上海，19）在棱长为 a 的正方体 OABCOABC中，E、F 分别是棱AB、BC 上的动点，且 AEBF（）求证：AFCE；（）当三棱锥 BBEF 的体积取得最大值时，求二面角 BEFB 的大小（结果用反三角函数表示）85.（2001 全国理 17，文 18）如图 928，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中，ABC90，SA面 ABCD，SAABBC1，AD 21.（）求四棱锥 SABCD 的体积；（）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值.86.（2000 京皖春理 20,文 21）在直角梯形 ABCD 中
33、，如图 929，DBAD90，AD 21 ABa（如图（1），将ADC 沿 AC 折起，使 D 到 D，记面 ACD为，面 ABC图 928为，面 BCD为图 929（）若二面角AC为直二面角（如图（2），求二面角BC的大小；（）若二面角AB为 60（如图（3），求三棱锥 DABC 的体积87.（2000 全国理，18）如图 930，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60（）证明：C1CBD；（）假定 CD2，CC123，记面 C1BD 为，面 CBD 为，求二面角BD的平面角的余弦值；（）当1CCCD 的值为多少时，能使 A1C平面 C
34、1BD？请给出证明图 930图 93188.（2000 全国文，19）如图 931，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD（）证明：C1CBD；（）当1CCCD 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD?请给出证明89.（2000 上海，18）如图 932 所示四面体 ABCD 中，AB、BC、BD 两两互相垂直，且 ABBC2，E 是 AC 中点，异面直线 AD 与 BE 所成的角大小为 arccos 1010，求四面体ABCD 的体积图 932图 93390.（1999 全国文 22，理 21）如图 933，已知正四棱柱 ABCDA1B1
35、C1D1，点 E 在棱D1D 上，截面 EACD1B，且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45，ABa.（）求截面 EAC 的面积；（）求异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离；（）求三棱锥 B1EAC 的体积.91.（1998 全国理，23）已知如图 934，斜三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直，ABC90，BC2，AC2 3，且 AA1A1C，AA1A1C.（）求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小；（）求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离.图 934图 93592.（199
36、8 全国文，23）已知如图 935，斜三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直，ABC90，BC2，AC2 3，且 AA1A1C，AA1A1C.（）求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小；（）求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求侧棱 B1B 和侧面 A1ACC1 的距离.93.（1997 全国，23）如图 936，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD的中点.（）证明：ADD1F；（）求 AE 与 D1F 所成的角；（）证明：面 AED面 A1FD1；（）（理）设 AA12，求三棱锥 FA1ED1 的体积
37、11EDAFV.（文）设 AA12，求三棱锥 EAA1F 的体积FAAEV1.图 936图 93794.（1997 上海理）如图 937 在三棱柱 ABCABC中，四边形 AABB是菱形，四边形 BCCB是矩形，CBAB.（1）求证：平面 CAB平面 AAB；（2）若 CB=3，AB=4，ABB=60，求 AC与平面 BCC所成的角的大小（用反三角函数表示）.95.（1996 上海，21）如图 938，在二面角l中，A、B，C、Dl，ABCD为矩形，P，PA，且 PAAD，M、N 依次是 AB、PC 的中点.（1）求二面角l的大小；（2）求证：MNAB；（3）求异面直线 PA 与 MN 所成角
38、的大小.图 938图 93996.（1995 全国文 24，理 23）如图 939，圆柱的轴截面 ABCD 是正方形，点 E 在底面的圆周上，AFDE，F 是垂足.（）求证：AFDB；（）（理）如果圆柱与三棱锥 DABE 的体积比等于 3，求直线 DE 与平面 ABCD所成的角.（文）求点 E 到截面 ABCD 的距离.97.（1995 上海，23）如图 940，四棱锥 PABCD 中，底面是一个矩形，AB3，AD1，又 PAAB，PA4，PAD60.（）求四棱锥 PABCD 的体积；（）求二面角 PBCD 的大小（用反三角函数表示）.图 940图 94198.（1994 全国，23）如图 9
39、41，已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱，D 是 AC 中点.（）证明：AB1平面 DBC1；（）（理）假设 AB1BC1，求以 BC1 为棱的 DBC1 与 CBC1 为面的二面角的度数.（文）假设 AB1BC1，BC2，求线段 AB1 在侧面 B1BCC1 上的射影长.99.（1994 上海，23）如图 942 在梯形 ABCD 中，ADBC，ABC 2，ABa，AD3a，且ADCarcsin 55，又 PA平面ABCD，PA=a.求（1）二面角 PCDA 的大小（用反三角函数表示）.（2）点 A 到平面 PBC 的距离.图 942答案解析1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图 943
40、 所示.HG 与 IJ 为一对异面直线.过点 D 分别作 HG 与 IJ 的平行线，即 DF 与 AD.所以ADF 即为所求.因此，HG 与 IJ 所成角为 60.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：D解析：A 选项中，若 aM，bM，则有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面.B 选项中，b 可能在 M 内，b 可能与 M 平行，b 可能与 M 相交.C 选项中须增加 a 与
41、b 相交，则 lM.D 选项证明如下：aN，过 a 作平面与 N 交于 c，则 ca，cM.故 MN.评述：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质.3.答案：D解析：垂直于同一平面的两直线必平行，因此选 D.评述：判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如 A，因为、有两种位置关系，在与相交情况下，仍有r，r.因此，是错误的.4.答案：A解析：CD 在平面 BCD 内，AB 是平面 BCD 的斜线，由三垂线定理可得 A.5.答案：B解析：（1）、（4）是正确命题.因为，l，l.又 m，lm.因为 lm，l，m，.6.答案：D解析：如图 944
