1、第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 学 习 目 标核 心 素 养 1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题(重点、难点)1.通过利用导数解决生活中的优化问题的学习，培养学生数学建模的核心素养.2.借助实际问题的求解，提升学生逻辑推理及数学运算的核心素养.自 主 预 习 探 新 知 1优化问题生活中经常遇到求_、_、_等问题，这些问题通常称为优化问题利润最大用料最省效率最高2用导数解决优化问题的基本思路 导数函数思考：解决生活中优化问题应注意什么？提示(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题
2、的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于 0，销售价为正数等1已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y13x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A7 万件 B9 万件C11 万件D13 万件B 设 yf(x)，即 f(x)13x381x234.故 f(x)x281.令 f(x)0，即x2810，解得 x9 或 x9(舍去)当 0 x9 时，f(x)0，函数 yf(x)单调递增；当 x9 时，f(x)0，函数 yf(x)单调递减 因此，当 x9 时，yf(x)取最大值 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
3、9 万件2炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：)为 f(x)13x3x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B203 C1 D8C 由题意，f(x)x22x(x1)21，0 x5，x1 时，f(x)的最小值为1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是1.3做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 m C4 m D2 mC 设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h256，所以 h256x2.所用材料的面积设为 S m2，则有 S4xhx24x256x2 x22564xx2.
4、S2x2564x2，令 S0，得 x8，因此 h25664 4(m)4某一件商品的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售，可卖出(200 x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大115 利润为 S(x)(x30)(200 x)x2230 x6 000，S(x)2x230，由 S(x)0，得 x115，这时利润达到最大合 作 探 究 释 疑 难 面积、体积的最值问题【例 1】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状
5、的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm.由已知得 a 2x，h602x2 2(30 x)，0 x30.(1)S4ah8x(30 x)8(x15)21 800，所以当 x15 时，S 取得最大值(2)Va2h2 2(x330 x2)，V6 2x(20 x)由 V0，得 x0(舍去)或 x20.当 x(0,20)时，
6、V0；当 x(20,30)时，V0.所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值 此时ha12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.1解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2利用导数解决生活中优化问题的一般步骤找关系：分析实际问题中各量之间的关系；列模型：列出实际问题的数学模型；写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；求导：求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；比较：比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；结论：根据比较值写出答案跟进训练1周长为 20
7、cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3.4 00027 设矩形的长为 x cm，则宽为(10 x)cm(0 x10)由题意可知圆柱体积为 Vx2(10 x)10 x2x3.V20 x3x2，令 V(x)0，得 x0(舍去)或 x203，且当 x0，203 时，V(x)0，当 x203，10 时，V(x)0，当 x203 时，V(x)max4 00027 cm3.用料最省、成本(费用)最低问题【例 2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消
8、耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值思路探究：(1)由 C(0)8 可求 k 的值从而求出 f(x)的表达式(2)求函数式 f(x)的最小值 解(1)由题设，每年能源消耗费用为 C(x)k3x5(0 x10)，再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x)403x5.而建造费用为 C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费
9、用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10)(2)f(x)6 2 4003x52，令 f(x)0，即 2 4003x526，解得 x5 或 x253(舍去)当 0 x5 时，f(x)0，当 5x0，故 x5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 80015570.当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元1用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使
10、f(x)0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟进训练2甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关系是 P119 200v4 1160v315v，(1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解(1)QP400v 119 200v4 1160v315v 400v 119 200v3 1160v215 400 v34852v26 000(0v10
11、0)(2)Qv2165v，令 Q0，则 v0(舍去)或 v80，当 0v80 时，Q0；当 800，v80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80)2 0003(元).利润最大、效率最高问题探究问题1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值2你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数【例 3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克
12、)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路探究：(1)根据 x5 时，y11 求 a 的值(2)把每日的利润表示为销售价格 x 的函数，用导数求最大值 解(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3)2x310 x62 210(x3)(x6)2,3x6，从而，f(x)
13、10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)极大值 42 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大(变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克，1x12)满足：当 1x4 时，ya(x3)2 bx1，(a，b 为常数)；当 4x12 时，y2 800 x100.已知当销售
14、价格为 2 元/千克时，每日可销售出该特产 800 千克；当销售价格为 3 元/千克时，每日可售出 150 千克(1)求 a，b 的值，并确定 y 关于 x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为 1 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润 f(x)最大，(72.65)解(1)由题意：x2 时 y800，ab800，又x3 时 y150，b300，可得 a500.y500 x32 300 x1，1x42800 x 100，4x12，(2)由题意：f(x)y(x1)500 x32x1300，1x42 800 x100 x1，4x12，当 1x4 时，f(x)500(x
15、3)2(x1)300500 x33 500 x27 500 x4 200，f(x)500(3x5)(x3)，由 f(x)0，得53x3，f(x)在1，53，(3,4)上递增，在53，3 上递减，f 53 8 0009450f(4)1 800，当 x4 时有最大值，f(4)1 800 当 4x12 时，f(x)2 800 x100(x1)2 900100 x2 800 x2 900400 71 840，当且仅当 100 x2 800 x，即 x2 75.3 时取等号，x5.3 时有最大值 1 840，1 8001 840，当 x5.3 时 f(x)有最大值 1 840，即当销售价格为 5.3 元
16、的值，使店铺所获利润最大利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于 0，否则不会获利课 堂 小 结 提 素 养 1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1
17、)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用1某箱子的体积与底面边长 x 的关系为 V(x)x260 x2(0 x0，此时 V(x)单调递增；当 40 x60 时，V(x)0，此时 V(x)单调递减，所以 V(40)是 V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为 40.2某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30 元B60 元C28 000 元D23 0
18、00 元D 设毛利润为 L(p)，由题意知 L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以 L(p)3p2300p11 700.令 L(p)0，解得 p30 或 p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在 p30 附近的左侧 L(p)0，右侧 L(p)0，所以 L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件 30 元时，最大毛利润为 23 000 元3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是 27，且用料最省，则水桶的底面半径为_3 设圆柱形水桶的表面积为 S，底面半径为 r(r0)
19、，则水桶的高为27r2，所以 Sr22r27r2r254r(r0)，求导数，得 S2r54r2，令 S0，解得 r3.当 0r3 时，S0；当 r3 时，S0，所以当 r3 时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k0)，贷款的利率为 0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为 x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_0.032 存款利率为 x，依题意：存款量是 kx2，银行应支付的利息是 kx3，贷款的收益是 0.048kx2，x(0,0.048)所以银行的收益是 y
20、0.048kx2kx3(0 x0.048)，由于 y0.096kx3kx2，令 y0 得 x0.032 或 x0(舍去)，又当 0 x0.032 时，y0；当 0.032x0.048 时，y0，所以当 x0.032 时，y 取得最大值5用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解 设长方体的宽为 x m，则长为 2x m，高为 h1812x4(4.53x)m(0 x32)故长方体的体积为 V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m30 x32.从而 V(x)18x18x218x(1x)令 V(x)0，解得 x0(舍去)或 x1，因此 x1.当 0 x1 时，V(x)0；当 1x32时，V(x)0，故在 x1 处 V(x)取得极大值，并且这个极大值就是 V(x)的最大值 从而最大体积 VV(1)9126133(m)3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.故当长方体的长为 2 m，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