42、，该旋转体的体积为圆锥 CADE 与圆锥 BADE体积之差又求得 AB=123133125331ADEBADECVVV7.答案：C解析：设该长方体水箱的长、宽、高分别为 x、y、z，xyz=4原长方形中用于制作水箱的部分的长、宽应分别为 x+2z，y+2z（如图 945 中（2）所示）从而通过对各选项的考查，确定 C 答案.图 9458.答案：C图 943图 944解析：如图 946，作出轴截面，设公共底面圆的半径为 R，圆锥的高为 hV 锥=31 R2h，V 半球=21 43 R3V 锥=V 半球，h=2Rtan=21cos=53411411tan1tan1229.答案：C解析：V 甲=64
43、 34（4a 21）3=61 a3，S 甲=644（4a 21）2=4a2V 乙=34（a21）3=61 a3，S 乙=4（a21）2=a2V 甲=V 乙，S 甲S 乙.10.答案：C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时.若命题乙成立，命题甲一定成立.11.答案：B解析：连结 FE1、FD，则由正六棱柱相关性质得 FE1BC1.在EFD 中，EF=ED=1，FED=120，FD=3.在 RtEFE1 和 RtEE1D 中，易得 E1F=E1D=3.E1FD 是等边三角形.FE1D=60.BC1 与 DE1 所成的角为 60.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求
44、法.12.答案：D解析：ab，a，b，又b，a，a或 a又bba若，则 ab若、相交，则 a、b 可能相交也可能异面，显然 D 不对.13.答案：C解析:展开图可以折成如图947的正方体,由图可知不正确.图 947图 947正确.14.答案：A解析：S21 absin21 a2sin60 3a24，a2，a=2rr1S 全2rr22315.答案：D解析：由 S 底S 侧cos可得 P1P2而 P3cos)(2)cossin(22121SSSS又2（S1S2）S 底P1P 2P 316.答案：B解析：如图 948，D1、D 分别为 B1C1、BC 中点，连结 AD、D1C，设 BB11，则 AB
45、2，则 AD 为 AB1 在平面 BC1 上的射影，又32cos,22,3311BCBCBCCBDBEDE2BE2BD22BEBDcosC1BC6132223322131而 BE2DE2216131BD2BED90AB1 与 C1B 垂直17.答案：C解析：设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，依条件则有 2rl，如图 94921lr，即ASO30，因此圆锥顶角为 60.18.答案：A解析：（1）如果 a，b 是平面 M 中的两条相交直线，面 M，有 a，b，但 ab，所以（1）错（2）如果b，而 ab，有 a，a，但，所以（2）错（3）如果b，而 b，有，但，（3）错19.答案：C解析：设圆锥
46、的底面半径为 R，则 V 圆锥 32 R3，V 球 34 R3，图 948图 949V 圆锥V 球1220.答案：D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1，b2，c 3，则对角线 l 的长为l=6222cba21.答案：D解析：如图 950，由题意知，31 r2h 61 R2h，r2R 又ABOCAO，ROAOAr，OA2rR422,2ROAR，cos4 21ROA22.答案：A解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题设知 h=2r.S 全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S 侧=h2=42r2，221侧全SS.评述：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识.23.答案
47、：B解析：设水面半径为 x cm，则水面高度为 3 x cm则由已知得：226 31 x2 3 x（3 x）363，3 x6.评述：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力.24.答案：D解析：由已知得中截面圆的半径 r25R.设圆台的母线长为 l，则中截面截圆台所得上面小圆台的母线长 l 2l，且上面小圆台的侧面积 S与圆台侧面积 S 之比为 13，由圆台侧面积公式得：图 95031)5(21)255(lRRSS，解得 R=25评述：本题主要考查圆台及其侧面积公式，立足课本，属送分题.25.答案：D解析：连 EB、EC.四棱锥 EABCD 的体积 VEABCD=31 322=6.由于
48、 AB=2EF，EFAB，所以 SEAB=2SBEFVFEBC=VCEFB=21 VCABE=21 VEABC=21 21 VEABCD=23多面体 EFABCD 的体积 VEFABCD=VEABCD+VFEBC=6+21523.此题也可利用 VEFABCDVEABCD=6.故选 D.评述：本题考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力.26.答案：C解析：设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，由已知得：r2rl3r221 lr，lr 2.评述：本小题考查圆锥的概念、性质及侧面积公式.侧面展开是立体问题平面化的重要手段应引起广大考生的注意.27.答案：A解析：设该棱台为正棱台来解即可.评述：
49、本题考查棱台的中截面问题.根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.28.答案：B解析：设球心为 O，由题设知三棱锥 OABC 是正四面体，且ABC 的外接圆半径是 2，设球半径为 R，则 33 R2，R2 3.29.答案：C解析：A 中直线 l，l，所以，A 为真命题.B 中，在内取两相交直线，则此二直线平行于，则，B 为真命题.D 为两平面平行的性质，为真命题.C 为假命题，l 只有在垂直交线时才有 l，否则 l 不垂直.故选 C.评述：本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的判定和性质.30.答案：C解析：长方体的对
50、角线长等于球的直径，于是（2R）2324252，R2 225，则 S 球4R24 225 50.评述：本题考查长方体、球的有关概念和性质.31.答案：D解析：由已知圆台的上、下底面的半径分别为 1、2.由（12）l6，得母线 l=2，高 h3122，其体积 V 31 3（42）337.32.答案：D解析：设圆锥底面半径为 r，高为 h，则 2r，h21r，V 31 r2h 31 r221r，于是)22(29)1(9222222222rrrrrrV2788)322(2922222rrr，当 r222r2，即 r32 时，圆锥体积最大，此时 2r236232.33.答案：D解析：设 AC 与 BD
51、 交点为 E，先可判断出BDE 是直角三角形，于是 VDABC32122222131aa.34.答案：A解析：由已知有mm，又lmml，所以选 A.评述：本题考查两个定理，即面面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理.要求对这些定理有较深理解，需学生有比较好的构图能力及空间想象力.才能很快地从 4 个选项中选出答案来，此题属于考查基础知识、基本定理的题.35.答案：C解析：A 显然错误，此时 m 与 n 可能平行，也可能相交或异面；B 也是错误的，当 ml，且 m 时，才有 m；D 也错误，因 m 与 n 异面，m 与平行，n 与可能相交，也可能平行，也可能在平面内；故应选 C.36.答案：C解析
52、：设圆锥的底面半径为r,圆锥母线长为1.又侧面展开图圆心角为240,240=34,得 34 1=2r，r=32.得圆锥的高 h=35)32(12 所以，V 圆锥=31 r2h=8154.37.答案：A解析：这是两条异面直线所成角的问题，如图 951 将 DF1 平移至 AG1，A1G1411BA，再将 AG1 平移至 EE1，其中 AE 2AB，B1E1411BA，BE1E 即是异面直线 BE1 与 DF1 所成的角.设正方体棱长为 l，可求得 EE1BE14171611，EB21，在BEE1 中由余弦定理得cosBE1E17154174172411617161721122121EEBEBEE
53、EBE故应选 A.评述：利用直线平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，将空间图形问题转化为平面图形问题来解决.“转化”是一种重要的数学思想，这种思想在近几年的试题里明显地、有意识地进行了考查.38.答案：B解析：由已知正方体的对角线是球的直径，设正方体棱长为 x，球半径为 R，则4223622aRRxax，于是球的表面积 S4R24216222aa.39.答案：C解析：中截面的面积应是底面面积的 41，即 2 cm2.40.答案：D解析：是正确的，l，则 l，又 m，所以 lm；也是正确的，l，ml，则 m，又 m，所以；中，l 与 m 可能相交或异面；中，与可能相交，只有和正确.故选
54、D.41.答案：A解析：BD1 与 AF1 是两条异面直线.连结 D1F1，又在 BC 上取中点 E，连结 EF1，则图 951BED1F1，且 BE=D1F1，所以 F1ED1B.因此，F1A 与 F1E 所成的角就是 BD1 与 AF1 所成的角.设 BC=CA=CC1=1，于是在AF1E 中，可求得 F1A=25，F1E=D1B=26，EA=25，由余弦定理可得：cosEF1A=1030.故选 A.42.答案：C解析：因为 mn，n，因此 m，又由 m，所以.故应选 C.评述：通过画图判断 A、B、D 不成立.选 C.本题需要综合灵活运用基础知识，是对能力有较高要求的题目.解答本题需要用
55、到课本的知识.解题时首先应将符号语言翻译成文字语言，弄懂题意，搞清选择肢的内容，然后画出相应的图形，也就是将文字语言翻译成图形语言帮助思考.43.答案：C解析：由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc 则 ab 与已知 a、b 为异面直线相矛盾，故应选 C.44.答案：B解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上6 43 226 3，S 下6 43 4224 3，V 台328)(31下下上上SSSSh.45.答案：D解析：如图 952，设过 A、B、C 三点的截面和球的半径分别为 r、R.截面圆心、球心分别为 O、O.由已知 ABBCCA2，r33222
56、332，OO 21 R，由 R2r2OO2，得 R222)21()332(R，解得 R2 916，S 球4r2 964.评述：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式.46.答案：332图 952解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加R2r.恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有 34 r3=R2r.故332rR.评述：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.47.答案：arctan 83解析：设棱锥的高为 h，如图 953，则 V=31 44sin60h=1，h=43.D 为 BC 中点，OD=31 AD=31 23 4=332.易证PDO 为侧面与底面所成二面角的
57、平面角tan=8333243ODPO.故=arctan 83评述：本题考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算.48.答案：222111222111OROQOPOROQOPVVRQPORQPO解析：212121222111222111OROROQOQOPOPVVVVQOPRQOPRRQPORQPO评述：用类比思想思考问题在试题中多次出现.49.答案：22解析：过 M 作 MOEF，交 EF 于 O，则 MO平面 BCFE.如图 954，作 ONBC，设 OM=x，又 tanMBO=21，BO=2x又 SMBE=21 BEMBsinMBE=21 BEMESMBC=21 BCMBsinM
58、BC=21 BCMN图 953图 954ME=MN，而 ME=152 x，MN=12 x，解得 x=22.50.答案：解析：直角 AOB 在平面的射影为直线 l，如图 955 所示.因此，判断是正确的.图 955 图 956 图 957 直角 AOB 在平面的射影为ASB，ASB 为锐角，如图 956.因此，判断是正确的.直角 AOB 在平面的射影为 AOB而 AOB为直角，如图 957，因此判断是正确的.判断、如图 958 分析.图 958评述：这是考核空间想象能力的一个较好问题.51.答案：3解析：如图 959 所示，相互异面的线段有 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH3 对.
59、图 959图 96052.答案：30解析：如图 960，作 BC 边中点 M，VMBC过 V 作 VO底面 ABCDVOMO，MOBC，VMO 为其侧面与底面所成二面角的平面角V 锥=31 SABCDVO4=31（2 3）2VO，VO=1又OM=3232，VOMO，VMO=30侧面与底面所成的二面角为 30.53.答案：解析：n 与相交或 n 与相交，不正确mb，b，但 m 不垂直于.在内有无数条与 b 垂直的直线m 可以垂直内无数条直线.不正确54.答案：242SS解析：设球的半径为 R，正方体的边长为 a.（2R）23a2又6a2S3a2 2S4R2 2SR42S又球的体积为 V 34 R
60、 3V242)42(343SSS55.答案：2解析：设母线为 a，半径为 r.21 a2sin60 3a2，2ra，r1S 侧2ra 21 2.56.答案：5 5解析：可组成三个大长方体，其中对角线最长的为553410222（cm）57.答案：45解析：过点 A 作 AFBD 于 F，则 AF面 BCD，AEF 为所求的角设 BDa，则AF 2a，EF 2a，在 RtAEF 中，AEF4558.答案：解析：有可能 a，所以不正确，若 bc，则 a 不一定垂直.不正确，只有、正确.59.答案：22解析：设正四面体的边长为 a，则 EF 3a，V 正四面体 122 a372a62，EF22 60.
61、答案：解析：面 BFD1E面 ADD1A1，所以四边形 BFD1E 在面 ADD1A1 上的射影是，同理，在面 BCC1B1 上的射影也是过 E、F 分别作 DD1 和 CC1 的垂线，可得四边形 BFD1E 在面 DCC1D1 上的射影是，同理在面 ABB1A1，面 ABCD 和面 A1B1C1D1 上的射影也是61.答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等）解析：要使命题 B 与命题 A 等价，则只需保证顶点在底面上的射影 S 是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等62.答案：m，n，mn 或 mn，m，n评述：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质.但题型较新颖
62、，主要表现在：题目中以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体.考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向.63.答案：ACBD64.答案：322解析：如图 961，底面三角形 BCD 的面积 S=3，设 O 是BCD 的中心，则 OB=33 2=332，棱锥 ABCD 的高h=AO=3822OBAB.所以正四面体的体积 V=32231Sh.65.答案：解析：由直线与平面垂直的判定定理知正确；由平面与平面垂直的判定定理知正确.评述：本题是需要综合灵活运用基础知识，对学生能力有较高的要求.
63、数学语言包括符号语言、文字语言和图形语言.需要进行这三种语言的互译，弄懂题意，搞清选择肢的内容，然后画出图形，用图形帮助思考选择.66.答案：35解析:设取出小球后,容器水面将下降 h cm.两小球体积为 V 球=2 34（25）3=3125，图 961此体积即等于它们在容器中排开的水的体积 V1，V1=52h，V1=V 球，即 25h=3125.h=35cm.67.答案：322解析：扇形弧长 L3 32 2 cm，设卷成圆锥的底面半径为 r，则 2r2，r1 cm，高 h221322cm，于是 V 31 1223222 cm3.68.答案：85解法一：设正三角形边长为 2，其高 AD 3，旋
64、转半径 BD1，V 31 1 3 33.又 EF1，HD 21，HE 23，则 HGEF 旋转所得圆柱的体积 V1（21）28323.由阴影部分产生的旋转体的体积85,2435212VVVVV.故由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比是 85.解法二：设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则圆柱的高为 2h，底面圆半径为 2r，则85831312)2(1122hrhrVVVVV柱柱评述：本题主要考查旋转体的有关知识，以及空间想象能力和计算能力.69.答案：42解析：设正方形边长为 1，可得 FD1，FC2，BF2，又 BC1，在CBF中，由余弦定理得 cosCBF42212221.评述：本小题
65、用了“转化”的数学思想，即两异面直线所成角转化成两相交直线所夹的角，在原图的基础上再构造空间图形.这需要学生有较强的空间想象能力和综合运用知识的能力.70.答案：7 3 32解析：如图 962，是圆台和半球的截面图，设球的半径为 R，由题中已知条件可得 OBOCBCR，CE23R，CDR，于是圆台的体积为V圆台3222437)24(2331RRRRRR，又球的体积 V球 34 R3，所以323734243733RRVV球圆台.71.答案：37.70解析：设焊成的圆锥形容器的半径为 r，高为 h，依题意，得 216=5r 360，r=3，h=2235=4.V 圆锥=31 r2h=31 3.143
66、2437.70评述：本题考查圆锥的概念及侧面展开图的扇形圆心角的计算.72.答案：322解析：如图 963，取 AB 的中点 M，连 SM、OM，则 SMAB，OMAB，又 OMOS，所以 OM 是 AB 与圆锥的轴的距离，OM1，SM 3，SO2，AO222 AMOM.体积 V3222)2(31312Sh.图 962图 963评述：重点考查圆锥、圆锥的体积、异面直线的距离及三垂线定理的应用.73.答案：24解析：因为圆锥体的轴截面是边长为 10 cm 的等边三角形，所以母线 l=10 cm，底面半径 r=5 cm，S 圆锥全=rl+r2=3.2（50+25）=240（cm2）因此，需要费用为
67、 0.10240=24 元.评述：本题考查圆锥体的表面积的计算，以及解决实际问题的能力.74.（）解：DBCDV1=2131 221=32.（）证明：记 D1C 与 DC1 的交点为 O，连结 OE.O 是 CD1 的中点，E 是 BC 的中点，EOBD1，BD1 平面 C1DE，EO 平面 C1DE.BD1平面 C1DE.（）解：过 C 作 CHDE 于 H，连结 C1H.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，C1C平面 ABCD，C1HDE，C1HC 是面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的平面角.DC=2，CC1=1，CE=1.CH=52121222DECECDtanC1HC=25
68、1CHCC.即面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值为 25.评述：本题考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.75.（）证法一：连接 AC.正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是正方形.ACBD，又 ACD1D，故 AC平面 BDD1B1E，F 分别为 AB，BC 的中点，故 EFAC，EF平面 BDD1B1平面 B1EF平面 BDD1B1.证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.平面 B1EF平面 BDD1B1.（）解：在对角面 BDD1B1 中，作 D1HB1G，垂足为 H平面 B1EF平面 BDD1B1，且平面 B1EF平面 BDD1
69、B1=B1G，D1H平面 B1EF，且垂足为 H，点 D1 到平面 B1EF 的距离 d=D1H.解法一：在 RtD1HB1 中，D1H=D1B1sinD1B1H，D1B1=2 A1B1=4.sinD1B1H=sinB1GB=1741442211GBBB，d=D1H=4.171716174解法二：D1HBB1BG，GBBDBBHD11111d=D1H=171716121GBBB.解法三：如图 964，连接 D1G，则三角形 D1GB1 的面积等于正方形 DBB1D1 面积的一半.即21 B1GD1H=21 BB12.d=171716.（）311111EFBDEFDBVVVd3161722117
70、16311EFBS.评述：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力.并进行一定的逻辑推理.在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算.76.（）证明：SAB=SAC=90，SAAB，SAAC.又 ABAC=A，SA平面 ABC.由于ACB=90，即 BCAC，由三垂线定理，得 SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角.在 RtSCB 中，BC=5，SB=5 5.得 SC=22BCSB=10在 RtSAC 中 AC=5，SC=10，cosSCA=21105 SCACSCA=60，即侧面 SBC 与底面 AB
71、C 所成的二面角的大小为 60.（）解：在 RtSAC 中，SA=755102222 ACSC.SABC=21 ACBC=21 55=225.VSABC=31 SACBSA=631257522531.77.（）同上题（）.（）解：BCAC，SCBC，SCA 是侧面 SCB 与底面 ABC 所成二面角的平面角.在 RtSCB 中，由 BC=13，SB=29，得SC=132922 BCSB=4.图 964在 RtSAC 中，由 AC=2，SC=4，得 cosSCA=2142 SCAC.SCA=60，即侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 60.（）解：过点 C 作 CDBA，过点 A
72、作 BC 的平行线交 CD 于 D，连结 SD，则SCD是异面直线 SC 与 AB 所成的角.如图 965.又四边形 ABCD 是平行四边形，DC=AB=1722 BCAC，SA=3222 ABSB，SD=2222BCSAADSA=5.在SCD 中，cosSCD=,171717425)17(42222222DCSCSDDCSCSC 与 AB 所成的角的大小为 arccos 1717.78.（）解：PB面 ABCD，BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影.又 DAAB，PADA，PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角如图 966，PAB=60.而 PB 是四棱锥 PABCD
73、 的高，PB=ABtan60=3 a，V 锥=331aa2=33 a3.（）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形.作 AEDP，垂足为 E，连结 EC，则ADECDE，AE=CE，CED=90，故CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角.设 AC 与 DB 相交于点 O，连结 EO，则 EOAC，22 a=OAAEAD=a.在AEC 中，cosAEC=0)2)(2(2)2(2222AEOAAEOAAEECAEOAECAE.所以，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90.79.（）解：过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面，交底面
74、于 PQ，过 B1 作 B1GPQ，垂足为 G.如图 967平面 ABCD平面 A1B1C1D1，图 965图 956图 967A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1HPQ，垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角大小相等，故四边形B1PQC1 为等腰梯形.PG=21（bd），又 B1G=h，tanB1PG=dbh2（bd），即所求二面角的正切值为dbh2.（）V 估V.证明：ac，bd，VV 估=hdbcadbcaabcdh22)224(6=12h 2cd+2ab+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=12h（ac）（bd）0.V
75、 估V.80.（）解：过 B1C1 作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于 PQ，过 B1 作 B1GPQ，垂足为 G.如图 968平面 ABCD平面 A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG 为所求二面角的平面角.过 C1 作 C1HPQ，垂足为 H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形 B1PQC1 为等腰梯形.PG=21（bd），又 B1G=h，tanB1PG=dbh2（bd），B1PG=arctandbh2，即所求二面角的大小为 arctandbh2.（）证明：AB，CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有 ABCD，又 CD 是面 ABCD 与面
76、 CDEF 的交线，图 968AB面 CDEF.EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线，ABEF.AB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外，EF面 ABCD.（）V 估V.证明：ac，bd，VV 估=hdbcadbcaabcdh22)224(6=12h 2cd+2ab+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=12h（ac）（bd）0.V 估V.评述：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际
77、意义的问题.考查了考生继续学习的潜能.81.解：（）如图 969 中图 1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.如图 969 中图 2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的 41，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.图 969（）依上面剪拼的方法，有 V 柱V 锥.推理如下：设给出正三角形纸片的边长为 2，那么，正三棱柱与正三棱锥的底面都是边长为 1 的正三角形，其面积为 43.现在计算它们的高：.6330tan21,36)2332(12柱锥hhV 锥V 柱=（31
78、 h 锥h 柱）02432243)6396(43，所以，V 柱V 锥.评述：本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，这是高考改革今后的命题方向.82.解：（）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连结 PQ，依题意可得 MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形，如图 970MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，AC=BF=2，21,21aBQaCP.即 CP=BQ=2a.MN=PQ=2222)2()21()1(aaBQCP21)22(2 a（0a2）.（）由（），MN=21)22(2 a，所
79、以，当 a=22 时，MN=22.即 M、N 分别移动到 AC、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为 22.（）取 MN 的中点 G，连结 AG、BG，如图 971AM=AN，BM=BN，G 为 MN 的中点AGMN，BGMN，AGB 即为二面角的平面角，又 AG=BG=46，所以，由余弦定理有cos=31464621)46()46(22.图 970图 971故所求二面角=arccos（31）.评述：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理和几何计算交错为一体；以两个垂直的正方形为背景，加强空间想象能力的考查.体现了立体几何从考查、论证和计算为重点，转到既考查空间概念，又考
80、查几何论证和计算.但有所侧重，融论证于难度适中的计算之中.反映教育改革趋势，体现时代发展潮流.此外解答过程中，必须引入适当的辅助线，不仅考查识图，还考查了基本的作图技能.充分体现了“注重学科之间的内在联系”，较为深入和全面考查各种数学能力.83.（）证明：CDAB，VN平面 ABC，AB 平面 ABC，VNAB.又CDVNN平面 VNCAB又MD 平面 VNCMDABMDC 为二面角 MMABC 的平面角.如图 972（）证明：VC 平面 VCN，ABVC又在VCN 和CDM 中，CVNMDC，VCNVCNDMCVNC90.DMVC又ABDMD，AB、DM 平面 AMBVC平面 AMB（）解：
81、MDAB 且 MDVC，MD 为 VC 与 AB 的距离为 h.过 M 作 MECD 于 EVMABC21 ABCDME6131 ah2tan84.（）证明：连结 OF、CE、AO.如图 973AEBFEBCFOCCBOCFCBEOCFCEBECBFOC，OFCE又CC平面 ACCEOFCEOF又EB平面 BC，CBBCCEBC又AOBCCEAO又AOOFOCEAOCEOFAO平面 ACOAF 平面 ACOAFCE（）解：设 EBy，BFx，边长为 a，则 xya，三棱锥 BBEF 的体积32241)2(661ayxaxyaV当且仅当 xy 2a 时等号成立.因此，三棱锥 BBEF 的体积取得
82、最大值时 BEBF 2a.图 972图 973过 B 作 BDEF 交 EF 于 D，连 BD，可知 BDEFBDB 是二面角 BEFB 的平面角在 RtBEF 中，直角边 BEBF 2a，BD 是斜边上的高.BD 42 a，tanBDB22BDBB二面角 BEFB 的大小为 arctan2285.解：四棱锥 SABCD 中 ABCD 为直角梯形.又BCABADAB又SA面 ABCDSAABSAAD又ADAB，ADSA，ABSAAAD平面 SAB（）VSABCD 31 SASABCDSABCD21（ADBC）ABAB1 BC1 AD21SABCD 21（21 1）1 43SSABCD 31 1
83、 43 41（）延长 CD、BA 交于点 E，连结 SE，SE 即平面 CSD 与平面 BSA 的交线.又DA平面 SAB，过 A 点作 SE 的垂线交于 F.如图 974.AD 21 BC 且 ADBCADEBCEEAABSA又SAAESAE 为等腰直角三角形，F 为中点，222221SASEAF又DA平面 SAE，AFSE由三垂线定理得 DFSEDFA 为二面角的平面角图 974tanDFA22FADA即所求二面角的正切值.评述：欲求二面角的大小应遵循“构造证明计算”的步骤行事，这里首要的一步且先“出现两个面的交线（棱）”否则构造难以实行.86.解：（）在直角梯形 ABCD 中，由已知DA
84、C 为等腰直角三角形，如图 975AC2 a，CAB45过 C 作 CHAB，由 AB2a，可推得 ACBC2 aACBC取 AC 的中点 E，连结 DE，则 DEAC又二面角AC为直二面角，DE又BC 平面，BCDE，BC，而 DC BCDCDCA 为二面角BC的平面角由于DCA45，二面角BC为 45（）取 AC 的中点 E，连结 DE，再过 D作 DO，垂足为 O，连结 OE，ACDE，ACOE，DEO 为二面角AC的平面角，如图 976DEO60在 RtDOE 中，DE2221ACa，DO=22 asin60=46 aVDABC 31 SABCDO 31 21 ACBCDO312646
85、2261aaaa评述：本小题主要考查空间线面关系及运算、推理、空间想象能力87.（）证明：连结 A1C、AC，AC 和 BD 交于 O，连结 C1O图 975图 976四边形 ABCD 是菱形，如图 977ACBD，BCCD又BCC1DCC1，C1CC1C，C1BCC1DC，C1BC1D，DOOB，C1OBD但 ACBD，ACC1OOBD平面 AC1，又 C1C 平面 AC1，C1CBD（）解：由（）知 ACBD，C1OBD，C1OC 是二面角BD的平面角在C1BC 中，BC2，C1C 23，BCC160，C1B222（23）222 23 cos60 413 OCB30，OB21 BC1C1O
86、2C1B2OB2 413 149，C1O 23 即 C1OC1C作 C1HOC，垂足为 H点 H 是 OC 的中点，且 OH 23，所以 cosC1OC331OCOH（）当1CCCD 1 时，能使 A1C平面 C1BD证法一：1CCCD 1，BCCDC1C又BCDC1CBC1CD，由此可推得 BDC1BC1D三棱锥 CC1BD 是正三棱锥设 A1C 与 C1O 相交于 G图 977A1C1AC，且 A1C1OC21，C1GGO21又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线，点 G 是正三角形 C1BD 的中心，CG平面 C1BD即 A1C平面 C1BD证法二：由（）知，BD平面
87、 AC1，A1C 平面 AC1，BDA1C，当1CCCD 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同 BDA1C 的证法可得 BC1A1C，又 BDBC1B，A1C平面 C1BD评述：本题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力88.（）与 87.（）相同，（）与 87.（）相同.89.解：过 A 引 BE 的平行线，交 CB 的延长线于 F，DAF 是异面直线 BE 与 AD 所成的角，如图 978.DAFarccos 1010，E 是 AC 的中点，B 是 CF 的中点，AF2BE22 又 BF，BA 分别是 DF，DA 的射影，且 BFBCBA，DFDA.三角形 ADF 是等腰
88、三角形，AD20cos12DAFAF故 BD22ABAD 4，又 VABCD 61 ABBCBD，因此四面体 ABCD 的体积是 38 评述：本题主要考查两异面直线所成的角、射影定理、向量的乘法、锥体的体积公式、空间想象能力及灵活运用所学知识处理解决问题的能力90.解：（）如图 979，连结 DB 交 AC 于 O，连结 EO.底面 ABCD 是正方形，DOAC又ED底面 AC，EOACEOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角，EOD45图 978图 979DO 22 a，AC2 a，EO 22 asec45a，故 SEAC=21 EOAC 22 a2（）由题设 ABCDA1B1
89、C1D1 是正四棱柱，得 A1A底面 AC，A1AAC又 A1AA1B1，A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线.D1B面 EAC，且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO，D1BEO，又 O 是 DB 的中点E 是 D1D 的中点，D1B2EO2a.D1D2221 DBBDa异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为2 a.（）解法一：如图 980，连结 D1B1D1DDB2 a，BDD1B1 是正方形.连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q.B1DD1B，EOD1B，B1DEO又 ACEO，ACEDAC面 BDD1B1，B1DAC，B1D面 EACB1Q 是三棱锥
90、B1EAC 的高.由 DQPQ，得 B11 43 B1D 23 a32422322311aaaVEACB所以三棱锥 B1EAC 的体积是 42 a3.解法二：连结 B1O，则112EOBAEACBVVAO面 BDD1B1，AO 是三棱锥 AEOB1 的高，AO 22 a.在正方形 BDD1B1 中，E、O 分别是 D1D、DB 的中点（如图 980），则图 9802431aS EOB.324222433121aaaVEACB.所以三棱锥 B1EAC 的体积是 42 a3评述：本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.91.解：（）作 A1DAC，垂足
91、为 D，由面 A1ACC1面 ABC，得 A1D面 ABCA1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角.AA1A1C，AA1A1C，A1AD45为所求.（）作 DEAB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D面 ABC，得 A1EAB，A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得 EDBC.又 D 是 AC 的中点，BC2，AC2 3，DE1，ADA1D 3，tanA1ED31DEDA故A1ED60为所求.（）解法一：由点 C 作平面 A1ABB1 的垂线，垂足为 H，则 CH 的长是 C 到平面 A1ABB1的距离.连结 HB，由于 ABBC，得 ABH
92、B.又 A1EAB，知 HBA1E，且 BCED，HBCA1ED60.CHBCsin60 3 为所求.解法二：连结 A1B.根据定义，点 C 到面 A1ABB1 的距离，即为三棱锥 CA1AB 的高 h.由DASSVVABCBAAABCAABAC13131111得锥锥，即322312231h.h 3 为所求.评述：本题重点考查棱柱、直线与平面所成的角、二面角等概念.能力方面主要考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力.本题（）的解法二用体积法求出点到面的距离.其优点是不会由于证明过程中叙述不当而被扣分.只要计算准确，就可以得到满分；另外较之方法一思维也要简单，在解法一中要判断出 BHA1E；D
93、EA1CBH，这需要较好的空间想象能力和逻辑推理能力.由此可见，一些数学问题的一些特殊解法往往使思维、推导、运算得以大大简化.92.解：如图 981，（）作 A1DAC，垂足为 D，由面 A1ACC1面 ABC，得 A1D面 ABCA1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角.AA1A1C，AA1A1C，A1AD45为所求.（）作 DEAB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D面 ABC，得 A1EAB.A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角.由已知，ABBC，得 EDBC.又 D 是 AC 的中点，BC2，AC2 3，DE1，ADA1D 3，tanA1ED DEDA1
94、 3.故A1ED60为所求.（）作 BFAC，F 为垂足，由面 A1ACC1面 ABC，知 BF面 A1ACC1.B1B面 A1ACC1，BF 的长是 B1B 和面 A1ACC1 的距离.在 RtABC 中，AB2222 BCAC，BF362ACBCAB为所求.评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.93.（）证明：1111CDDFDCDDADDDADDCAD面面ADD1F；（）解：如图 982，取 AB 中点 G，连 A1G、FG，因为 F 是 CD 中点，所以 CFAD，又 A1D1AD，所以
95、 GFA1D1，故 GFD1A1 是平行四边形，A1GD1F.设 A1G 与 AE 交于点 H，则AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角，因 E 是 BB1 中点，所以 RtA1AGRtABE，GA1AGAH，从而AHA190，即直线 AE 与 D1F 所成角为直角.（）证明：由（）知 ADD1F，由（）知 AED1F，又 ADAEA，所以 D1F面 AED，又 D1F 面 A1FD1，所以面 AED面 A1FD1.（）解：（理）连 GE、GD1，因为 FGA1D，所以 FG面 A1ED1，所以体积GEADEDAGEDAFVVV111111，图 981因为 AA12，所以面积所以.12323
96、1311111111GEAGEADEDAFSDAVV.（文）体积EAAFFAAEVV11又 FG面 ABB1A1，三棱锥 FAA1E 的高 FGAA12，评述：本题主要考查棱柱的概念、两异面直线的垂直、异面直线所成的角、两平面垂直等.能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.此题中的四个小问题层层深入，由（）的证明线线垂直到（）中用到了线面垂直，而证得（）中的面面垂直，最后在（）中求体积.脉络清楚，考查立体几何知识较全面.注意在后一小问题中用到前面小题的结论.这在立体几何大题中经常出现.求体积过程中对三棱锥的顶点和底面作了灵活的转换，使计算简单，这也是求三棱锥体积的常用方法.94.
97、解（1）在三棱柱 ABCABC中，CBCB，CBAB又CBBB，ABBB=B，CB平面 AAB.CB 平面 CAB，平面 CAB平面 AAB；（2）由四边形 AABB是菱形，ABB=60，连 AB，可知ABB是正三角形，取 BB的中点 H，连接 AH，则 AHBB.又由 CB平面 AAB，得平面 AABB平面 CBBC.而 AH 垂直于两平面交线BB，AH平面 CBBC.连结 CH，则ACH 为 AC与平面 BCC所成的角.AB=4，AH=2 3，于是在 RtCBA 中，AC=2234=5.在 RtAHC中，sinACH=352，ACH=arcsin352.直线 AC与平面 BCC所成的角是
98、arcsin352.95.（1）解：如图 983，连 PD，由三垂线定理，PDl，故ADP 为二面角l的平面角，由 PAAD 得ADP45；（2）证明：作 NQCD，则 NQ 21 CD 21 AB，于是NQAM，AMNQ 是平行四边形，故 AQMN，由 ABPA，ABAD，有 AB平面 APD，又 AQ 平面 APD，从而 ABAQ，ABMN；图 983（3）解：PA 与 MN 所成的角即是 PA 与 AQ 所成的角，因为PAQ 为等腰直角三角形，AQ 为斜边上的中线，所以PAQ45，即 PA 与 MN 所成的角大小为 45.96.（）证明：根据圆柱性质，DA平面 ABE因为 EB 平面 A
99、BE，所以 DAEB.因为 AB 是圆柱底面的直径，点 E 在圆周上，所以 AEEB，又 AEADA，故得 EB平面 DAE因为 AF 平面 DAE，所以 EBAF，又 AFDE，且 EBDEE，故得 AF平面 DEB因为 DB 平面 DEB，所以 AFDB.（）解：（理）如图 984，过点 E 作 EHAB，H 是垂足，连结 DH.根据圆柱性质，平面 ABCD平面 ABE，AB 是交线，且 EH 平面ABE，所以 EH平面 ABCD.又 DH 平面 ABCD，所以 DH 是 ED 在平面 ABCD 上的射影，从而EDH 是 DE 与平面 ABCD 所成的角.设圆柱的底面半径为 R，则 DAA
100、B2R，于是 V 圆柱2R 3EHRSADVABEABED32312由 V 圆柱VD-ABE3得 EHR可知 H 是圆柱底面的圆心，AHR，5tan,522EHDHEDHRAHDADH所以EDHarctan 5.（文）设点 E 到平面 ABCD 的距离为 d，记 AD=h，因圆柱轴截面 ABCD 是矩形，所以ADABSABD 21 ABAD 21 ahdahSdVVABDABDDABED613.又 V 圆柱（2AB）2AD 4 a2h由题设知dahha61423即 d 2a评述：本题主要考查圆柱的概念，两异面直线垂直、直线与平面的垂直、圆柱及棱锥的体积、直线与平面所成的角.主要考查空间想象能力
101、和逻辑推理能力.分析本题考生答题失误大致有如下几点：图 984（1）缺乏清晰的空间形体观念，抓不住“DA、AE、EB 三线两两垂直”这个本质关系.解答过程中方向不明，层次不清，逻辑混乱现象均可能发生.（2）未能找到 DE 与平面 ABCD 所成的角.（3）未能正确和准确地进行推理计算，随意列写各种关系，盲目换算.（4）数值计算出现差错.97.解:()因为 ABAD，ABAP，所以 AB面 PAD，所以面 ABCD面 PAD，在面PAD 中,作 PEAD 交 AD 延长线于 E,所以 PE平面 ABCD,在 RtPAE 中,PEAPsin602 3，所以 VP-ABCD 31 ABADPE2 3
102、.（）在平面 ABCD 中，作 EFDC，交 BC 延长线于点 F，则 EFBF，连 PF，则PFE 是二面角 PBCD 的平面角，在 RtPEF 中，tanPFE332EFPE，所以PFEarctan332.评述：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力.98.如图 985，（）证明：因为 A1B1C1ABC 是三棱柱，所以四边形 B1BCC1 是矩形，连 B1C 与 BC1 交于 E，则 E 为 B1C的中点，连 DE，D 是 AC 的中点，所以 EDAB1，又 ED 平面BDC1，AB1 平面 BDC1，所以 AB1平面 BDC1.（
103、）解：（理）由已知平面 ABC平面 BB1C1C，在平面ABC 内作 DFBC，F 为垂足，则 DF平面 B1BCC1，连 EF，EF 为 ED 在平面 B1BCC1 上的射影.由已知 AB1BC1，EDAB1，所以 EDBC1，由三垂线定理的逆定理知 BC1FE，所以DEF 是二面角 DBC1C 的平面角，设 AC1，则 CD 21，DFDCsin60 43，CFDCcos60 41，BF 43，取 BC 的中点 G，则 GF 41，在 RtBEF 中，EF2BFGF 43 41 163，EF 43，tanDEF EFDF 1，DEF45，故以 BC1 为棱、DBC1 与CBC1 为面的二面
104、角的度数为 45.（文）作 AFBC，垂足为 F.因为面 ABC面 B1BCC1，所以 AF面 B1BCC1.连 B1F，则 B1F 是 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影.BC1AB1BC1B1F四边形 B1BCC1 是矩形B1BFBCC190，又FB1BC1BCB1BFBCC1图 985BBBFCCBFBCBB111又 F 为正三角形 ABC 的 BC 边的中点.因而 B1B2BFBC122 于是 B1F2B1B2BF23B1F 3即线段 AB1 在平面 B1BCC1 内的射影长为 3.评述：本题考查棱柱、线面平行、平面垂直、三垂线定理、二面角等概念，对空间想象能力、逻辑思维能力、运算
105、能力要求较高.作二面角的平面角，方法虽多，最基本方法还是通过找到或作出垂线段，通过垂足及垂线段端点作出二面角的平面角，可用三垂线定理或逆定理证之，这样二面角所在的三角形为直角三角形，易于计算.99.解：（1）如图 986，在平面 ABCD 内，过点 A 作 AECD，垂足为 E，连接 PE.由 PA平面 ABCD，由三垂线定理知 PECD，故PEA 是二面角 PCDA 的平面角.在 RtDAE 中，AD=3a，ADCarcsin 55则 AEADsinADE 553a在 RtPAE 中，tanPEA3553aaAEPA故二面角 PCDA 的大小为 arctan 35.（2）在平面 PAB 中，
106、过点 A 作 AHPB，垂足为 H.由 PA平面 ABCD，ABBC，PABC，则有 BC平面 PAB，又 AH 平面 PAB，因此 BCAH，又 AHPB，故 AH平面 PBC.因此，线段 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离.在等腰直角PAB 中，AH 22 a，故点 A 到平面 PBC 的距离为 22 a命题趋向与应试策略1.近几年，立体几何高考命题既严格按照教学大纲和教材的要求，又遵循命题的指导思想和原则，坚持稳定大局，控制难度，贯彻“说明”要求，同时在创新方面作了一些有益的尝试命题稳定主要表现在：考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与图
107、986垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主在改革创新方面主要表现在：1996 年主观试题客观化，1997 年的填空题以组合的面目出现，1998 年的填空题由已知结果探求条件，且答案不惟一，使试题更具开放性和探索性，1999 年则要求考生将四个论断中的三个条件中，余下一个为结论，写出正确命题，2000 年是多选题，通过一个空间图形在不同平面上的射影，考查学生的多角度思考问题和空间想象能力，2000 年、2002 年又在大题进行了改革使其更有综合性、开放性立体几何题成为命题者的试
108、验田.这些改革尝试的目的在于激发“学生独立思考，从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索和研究，有利于提高学生的思维能力和创新意识”.2.高考直接考查线面位置关系，以多面体和旋转体为载体考查线面间的位置关系是今后命题的一种趋势本章内容在高考中如上章所述无论在题型、题量、难度等方面都比较稳定，但因本章性质多、公式多反映在考题上有以下特色1.用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式，分以下几类：（1）与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；（2）与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；（3）考查多面体和旋转体中的某些概念.从上述所列的这些题难度都不大，且多数是文理同题，其中计算问题多于考查
109、概念的题，但要想顺利解决计算问题，必须熟练掌握多面体与旋转体的性质，因为性质是解决几何体计算问题的理论基础2.用解答题综合考查空间（线面间的位置关系和几何体的概念和性质，近几年立体几何解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点，又分散了难点，试题既包含了一定量的证明步骤，也包含了计算部分，能较全面地考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，同时还应注意利用前面的结论、图形等分析后面的结论.估计这种命题的特点还将保持下去3.本章内容在高考中无论在题型、题量和难度方面都比较稳定，复习时应注意以下几点：（1）理解定义、定理本质，科学地进行判断与论证.依据定义、定理，对立体几何中各元素间的关系或几何
110、体的某些特性的存在与否进行判定与论证是高考的重要内容之一.高考中常以判断题的形式出现，解此类问题，关键是相关的概念、判定、性质定理要清楚，其次要否定某些错误的判断，可运用运动变化的思想，让点或直线或平面在满足条件的情况下充分运动，往往可以发现一些特殊情况或极端位置时出现错误.另外将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化是解答这类题目的前提.再者举反例是解判断题的常用方法.（2）通过典型问题掌握基本解题方法高考中立体几何解答题基本题型是（）证明空间线面平行或垂直，（）求空间中线面的夹角或距离，（）求几何体的侧面积及体积.（）证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定
111、，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论.三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一.（）求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.作线面角的方法除平移外，补形
112、也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线.解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面.作二面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cos SS”求二面角否则要适当扣分.求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.求
113、角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.（）求几何体的侧面积及体积应注意以下几点：应用侧面积及体积公式时要抓住下面三个环节即：正确记忆公式；求出公式所需要的量；进行简明正确的运算.对于多面体要注意反映其主要因素关系的直角三角形或直角梯形；对于旋转体则主要分析其轴截面、平行于底面的截面等.求未知量应注意各种公式为我们提供的列方程式的基本等量关系然后列出相关的方程或方程组来求解.求面积或体积的比值问题，一般需用相同的字母表示求比的两个量，在求比值时约去字母，得到比值.特殊情况，对于截面分某几何体所成两部分的面积或
114、体积比值的问题，也可以先求出两部分的面积（或体积）各占原来的几分之几，然后再求得所需比值.（3）综合运用、培养能力、掌握常用技巧.立体几何学科的特点决定了立体几何综合题的基本模式是论证推理与计算相结合.解决这种类型的题目对各种能力具有较高要求.解题原则是一作、二证、三求解（即作图、证明、求解）.学会识图、理解图、应用图.通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形（如正方体、正四面体、等边圆锥等），以便联想有关的平面几何或立体几何知识.需要作图添加辅助线、面时，力求用定理、公理作为作图的依据，以便在作图时得到所添线、面的特征.注意数学中的转化思想的运用（i）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；（ii）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；（iii）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题.注意发现隐蔽条件由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的.
